nCr, nPr ஐத் துல்லியமாகக் கணக்கிடுங்கள்: மீள்தேர்வுடன் அல்லது இல்லாமல் சேர்க்கைகளும் வரிசைமாற்றங்களும்; சீட்டுக் கைகள், லாட்டரி வாய்ப்புகள், PIN குறியீடுகளுக்குப் பயன்படும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 9
வரிசை முக்கியமில்லாமல் 52 பொருட்களில் 5 ஐத் தேர்வுசெய்தல் என்பதற்கு 2,598,960 வழிகள் உள்ளன. துல்லிய எண்ணிக்கையில் 7 இலக்கங்கள் உள்ளன. எல்லா முடிவுகளும் சமவாய்ப்புடையவை எனில் ஏதேனும் ஒன்றின் நிகழ்தகவு 3.848 × 10⁻⁷.
துல்லிய BigInt கணக்கால் பெறப்பட்டது.
அனைத்து முடிவுகளும் சமவாய்ப்புடையவை என்று கருதுகிறது.
வரிசை முக்கியமில்லாமல் n பொருட்களிலிருந்து r ஐத் தேர்வுசெய்யும் வழிகள் C(n, r) = n!/(r!(n − r)!). ஒவ்வொரு வரிசையையும் தனியாக எண்ணும் வரிசைமாற்றங்கள் P(n, r) = n!/(n − r)!; எனவே P(n, r) = C(n, r) × r!. ஒரு பொருளை மீண்டும் தேர்வுசெய்யலாம் எனில் வரிசையுடன் nʳ வழிகள்; வரிசையின்றி C(n + r − 1, r) வழிகள் (நட்சத்திரங்கள் மற்றும் தடுப்புகள் முறை). பதில் அதிகபட்சம் 20,000 இலக்கங்கள் கொண்ட துல்லிய முழு எண். எல்லை நிலைகளில் N வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்: பூச்சியப் பொருட்கள் தேர்வுக்கு N = 1; சாத்தியமில்லாத தேர்வுக்கு N = 0.
இயல்புநிலையில் 52 சீட்டுகளிலிருந்து 5 ஐத் தேர்ந்தெடுக்க 2,598,960 கைகள்; குறிப்பிட்ட ஒரு கைக்கு 2,598,960 இல் 1 வாய்ப்பு. இதே கணக்கில் 49 இல் 6 லாட்டரிக்கு 13,983,816 சீட்டுகள், 10 ஓட்டக்காரர்களின் பரிசு வரிசைக்கு 720 வழிகள், நான்கு இலக்க PIN களுக்கு 10,000 வழிகள்.
ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவின் வாய்ப்பு எல்லா முடிவுகளும் சமவாய்ப்புடையவை எனக் கருதுகிறது. 22 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கப் பதில்கள் அறிவியல் குறியீட்டில் காட்டப்படும்; 300 இலக்கங்கள் வரை அனைத்து இலக்கங்களும் பட்டியலிடப்படும்.
n என்பது கிடைக்கும் பொருட்கள் அல்லது வகைகள்; r என்பது தேர்ந்தெடுக்கும் பொருட்கள் அல்லது நிரப்பும் இடங்கள். இரண்டும் எதிர்மமற்ற முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும். ஒரே தேர்வில் வரிசையை மாற்றினால் வேறு முடிவா என்பதை முதலில் கேளுங்கள். மூவர் குழுவைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் வரிசை முக்கியமில்லை; தங்கம், வெள்ளி, வெண்கல இடங்களை நிரப்புவதில் முக்கியம்.
மீண்டும் அதே பொருளைத் தேர்வுசெய்ய அனுமதி உள்ளதா என்பதையும் தனியாகத் தீர்மானிக்கவும். ஒரே நபரை இரண்டு பரிசு இடங்களில் வைக்க முடியாத மாதிரிக்கும், ஒரு PIN இல் ஒரே இலக்கத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தும் மாதிரிக்கும் கணக்கு வேறு. PIN இன் ஆரம்ப பூச்சியம் செல்லும் என்ற கருதுகோளும் எண்ணிக்கையை மாற்றும்.
சேர்க்கை C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]; வரிசை முக்கியமில்லை, மீள்தேர்வு இல்லை. வரிசைமாற்றம் P(n,r)=n!/(n−r)!; வரிசை முக்கியம். மீள்தேர்வுடன் வரிசையுள்ள இடங்களுக்கு nʳ; வரிசையற்ற தேர்வுகளுக்கு C(n+r−1,r). கடைசி முறையில் ஒரே வகைப் பொருட்கள் தனித்த அடையாளங்களாக எண்ணப்படாது.
வழிகளின் எண்ணிக்கை துல்லிய முழு எண். ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவின் வாய்ப்பை 1/N எனக் கூற எல்லா முடிவுகளும் சமவாய்ப்புடையவையாக இருக்க வேண்டும்.
| தேர்வு முறை; n, r | வழிகள் |
|---|---|
| சேர்க்கை; 52, 5 | 2598960 |
| வரிசைமாற்றம்; 10, 3 | 720 |
| மீள்தேர்வு வரிசை; 10, 4 | 10000 |
| மீள்தேர்வு சேர்க்கை; 5, 3 | 35 |
| சேர்க்கை; 52, 0 | 1 |
| சேர்க்கை; 4, 6 | 0 |
எதையும் தேர்வுசெய்யாத ஒரே வெற்றுத் தேர்வு இருப்பதால் r=0 க்கு பதில் 1. மீள்தேர்வில்லாமல் இருப்பதைவிட அதிகப் பொருட்களைத் தேர்வுசெய்ய வழி இல்லை; பதில் 0. அதன் எதிரெண் நிகழ்தகவு காட்டப்படாது. இந்தப் பூச்சியப் பதிலை தவறான உள்ளீட்டுப் பிழையுடன் குழப்ப வேண்டாம்.
