nCr और nPr का सटीक मान निकालें। पुनरावृत्ति के साथ या बिना क्रमचय और संचय से ताश के हाथ, लॉटरी संयोजन और PIN की गिनती करें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 9
क्रम को अनदेखा करके 52 में से 5 वस्तुएँ चुनने के 2,598,960 तरीके हैं। सटीक संख्या में 7 अंक हैं। सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों तो किसी एक की प्रायिकता 3.848 × 10⁻⁷ है।
सटीक BigInt पूर्णांक गणना से निकाला गया है।
सभी परिणाम समान रूप से संभावित माने गए हैं।
संचय में n वस्तुओं से r चुनने के तरीकों को गिनते हैं, जब क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता: C(n, r) = n!/(r!(n − r)!)। क्रमचय में हर क्रम अलग गिना जाता है: P(n, r) = n!/(n − r)!, इसलिए P(n, r) = C(n, r) × r!। एक वस्तु कई बार चुन सकते हों तो क्रम सहित गिनती nʳ और बिना क्रम गिनती C(n + r − 1, r) है; इसे “तारे और विभाजक” विधि कहते हैं। हर उत्तर अधिकतम 20,000 अंकों तक सटीक पूर्णांक है। सीमांत मामलों में N कुल गिनती है: शून्य वस्तुएँ चुनने पर N = 1 और असंभव चयन पर N = 0।
डिफ़ॉल्ट में 52 में से 5 पत्ते चुनने पर पोकर के 2,598,960 हाथ मिलते हैं, इसलिए किसी एक खास हाथ की प्रायिकता 2,598,960 में 1 है। इसी गणना से 49 में से 6 चुनने की लॉटरी में 13,983,816 टिकट, 10 धावकों से पहले तीन स्थानों के 720 क्रम और चार अंकों के 10,000 PIN मिलते हैं।
एक परिणाम की प्रायिकता मानती है कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं। 22 या अधिक अंकों के उत्तर वैज्ञानिक संकेतन में दिखते हैं; अधिकतम 300 अंकों तक पूरा अंकक्रम भी दिया जाता है।
n अलग वस्तुओं में से r चुनते समय पहले पूछें: दो चुनी वस्तुओं की जगह बदलने से अलग परिणाम बनेगा या नहीं? केवल समूह हो तो संचय C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] है। पदों या क्रम का फर्क हो तो क्रमचय P(n,r) = n!/(n−r)! है। दस लोगों में तीन की समिति 120, लेकिन तीन अलग पदों के बँटवारे 720 हैं।
इन सूत्रों में कोई वस्तु दोबारा नहीं चुनी जाती। पुनरावृत्ति वाला विकल्प तभी लें जब वही प्रकार फिर लिया जा सके, जैसे PIN में एक अंक कई बार आना। पुनरावृत्ति की अनुमति और वस्तुओं का पहले से एक जैसा होना अलग समस्याएँ हैं।
n! = n(n−1)…1 और 0! = 1 है। 5! = 120 और 8! = 40,320। C(10,3) में पूरे फैक्टोरियल फैलाने के बजाय (10×9×8)/(3×2×1) = 120 करें। P(10,3) केवल 10×9×8 = 720 है। दोनों का संबंध P(n,r) = C(n,r)r! है।
C(n,r) = C(n,n−r), इसलिए C(52,47) और C(52,5) बराबर हैं। शून्य वस्तु चुनने और सभी वस्तुएँ चुनने के एक-एक तरीके हैं; शून्य वस्तु चुनना शून्य तरीके नहीं देता।
| n | r | संचय nCr | क्रमचय nPr |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 10 | 20 |
| 10 | 3 | 120 | 720 |
| 52 | 5 | 2598960 | 311875200 |
| 49 | 6 | 13983816 | 10068347520 |
| 8 | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 8 | 1 | 40320 |
हर स्थान पर n विकल्प फिर उपलब्ध हों तो क्रम सहित संख्या nʳ है। दस अंकों के चार-स्थान PIN में, शुरुआती शून्य सहित, 10,000 कोड हैं। केवल तीन स्कूप का समूह चुनना हो, पाँच स्वाद और दोहराव मान्य हो, तो संख्या C(n+r−1,r) = C(7,3) = 35 है।
| n | r | पुनरावृत्ति सहित, क्रम महत्वहीन | पुनरावृत्ति सहित, क्रम महत्वपूर्ण |
|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 35 | 125 |
| 10 | 4 | 715 | 10000 |
| 3 | 2 | 6 | 9 |
| 1 | 5 | 1 | 1 |
