6 மாறிகள் வரையுள்ள பூலியன் கோவையின் மெய்ம்மை அட்டவணை, நியமப் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகை, கூட்டல்களின் பெருக்கல், சிற்றுறுப்புகள் மற்றும் பேருறுப்புகள்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 8
கோவை 8 வரிகளில் 5 இல் மெய் (சிற்றுறுப்புகள் 0, 2, 4, 6, 7); எனவே அதன் மதிப்பு உள்ளீடுகளைப் பொறுத்தது.
| வரி | A | B | C | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 |
not முதலில்; அடுத்து and/nand, xor, or/nor, வலப்புறமாகத் தொகுக்கப்படும் implies; இறுதியில் iff.
ஒவ்வொரு வரியிலும் A, B, C க்கு ஒரு 0, 1 இணைப்பு தரப்படுகிறது. A உயர்மதிப்பு பிட்டாக இருக்கும்படி இரும வரிசையில் எண்ணப்படுகிறது; வரி எண்ணே சிற்றுறுப்புக் குறியீடு.
F = 1 ஆகும் ஒவ்வொரு வரிக்கும் ஒரு பெருக்கல் உறுப்பு; மேல்கோடு அந்த வரியில் மாறி 0 என்பதைச் சொல்கிறது.
F = 0 ஆகும் ஒவ்வொரு வரிக்கும் ஒரு கூட்டல் உறுப்பு; ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் சொந்த வரியில் மட்டுமே 0.
மெய்ம்மை அட்டவணை ஒரு பூலியன் கோவையின் ஒவ்வொரு உள்ளீட்டு இணைப்பிற்குமான மதிப்பைக் காட்டும். n மாறிகளுக்கு 2ⁿ வரிகள்; A, B, C க்கு 8 வரிகள். விடை 1 ஆகும் வரிக்குரிய அனைத்துமாறிப் பெருக்கல் ஒரு சிற்றுறுப்பு; அவற்றின் OR நியமப் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகை. விடை 0 ஆகும் வரிக்குரிய அனைத்துமாறிக் கூட்டல் ஒரு பேருறுப்பு; அவற்றின் AND நியமக் கூட்டல்களின் பெருக்கல். இரண்டும் ஒரே சார்பைக் குறிக்கின்றன.
மின்னணுத் தருக்கச் சுற்றுகள், நிரல் நிபந்தனைகள் மற்றும் தருக்க விதிகளைச் சரிபார்க்கப் பயன்படும். இயல்புநிலை (A and B) or not C என்பது 8 வரிகளில் 5 இல் மெய்; சிற்றுறுப்பு எண்கள் 0, 2, 4, 6, 7. வரிகள் 1, 3, 5 இல் பொய்.
6 மாறிகள் வரை (64 வரிகள்) ஏற்கப்படும். முன்னுரிமை: not, and/nand, xor, or/nor, வலப்புறமாகத் தொகுக்கும் implies, இறுதியில் iff. !, &, |, ^ போன்ற குறிகளும் செயல்படும். எல்லா வரிகளிலும் மெய் எனில் முற்றுமெய்; எல்லாவற்றிலும் பொய் எனில் முரண்பாடு.
(A and B) or not C போன்ற பூலியன் கோவையை உள்ளிடவும். ஒவ்வொரு மாறிக்கும் 0 அல்லது 1 கொடுத்து எல்லா இணைப்புகளும் மதிப்பிடப்படும். n மாறிகளுக்கு 2ⁿ வரிகள்; இக்கருவி அதிகபட்சம் 6 மாறிகள், அதாவது 64 வரிகளை ஏற்கிறது. மாறிகள் இல்லாத true அல்லது 0 க்கு ஒரே வரி.
மாறிப் பெயர்கள் இலத்தீன் எழுத்து அல்லது அடிக்கோட்டில் தொடங்கி இலத்தீன் எழுத்துகள், எண்கள், அடிக்கோடு கொண்டிருக்கலாம்; பெரிய, சிறிய எழுத்துகள் வேறுபடும். A மற்றும் a வேறு மாறிகள். and, or, not, xor, nand, nor, implies, iff, xnor, true, false செயற்குறி அல்லது மாறிலிப் பெயர்கள்; அவற்றைத் தமிழாக்கி உள்ளிட வேண்டாம். மாறிலிகளுக்கு 0, 1, false, true பயன்படுத்தவும்.
