संभावित परिणामों और उनकी प्रायिकताओं या भारों से किसी खेल, दाँव या निर्णय का अपेक्षित मान E[X], प्रसरण और मानक विचलन निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 4
बहुत बार दोहराने पर प्रति खेल औसतन 1.5 की हानि होती है। प्रति खेल मानक विचलन 11.3 है; यह फैलाव मापता है, किसी निश्चित सीमा की गारंटी नहीं देता। प्रत्याशित मान दीर्घकालीन औसत है। धनात्मक प्रायिकता वाले परिणाम −5 से 95 तक हैं। लाभ होने की प्रायिकता 20% है।
| परिणाम | प्रायिकता | x × p | (x − E)² × p |
|---|---|---|---|
| −5 | 0.8 | −4 | 9.8 |
| 5 | 0.15 | 0.75 | 6.3375 |
| 20 | 0.04 | 0.8 | 18.49 |
| 95 | 0.01 | 0.95 | 93.1225 |
प्रत्याशित मान परिणामों का प्रायिकता-भारित औसत है: E[X] = Σ xᵢpᵢ। यह बताता है कि बहुत बार दोहराने पर किसी दाँव, खेल या निर्णय का औसत परिणाम क्या होगा। प्रसरण Σ(xᵢ − E[X])²pᵢ और उसका वर्गमूल, मानक विचलन, इस औसत के आसपास परिणामों का फैलाव मापते हैं। गणना से पहले गिनतियों या सापेक्ष भारों को प्रायिकताओं में बदला जाता है।
डिफ़ॉल्ट उदाहरण $5 के एक काल्पनिक स्क्रैच कार्ड का है। इसमें 0.8 प्रायिकता से पूरी लागत डूब जाती है और 0.15, 0.04 तथा 0.01 प्रायिकताओं से क्रमशः $5, $20 तथा $95 का शुद्ध लाभ मिलता है। प्रत्याशित मान प्रति कार्ड −$1.50 है, हालाँकि 20% कार्डों में लाभ होता है।
हर परिणाम को शुद्ध लाभ या हानि के रूप में दर्ज करें: पुरस्कार में से लागत घटाएँ। $5 की लागत डूबने पर −5 और $5 के कार्ड पर $100 का पुरस्कार मिलने पर 95 दर्ज करें। प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए; अन्यथा गिनती या भार वाला विकल्प चुनें।
हर संभावित परिणाम और उसके सामने की प्रायिकता एक ही क्रम में भरें। E[X] = Σxᵢpᵢ है: हर परिणाम को उसकी संभावना से गुणा करके जोड़ें। सभी परिणाम एक ही इकाई में हों। पैसे वाले प्रश्न में जीत और हानि दोनों को दाँव घटाने के बाद के शुद्ध परिणाम के रूप में लिखना सुविधाजनक है।
प्रारंभिक परिणाम −5, 5, 20, 95 और प्रायिकताएँ 0.8, 0.15, 0.04, 0.01 हैं। गुणनफल −4, 0.75, 0.8, 0.95 का योग −1.5 है। यदि इकाई मुद्रा है तो यह प्रति प्रयास औसतन 1.5 इकाई हानि का गणितीय मॉडल है।
माध्य वास्तविक संभावित परिणाम होना जरूरी नहीं। निष्पक्ष पासे का अपेक्षित मान 3.5 है, लेकिन किसी मुख पर 3.5 नहीं आता। प्रारंभिक वितरण में सबसे संभावित परिणाम −5 है, जिसकी संभावना 80% है। सकारात्मक परिणाम की कुल संभावना 20% है।
एक शून्य परिणाम लाभ या हानि दोनों में नहीं जुड़ता। औसत को एक प्रयास की निश्चित प्राप्ति या किसी तय संख्या के प्रयासों के बाद अनिवार्य परिणाम न मानें।
Var(X) = Σ(xᵢ−E[X])²pᵢ, SD उसका वर्गमूल है। प्रारंभिक प्रसरण 127.75 और मानक विचलन 11.302655 है। प्रसरण वर्ग इकाई में, SD मूल इकाई में है। यह घोषित वितरण का प्रसरण है; नमूने का n−1 सुधार यहाँ नहीं लगता।
स्वतंत्र समान-वितरण वाले 100 प्रयासों में अपेक्षित कुल −150 और कुल SD लगभग 11.302655√100 = 113.02655 होगा। इससे किसी एक व्यक्ति की हानि निश्चित नहीं होती। प्रयासों में निर्भरता हो तो कुल प्रसरण का साधारण n-गुणा नियम भी बदलता है।
| उदाहरण | अपेक्षित मान | मानक विचलन |
|---|---|---|
| प्रारंभिक मान | -1.500000 | 11.302655 |
| निष्पक्ष पासा | 3.500000 | 1.707825 |
| निश्चित पचास | 50.000000 | 0.000000 |
| जोखिम सहित पचास | 50.000000 | 50.000000 |
| शून्य भार | 5.000000 | 0.000000 |
प्रायिकता विधि में हर p, 0 और 1 के बीच तथा योग लगभग 1 होना चाहिए; छोटी 10⁻⁹ संख्यात्मक सहनशीलता है। 80, 15, 4, 1 सीधे प्रायिकताएँ नहीं हैं। भार या गिनती की विधि चुनने पर वे कुल 100 से भाग होकर वही 0.8, 0.15, 0.04, 0.01 बनते हैं।