கருவி அதிகபட்சம் 20,000 இலக்கத் துல்லிய எண்ணிக்கைகளை ஆதரிக்கிறது. 22 இலக்கங்களிலிருந்து பிரதான அட்டை அறிவியல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்; 300 இலக்கங்கள் வரை முழு இலக்கப் பட்டியல் கிடைக்கும். காட்டும் சுருக்கத்தை முழுத் துல்லிய எண்ணாக நகலெடுக்க வேண்டாம். ஒப்பீட்டுப் பட்டைகளின் நீளம் log₁₀ அளவில் உள்ளது; இருமடங்கு நீளம் என்பது இருமடங்கு வழிகள் என்று பொருளல்ல. நிபந்தனைகள் மாறினால் ஒப்பீட்டு எண்ணிக்கைகளும் மாறும்.
லாட்டரி எண்ணிக்கை ஒவ்வொரு செல்லும் சீட்டும் சமவாய்ப்புடையது என்ற மாதிரியை மட்டுமே தருகிறது; வாங்கிய சீட்டுகளின் நகல்கள் தனித்த வெற்றிச் சேர்க்கைகளை அதிகரிக்காது. சார்ந்த அல்லது சமமற்ற வாய்ப்புள்ள முடிவுகளுக்கு 1/N போதாது. நிகழ்தகவு கணிப்பான் மூலம் நிகழ்வுகளின் தொடர்பைப் பார்க்கவும். சேர்க்கை அடையாளங்களுக்கு NIST DLMF பார்க்கவும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: C(52,5) = 2,598,960
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 10 × 9 × 8 = 720.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: C(49, 6) = 13,983,816; ஒரு சீட்டின் வாய்ப்பு 1/13983816 = 7.15112e-8.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
வரிசைமாற்றம் வரிசைகளையும், சேர்க்கை தேர்ந்தெடுத்த பொருட்களை மட்டும் எண்ணும். 10 ஓட்டக்காரர்களில் தங்கம், வெள்ளி, வெண்கல வரிசைக்கு P(10, 3) = 720 வழிகள்; மூவர் குழுக்களுக்கு C(10, 3) = 120 மட்டுமே. ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் 3! = 6 வரிசைகள் உள்ளன. தரவரிசை, இருக்கை, கடவுச்சொல்லுக்கு வரிசைமாற்றத்தையும் சீட்டுக் கை, குழு, லாட்டரிக்கு சேர்க்கையையும் பயன்படுத்தவும்.
52 சீட்டுக் கட்டிலிருந்து ஐந்து சீட்டுக் கைகள் C(52, 5) = 2,598,960; வழங்கிய வரிசை கணக்கிடப்படாது. அவற்றில் 4 அரசுத் தொடர்வரிசைகள்; வாய்ப்பு 2,598,960 இல் 4 அல்லது 649,740 இல் 1. வழங்கும் வரிசையுடன் எண்ணினால் P(52, 5) = 311,875,200.
ஒவ்வொரு தேர்வுத் தொகுதியின் சேர்க்கை எண்ணிக்கைகளையும் பெருக்கவும். 49 இல் 6 தேர்வுக்கு C(49, 6) = 13,983,816 சீட்டுகள். Powerball இல் 69 வெள்ளைப் பந்துகளில் 5, 26 சிவப்புப் பந்துகளில் 1 தேர்வு; எனவே C(69, 5) × 26 = 11,238,513 × 26; முதல் பரிசுக்கு 292,201,338 இல் 1 வாய்ப்பு. இவ்விளையாட்டுகளில் வரிசை முக்கியமில்லாததால் சேர்க்கைகள் பொருந்தும்.
0000 முதல் 9999 வரை 10⁴ = 10,000 PIN கள்; ஏனெனில் 4 இடங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் 10 இலக்கங்களில் ஏதேனும் ஒன்று வரலாம். 1234, 4321 வேறு குறியீடுகள் என்பதால் இது துல்லியமாக மீள்தேர்வுடன் வரிசைமாற்றம். சேர்க்கைப் பூட்டு என அழைப்பதிலும் வரிசை முக்கியம். 6 இலக்க PIN க்கு 10⁶ = 1,000,000 வாய்ப்புகள்.
பூச்சியப் பொருட்களை அமைக்க ஒரே வெற்று வரிசை இருப்பதால் வரையறைப்படி 0! = 1. இதனால் C(n, 0) = n!/(0! × n!) = 1, C(n, n) = 1 ஆகிய சூத்திரங்கள் சீராக உள்ளன. காமா சார்பிலும் 0! = Γ(1) = 1; n = 1 இல் n! = n × (n − 1)! தொடருறவுக்கும் இது பொருந்தும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 9 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.