Calculadora de módulo

Qué calcula el módulo de un número

La operación módulo describe el resto de una división bajo una regla concreta para elegir el cociente entero. Para números positivos, 17 dividido entre 5 es 3 y resto 2: se cumple 17 = 5 × 3 + 2. Con entradas negativas, distintas reglas pueden devolver restos diferentes y seguir respetando la identidad a = n × q + r. Por eso, la calculadora muestra tres convenciones en lugar de asumir que existe una única respuesta universal.

La herramienta incluye además dos tareas de aritmética modular: elevar una base a una potencia y reducir el resultado módulo m, y encontrar un inverso multiplicativo. Elige primero la tarea. El inverso modular de 3 módulo 11 no es la fracción 1/3; es un entero que, al multiplicarse por 3, deja resto 1 al dividir entre 11.

En la tarea de restos puedes introducir enteros, decimales o fracciones, con divisor distinto de cero. Las tareas de potencia e inverso utilizan enteros y un módulo positivo, con las restricciones que se explican más abajo. Los ejemplos decimales usan punto para que puedas copiarlos a los campos.

Las tres convenciones del resto

En la división por defecto, el cociente se redondea hacia menos infinito: q = suelo(a/n). El resto es r = a − n × q. Para −17 y 5, el cociente exacto es −3.4; su suelo es −4 y el resto vale −17 − 5 × (−4) = 3. Cuando no es cero, este resto tiene el signo del divisor.

La división truncada lleva el cociente hacia cero. Para −3.4, el entero elegido es −3, de modo que el resto es −17 − 5 × (−3) = −2. Cuando no es cero, sigue el signo del dividendo. «Hacia abajo» y «hacia cero» coinciden con cocientes positivos, pero se separan con los negativos.

El resto euclídeo siempre satisface 0 ≤ r < |n|. Para un divisor positivo coincide con el resto obtenido al tomar el suelo; para un divisor negativo puede requerir otro cociente. Las tres salidas no son errores de precisión: representan decisiones distintas sobre qué entero q se utiliza.

Para comprobar cualquier fila, reconstruye el dividendo con el cociente correspondiente. En 17 y −5, el cociente con suelo es −4: (−5) × (−4) − 3 = 17. El cociente truncado es −3: (−5) × (−3) + 2 = 17. Comparar únicamente los restos sin indicar la convención oculta esta diferencia.

Fracciones exactas y aplicaciones cíclicas

Para 1/3 módulo 1/5, el cociente es 5/3 y su suelo es 1. El resto exacto es 1/3 − 1/5 = 2/15. Si una salida decimal tiene menos cifras, no la confundas con la fracción completa. La calculadora de fracciones permite comprobar esa resta sin introducir decimales periódicos redondeados.

En un ciclo de doce posiciones numeradas del 0 al 11, avanzar quince posiciones desde cero deja la posición 3, porque 15 módulo 12 es 3. Retroceder dos deja la posición 10 bajo la convención euclídea. Si las etiquetas del problema van del 1 al 12, debes ajustar el origen: convertir a una numeración desde cero, operar y volver a sumar uno. El módulo no resuelve por sí solo ese cambio de etiquetas.

No introduzcas cero como divisor. La identidad de división no determina un resto mediante un cociente a/0. Si utilizas la operación para repartir elementos entre grupos o recorrer posiciones de una lista, el tamaño del ciclo debe ser positivo y tener sentido para la aplicación.

Potencias modulares sin desarrollar toda la potencia

En la tarea de potencia, escribe base 4, exponente 13 y módulo 497. El resultado es 445. Puedes comprobar este ejemplo pequeño porque 4^13 = 67108864 y 67108864 = 497 × 135027 + 445. Para exponentes muy grandes, construir la potencia completa es innecesario: se reducen los resultados intermedios tras cada multiplicación.

El método de cuadrados sucesivos calcula 4, 4^2, 4^4 y 4^8 módulo 497. Los residuos correspondientes son 4, 16, 256 y 429. Como 13 = 8 + 4 + 1, se multiplican los residuos de esas tres potencias: 429 × 256 × 4, reducido módulo 497, da 445. Reducir entre pasos conserva la congruencia y mantiene manejables los valores.

La tabla de la calculadora permite seguir el proceso. Una vista previa abreviada no implica que el exponente se haya recortado: consulta la tabla completa o su exportación cuando esté disponible. Un exponente cero produce el residuo de 1; con módulo 1, el único residuo posible es 0. En esta herramienta, ese caso devuelve 0 también cuando el exponente introducido es negativo.

Inverso modular y exponentes negativos

Un inverso de a módulo m satisface a × x ≡ 1 módulo m. Para 3 y 11, x = 4, porque 3 × 4 = 12 = 11 + 1. Para 3 y 10, el inverso es 7: 21 deja resto 1 al dividir entre 10. La herramienta devuelve un representante en el intervalo de 0 a m − 1.

El inverso existe exactamente cuando MCD(a, m) = 1. Por ejemplo, 6 y 15 comparten el divisor 3: ningún múltiplo de 6 puede dejar resto 1 módulo 15. La calculadora lo indica como una entrada sin inverso; no debe sustituirse esa respuesta por cero. La tarea de inverso requiere un módulo entero de al menos 2.

El algoritmo de Euclides extendido obtiene coeficientes que expresan 1 como combinación de a y m. El coeficiente de a, reducido al intervalo de residuos, proporciona el inverso. Puedes revisar el MCD y la identidad relacionada en la calculadora de MCD y mcm.

Un exponente negativo usa ese inverso antes de elevar. Así, 3^−1 módulo 11 es 4 y 3^−2 módulo 11 es 4^2 módulo 11 = 5. Para un módulo mayor que 1, la base debe ser invertible. La entrada 6^−1 módulo 15 no tiene resultado en estos términos. No intentes calcular una potencia negativa como decimal y aplicar después un resto: estarías cambiando de operación.

Comprobar la salida y sus límites

Las potencias y los inversos admiten entradas grandes, pero tienen límites de tamaño para el módulo y el exponente. Revisa el mensaje del campo si los superas. La lectura principal puede redondear la presentación de un entero largo; cuando aparezca un valor exacto adicional, utiliza ese texto para copiar todas las cifras.

Al reutilizar un resto, anota la convención y el signo del divisor. Al reutilizar un inverso, comprueba que a × x deje resto 1. Para una potencia, confirma base, exponente y módulo antes de comparar resultados. Estas tres comprobaciones distinguen una discrepancia de interpretación de una discrepancia aritmética.