கீழுள்ள பிட் வரிசைகள் AB = 00, 01, 10, 11 என்ற வரிசைக்குரியவை.
| உள்ளிடும் கோவை | விடைப் பிட்கள் | பொருள் |
|---|---|---|
| A and B | 0001 | இரண்டும் மெய் |
| A or B | 0111 | ஒன்று அல்லது இரண்டும் மெய் |
| A xor B | 0110 | ஒன்று மட்டும் மெய் |
| A nand B | 1110 | and இன் மறுப்பு |
| A nor B | 1000 | or இன் மறுப்பு |
| A implies B | 1101 | A மெய், B பொய் என்றால் மட்டும் பொய் |
| A iff B | 1001 | இரு உள்ளீடுகளும் சமம் |
!, ~, ¬, இறுதியில் ' ஆகியவை மறுப்பு. & அல்லது · என்பது and; | அல்லது + என்பது or; ^ அல்லது ⊕ என்பது xor. இங்கு ^ அடுக்குக்குறி அல்ல. -> என்பது implies; <-> என்பது iff. இரு மாறிகளுக்கு இடையே செயற்குறி தேவை; AB என்பது A and B அல்ல, ஒரே மாறிப் பெயர்.
முன்னுரிமை வரிசை: not, and/nand, xor, or/nor, implies, iff. உட்கிடை வலப்புறமாகத் தொகுக்கப்படும்: A -> B -> C என்பது A -> (B -> C). வேறு பொருள் வேண்டுமெனில் அடைப்புக்குறிகளைச் சேர்க்கவும்.
மாறிகள் அகரவரிசையில் நெடுவரிசைகளாகின்றன; முதல் மாறி உயர்மதிப்பு பிட். A, B, C எனில் வரி 6 என்பது 110. B and not A என்று முதலில் B ஐ எழுதினாலும் நெடுவரிசை A, B ஆகவே இருக்கும். இதன் ஒரே மெய் வரி 01; சிற்றுறுப்பு Σm(1).
ஒரு வரியின் எல்லா மாறிகளையும் AND மூலம் இணைத்து அந்த வரியில் மட்டும் 1 தருவது சிற்றுறுப்பு. அதேபோல் அந்த வரியில் மட்டும் 0 தரும் OR உறுப்பு பேருறுப்பு. இக்கருவி ஒவ்வொன்றின் வரி எண்களையும் Σm, ΠM வடிவங்களில் காட்டும்.
SOP வடிவம் மெய் வரிகளுக்கான பெருக்கல் உறுப்புகளின் OR. POS வடிவம் பொய் வரிகளுக்கான கூட்டல் உறுப்புகளின் AND. A xor B க்கு SOP = A'·B + A·B'; POS = (A + B)·(A' + B'). இவை நியம வடிவங்கள்; மிகச் சுருக்கமான தருக்க வடிவம் என்று பொருளல்ல.
| உள்ளிடும் கோவை | சிற்றுறுப்புகள் | வகைப்பாடு |
|---|---|---|
| A and B | Σm(3) | உள்ளீட்டைப் பொறுத்தது |
| A xor B | Σm(1, 2) | உள்ளீட்டைப் பொறுத்தது |
| A implies B | Σm(0, 1, 3) | உள்ளீட்டைப் பொறுத்தது |
| A or not A | Σm(0, 1) | முற்றுமெய் |
| A and not A | Σm() | முரண்பாடு |
| (A and B) or not C | Σm(0, 2, 4, 6, 7) | உள்ளீட்டைப் பொறுத்தது |
எல்லா வரிகளிலும் மெய் எனில் முற்றுமெய்; எல்லா வரிகளிலும் பொய் எனில் முரண்பாடு. வெற்றுக் கூட்டுத்தொகை 0, வெற்றுப் பெருக்கல் 1. மெய் வரிகள் இல்லாத கோவைக்கு Σm() இயல்பான குறியீடு; அது பிழையல்ல. இரு கோவைகளின் சமத்தன்மையைச் சோதிக்க அவற்றை iff மூலம் இணைக்கவும்: எல்லா வரிகளும் மெய்யானால் அவை சமமானவை.