बिना दोहराव r > n पर संख्या शून्य है: तीन अलग वस्तुओं से पाँच चयन संभव नहीं। दोहराव मान्य होने पर वही सवाल संभव हो सकता है। n और r गैरऋणात्मक पूर्णांक हों। फॉर्म की अधिकतम संख्या और परिणाम के अंक-संबंधी सीमा लागू हैं।
BOOK के अक्षरों के अलग क्रम 4!/2! = 12 हैं, क्योंकि दो O को बदलने से नया शब्द नहीं बनता। साधारण n! में उन्हें अलग मानने पर गिनती दुगुनी होगी। पाँच अलग लोगों की गोल मेज पर केवल घुमाव को समान मानने पर (5−1)! = 24 क्रम हैं।
ये विशेष गिनतियाँ सामान्य सूत्रों से निकाली गई व्याख्याएँ हैं; फॉर्म में हर दोहराए गए अक्षर या गोल मेज के लिए अलग पहचान अपने आप नहीं मिलती। पहले अपने परिणामों की समानता का नियम तय करें। OpenStax की गणना विधियाँ इस अंतर को समझाती हैं।
सभी परिणाम समान संभावित हों तभी अनुकूल गिनती को कुल गिनती से भाग दें। 49 में से 6 वाले प्रश्न में कुल 13,983,816 समूह हैं। एक निश्चित समूह की संभावना उसका व्युत्क्रम है। समान संभाव्यता के बिना केवल संख्या जानना पर्याप्त नहीं।
गणना बड़े पूर्णांकों को रखती है, पर लंबा परिणाम प्रदर्शन में वैज्ञानिक रूप ले सकता है। 22 से 300 अंक तक के उत्तर अलग पूर्ण-अंक रूप में भी दिख सकते हैं; उससे बड़े उत्तर में अंक-गिनती और वैज्ञानिक रूप पढ़ें। 143! के 248 और 200! के 375 अंक हैं। पूर्ण अंक को छोटे गोल दशमलव से वापस न बनाएँ। घटनाओं के मेल के लिए प्रायिकता, पासे या पत्तों के लिए खेल प्रायिकता देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: C(52,5) = 2,598,960
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 10 × 9 × 8 = 720
जाँच का स्रोत: 1/13983816 = 7.15112e-8
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
क्रमचय में क्रम गिना जाता है; संचय में केवल चुनी गई वस्तुएँ। 10 धावकों में स्वर्ण, रजत और कांस्य स्थानों के P(10, 3) = 720 तरीके हैं, लेकिन तीन धावकों के केवल C(10, 3) = 120 अलग समूह हैं, क्योंकि हर समूह के 3! = 6 क्रम हैं। रैंक, बैठने के क्रम और पासवर्ड के लिए क्रमचय; ताश के हाथ, समितियों और लॉटरी टिकटों के लिए संचय लें।
52 पत्तों की मानक गड्डी से C(52, 5) = 2,598,960 पाँच-पत्तों वाले हाथ बनते हैं। बाँटने का क्रम गिने बिना हर समूह एक बार गिना जाता है। इनमें 4 रॉयल फ़्लश हैं, इसलिए उसकी प्रायिकता 2,598,960 में 4, यानी 649,740 में 1 है। बाँटने का क्रम भी गिनें तो P(52, 5) = 311,875,200 मिलता है।
हर चुने जाने वाले समूह के संयोजनों की संख्या गुणा करें। 49 में से 6 चुनने पर C(49, 6) = 13,983,816 टिकट संभव हैं। पावरबॉल में 69 सफ़ेद गेंदों में से 5 और 26 लाल गेंदों में से 1 चुनी जाती है, इसलिए कुल C(69, 5) × 26 = 11,238,513 × 26 हैं। जैकपॉट की प्रायिकता 292,201,338 में 1 है। इन खेलों में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संचय लागू होता है।
0000 से 9999 तक 10⁴ = 10,000 चार-अंकीय PIN हैं, क्योंकि हर स्थान पर 10 अंकों में से कोई भी आ सकता है। तकनीकी रूप से यह पुनरावृत्ति वाला क्रमचय है: 1234 और 4321 अलग कोड हैं। इसी कारण “कॉम्बिनेशन लॉक” भी वास्तव में क्रम पर निर्भर करता है। छह-अंकीय PIN की 10⁶ = 1,000,000 संभावनाएँ हैं।
परिभाषा से 0! = 1 है, क्योंकि शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका है: खाली व्यवस्था। इससे सूत्र संगत रहते हैं: C(n, 0) = n!/(0! × n!) = 1 और C(n, n) = 1। यह गामा फलन 0! = Γ(1) = 1 तथा n = 1 पर पुनरावृत्ति n! = n × (n − 1)! से भी मेल खाता है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 9 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।