10¹⁸ வரையிலான முழு எண்ணின் காரணிகள், காரணி ஜோடிகள், பகா காரணி வடிவம், வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை, கூட்டுத்தொகை ஆகியவற்றைக் காணுங்கள்; நிறைவு அல்லது மிகை எண் வகையும் கிடைக்கும்.
மிகை எண்: தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை 76; இது 48-ஐ விட அதிகம்
பகா எண்ணா, பகுபடு எண்ணா
பகுபடு எண்
48 = 2⁴ × 3; இதற்கு 10 காரணிகள்; கூட்டுத்தொகை 124. 48-ஐ நீக்கினால் கூட்டுத்தொகை 76; எனவே 48 என்பது மிகை எண்.
காரணி வளைவுகள்: ஒவ்வொரு வளைவும் ஒரு ஜோடியை இணைக்கும்
தகு காரணிகளையும் எண்ணையும் ஒப்பிடுதல்
காரணி ஜோடிகள் வரிசைகள்: 5
காரணி d
இணைக் காரணி n ÷ d
d-இன் வகை
1
48
அலகு
2
24
பகா எண்
3
16
பகா எண்
4
12
பகுபடு எண்
6
8
பகுபடு எண்
கணக்கிடும் முறை S
பகா காரணி பிரிப்பு
48=24×3
முதலில் 10,000-க்குக் குறைவான பகா எண்களால் சோதனை வகுத்தல்; பெரிய இணைக் காரணிக்கு Pollard rho முறை.
காரணிகளை எண்ணுதல்
d(48)=(4+1)(1+1)=10
ஒவ்வொரு காரணிக்கும், ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அடுக்கையும் 0 முதல் காட்டப்பட்ட அடுக்கு வரை தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை
σ(48)=2−125−1×3−132−1=124
காரணிகளை ஜோடி சேர்த்தல்
1×48,2×24,3×16,4×12,6×8
√48 ≈ 6 வரையிலான வகுத்திகளை மட்டும் சோதித்தால் போதும்; ஒவ்வொன்றிற்கும் இணைக் காரணி கிடைக்கும்.
நிறைவு, மிகை அல்லது குறை எண்
s(n)=σ(n)−n=124−48=76>48
காரணிக் கணிப்பான்: எண்ணின் அனைத்துக் காரணிகள் பற்றி
n-ஐ மீதியின்றி வகுக்கும் முழு எண் அதன் காரணி. காரணிகள் d × (n ÷ d) என ஜோடியாக அமையும். கணிப்பான் முதலில் சோதனை வகுத்தல், Pollard rho முறைகளால் பகா காரணிகளைக் கண்டு அவற்றிலிருந்து எல்லாக் காரணிகளையும் அமைக்கிறது. 48 = 2⁴ × 3-இன் ஒவ்வொரு காரணியிலும் 0 முதல் 4 வரை இரண்டுகளும் 0 அல்லது 1 மூன்றும் இருக்கலாம்; எனவே (4 + 1)(1 + 1) = 10 காரணிகள்.
இதே பகா காரணி வடிவம் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகையையும் தரும். அதிலிருந்து n-ஐ நீக்கினால் தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை கிடைக்கும். Euclid, Nicomachus காலத்திலிருந்து வரும் வகைப்பாட்டில், அது n-க்குச் சமமெனில் நிறைவு எண் (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), அதிகமெனில் மிகை எண் (48-க்கு 76), குறைவெனில் குறை எண். எல்லாப் பகா எண்களும் குறை எண்கள்.
10¹⁸ வரையிலான எண்கள் ஏற்கப்படுகின்றன. கணக்கீட்டு நேரம் காரணிகளின் அமைப்பைப் பொறுத்தது; எல்லா எண்களையும் உடனடியாகப் பிரிக்க முடியாது. 5,000 காரணிகள் வரை பட்டியல் கிடைக்கும்; அதற்கு மேல் எண்ணிக்கையும் கூட்டுத்தொகையும் மட்டும் தரப்படும். எதிர்ம எண்ணிற்கு காரணிகள் ± ஜோடிகளாக அமையும்.