दोनों सूचियों की लंबाई समान हो और हर परिणाम का भार उसके सामने हो। शून्य भार वाले परिणाम घोषित वितरण में नहीं घटते। −100, 5, 500 के भार 0, 1, 0 हों तो वास्तविक न्यूनतम और अधिकतम दोनों 5 हैं, सूची के सबसे दूर लिखे अंक नहीं।
प्रवेश-लागत पाँच हो तो कोई सकल भुगतान 10 देने पर शुद्ध परिणाम +5 है। एक तरफ शुद्ध −5 और दूसरी तरफ सकल 10, 25, 100 मिलाने से अपेक्षित मान गलत −0.5 आएगा। लागत पहले से सभी परिणामों में घटाई हो तो उसे अंत में दोबारा न घटाएँ।
निश्चित 50 और आधी संभावना पर 100, अन्यथा 0, दोनों का E = 50 है। SD क्रमशः 0 और 50 है। समान अपेक्षित मान समान जोखिम नहीं बताता। यह गणना आपके दिए वितरण का सार है; इनपुट संभावनाओं के सही होने की पुष्टि नहीं करती। औसत की गणितीय परिभाषाओं के लिए प्रायिकता का पाठ, भाव से निहित संभावना के लिए ऑड्स परिवर्तक, गिनती के मॉडल के लिए द्विपद-प्वासों देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: हाथ से गणना: −4 + 0.75 + 0.8 + 0.95 = −1.5
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: एक संख्या पर दाँव में आयोजक का लाभ: −2/38 = −5.26% (मानक रूलेट भुगतान)
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: निष्पक्ष पासे के लिए E = 7/2 और Var = 35/12
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: प्रायिकता 1 वाले एकमात्र परिणाम में कोई फैलाव नहीं होता
हर परिणाम को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ें: E[X] = Σ xᵢpᵢ। निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के लिए E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5। डिफ़ॉल्ट स्क्रैच कार्ड के लिए −5 × 0.8 + 5 × 0.15 + 20 × 0.04 + 95 × 0.01 = −1.5, यानी $5 के प्रत्येक कार्ड पर औसतन $1.50 की हानि।
इसका अर्थ है कि प्रति खेल औसतन धन की हानि होती है। −$1.50 वाले स्क्रैच कार्ड की हानि उसकी $5 कीमत का 30% है, इसलिए 100 कार्डों की प्रत्याशित हानि $150 है। वास्तविक परिणाम बदलते हैं: प्रति कार्ड मानक विचलन लगभग 11.30 होने पर 100 स्वतंत्र कार्डों के कुल परिणाम का मानक विचलन 11.30 × √100 = 113 होता है। इसलिए कुछ लोगों को 100 कार्डों के बाद भी लाभ हो सकता है।
अमेरिकी डबल-ज़ीरो चक्र पर यह 5.26% और यूरोपीय सिंगल-ज़ीरो चक्र पर 2.70% है। एक संख्या पर सफल दाँव 35:1 लाभ देता है। 38 खानों पर प्रति इकाई दाँव का प्रत्याशित मान (35 − 37)/38 = −2/38 = −0.0526 है; 37 खानों पर (35 − 36)/37 = −1/37 = −0.0270। अधिकांश अन्य अमेरिकी दाँवों में भी आयोजक का लाभ 5.26% है।
नहीं। यह दीर्घकालीन औसत है और ज़रूरी नहीं कि किसी एक प्रयास में संभव हो। पासे का प्रत्याशित मान 3.5 है, लेकिन किसी फेंक में 3.5 नहीं आता। स्क्रैच कार्ड का प्रत्याशित मान −1.5 है, जबकि सबसे संभावित परिणाम पूरी $5 लागत खोना है, जिसकी प्रायिकता 80% है। कुछ बड़े पुरस्कार औसत को सामान्य परिणाम से ऊपर खींचते हैं।
हमेशा नहीं, क्योंकि प्रत्याशित मान जोखिम को नहीं मापता। निश्चित $50 और 50% प्रायिकता से $100 मिलने, दोनों का प्रत्याशित मान 50 है, लेकिन मानक विचलन क्रमशः 0 और 50 हैं। खरीदार के लिए बीमे का प्रत्याशित मान ऋणात्मक होने पर भी वह उपयोगी हो सकता है यदि वह ऐसी हानि से बचाता है जिसे खरीदार सहन नहीं कर सकता। प्रत्याशित उपयोगिता सिद्धांत (वॉन न्यूमन और मॉर्गनस्टर्न, 1944) इस संतुलन को औपचारिक रूप देता है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 4 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।