A → B இல் A பொய்யானால் B எதுவாயினும் உட்கிடை மெய். இது அன்றாடக் காரணவியல் கூற்றல்ல; தருக்கத்தின் வரையறை. Discrete Mathematics பாடம் இச்செயற்குறிகளின் மெய்ம்மை விதிகளை விளக்குகிறது.
நீண்ட சூத்திரம் படிகளில் சுருக்கப்படலாம்; முழு நியம வடிவங்கள் விடைப் புலங்களில் உள்ளன. அட்டவணையின் தொடக்கக் காட்சிக்குப் பிறகுள்ள வரிகளையும் விரித்துப் பார்க்கலாம் அல்லது ஏற்றுமதி செய்யலாம். பிட் வரைபடத்தில் இடதுபுறம் வரி 0; அது வழக்கமான முழு எண்ணின் உயர்மதிப்பு பிட் காட்சியுடன் ஒன்றல்ல.
உறுப்புப் பட்டியல்களுக்கு இதே தருக்கத்தைப் பயன்படுத்த கணச் செயல்பாடுகள் உதவும்: சேர்ப்பு or க்கும் வெட்டு and க்கும் இணையானவை.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: A=1, B=1 மட்டும் மெய்; அனைத்து உள்ளீட்டு இணைப்புகளும் சரிபார்க்கப்பட்டன
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: a != b எனும் சமமின்மையை அனைத்து உள்ளீட்டு இணைப்புகளிலும் சரிபார்த்தது
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (not a) or b கோவையை அனைத்து உள்ளீட்டு இணைப்புகளிலும் மதிப்பிட்டது
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: விலக்கப்பட்ட நடுநிலை விதி; (0, 1) இல் A ஐ மதிப்பிட்டது
உள்ளீட்டு இணைப்புகளை இரும எண் வரிசையில் பட்டியலிடவும்: 2 மாறிகளுக்கு 4 வரிகள், 3 க்கு 8, 6 க்கு 64. ஒவ்வொரு வரியிலும் உள் அடைப்புக்குறியிலிருந்து கணக்கிடவும். (A and B) or not C இல் A = 1, B = 1, C = 1 எனில் (1 and 1) or 0 = 1; A = 0, B = 0, C = 1 எனில் 0 or 0 = 0.
ஒவ்வொரு மாறியையும் நேராகவோ மறுத்தோ சேர்த்த AND பெருக்கல் ஒரே ஒரு வரியில் 1 தருவது சிற்றுறுப்பு. இதேபோன்ற OR கூட்டல் ஒரே வரியில் 0 தருவது பேருறுப்பு. வரி எண் அவற்றின் குறியீடு: A, B, C க்கு சிற்றுறுப்பு 6 என்பது A·B·C′; பேருறுப்பு 1 என்பது (A + B + C′). சார்பு அதன் சிற்றுறுப்புகளின் OR ஆகவும் பேருறுப்புகளின் AND ஆகவும் எழுதப்படும்.
SOP என்பது விடை 1 ஆகும் ஒவ்வொரு வரியின் AND உறுப்புகளையும் OR செய்வது. POS என்பது விடை 0 ஆகும் ஒவ்வொரு வரியின் OR உறுப்புகளையும் AND செய்வது. A xor B க்கு SOP: A′·B + A·B′; POS: (A + B)·(A′ + B′). இரண்டும் முழுமையானவை; குறைவான வரிகளைச் சேர்க்கும் வடிவத்தில் குறைவான உறுப்புகள் இருக்கும்.
உள்ளீடுகள் எதுவாயினும் எல்லா வரிகளிலும் மெய்யாகும் கோவை. A or not A ஓர் எளிய எடுத்துக்காட்டு; (A → B) or (B → A) மற்றொன்று. இதற்கு மாறாக எல்லா வரிகளிலும் பொய்யாகும் A and not A போன்றது முரண்பாடு. சில வரிகளில் மட்டும் மெய்யாவது உள்ளீட்டைப் பொறுத்த கோவை.
A → B என்பது A மெய்யாகவும் B பொய்யாகவும் இருக்கும் வரியில் மட்டும் பொய்; மற்ற மூன்று வரிகளில் மெய். சிற்றுறுப்புகள் 0, 1, 3; ஒரே பேருறுப்பு 2. இது not A or B க்கும் எதிர்மறை மறுதலை not B → not A க்கும் சமம். A → B → C என்பது வலப்புறமாக A → (B → C) எனத் தொகுக்கப்படும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 8 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.