காரணிகளையும் காரணி ஜோடிகளையும் காணுதல்
ஓர் எண்ணை மீதியின்றி வகுக்கும் முழு எண் அதன் காரணி. 48-க்கு 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 என பத்து நேர்ம காரணிகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு சிறிய காரணிக்கும் ஒரு பெரிய இணை உண்டு: 1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8. ஒவ்வொரு ஜோடியையும் பெருக்கினால் 48 வர வேண்டும்.
பூச்சியமற்ற முழு எண்ணை உள்ளிடவும். 48, தமிழ் இலக்கங்களில் ௪௮, அல்லது 2^40 போன்ற கோவையைப் பயன்படுத்தலாம். தனிமதிப்பு அதிகபட்சம் 10¹⁸. எல்லா முழு எண்களும் பூச்சியத்தை வகுப்பதால், பூச்சியத்தின் காரணிகளை இந்தக் கருவி பட்டியலிடாது. தசம உள்ளீடுகளும் ஏற்கப்படாது.
எண்
காரணிகளின் எண்ணிக்கை
எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை
தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை
வகை
1
1
1
0
குறை எண்
6
4
12
6
நிறைவு எண்
12
6
28
16
மிகை எண்
28
6
56
28
நிறைவு எண்
36
9
91
55
மிகை எண்
48
10
124
76
மிகை எண்
97
2
98
1
குறை எண்
பகா காரணிகளிலிருந்து எண்ணுதல்
48 = 2⁴ × 3. ஒவ்வொரு காரணிக்கும் இரண்டின் அடுக்கை 0 முதல் 4 வரையும் மூன்றின் அடுக்கை 0 முதல் 1 வரையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம். எனவே காரணிகளின் எண்ணிக்கை (4 + 1)(1 + 1) = 10. முழு வர்க்கத்தில் நடு ஜோடி ஒரே எண்ணாக இருக்கும்: 36-க்கு 6 × 6. இதனால் முழு வர்க்கங்களின் காரணி எண்ணிக்கை மட்டுமே ஒற்றையாக இருக்கும்.
எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை σ(n); அதிலிருந்து n-ஐக் கழித்தால் தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை கிடைக்கும். 48-க்கு 124 − 48 = 76. இந்த மதிப்பு n-க்குச் சமமெனில் நிறைவு எண்; அதிகமெனில் மிகை எண்; குறைவெனில் குறை எண். OEIS நிறைவு எண் பட்டியல் 6, 28, 496 எனத் தொடங்குகிறது. பகா எண்களின் ஒரே தகு காரணி 1; எனவே அவை குறை எண்கள். 1-க்குத் தகு காரணிகள் இல்லை; அது பகா எண்ணும் அல்ல, பகுபடு எண்ணும் அல்ல.
எதிர்ம எண்ணின் வெளியீட்டை வாசித்தல்
−6-இன் காரணிகள் ±1, ±2, ±3, ±6. ஜோடிகளில் ஒரு காரணி எதிர்மமாக இருக்கும்: 1 × −6, −1 × 6, 2 × −3, −2 × 3. ஆனால் கணிப்பானின் எண்ணிக்கை, கூட்டுத்தொகைகள், நிறைவு/மிகை வகைப்பாடு ஆகியவை |−6| = 6-இன் நேர்ம காரணிகளைப் பயன்படுத்தும்; எண்ணிக்கை 4 என்பதைக் காண்பீர்கள். அட்டவணையும் தனிமதிப்பின் நேர்ம ஜோடிகளைக் காட்டுகிறது.
நீண்ட பட்டியல்களும் கணக்கீட்டு வரம்பும்
முதன்மைப் பட்டியலில் 240-க்கும் மேற்பட்ட காரணிகள் இருந்தால் நடுப்பகுதி சுருக்கப்படும்; அட்டவணையின் ஜோடிகள் மூலம் மீதியைக் காணலாம். 5000-க்கும் மேற்பட்ட காரணிகள் இருந்தால் எண்ணிக்கையும் கூட்டுத்தொகைகளும் மட்டும் காட்டப்படும். வளைவுப் படம் சிறிய பட்டியல்களுக்கு மட்டுமே வரும்.
பெரிய எண்களுக்கு பகா காரணி பிரிப்பு முதலில் நடக்கும். இரண்டு பெரிய பகா காரணிகளை நேர வரம்பிற்குள் பிரிக்க முடியாவிட்டால் பிழை வரும்; அனுமதிக்கப்பட்ட அளவுக்குள் இருப்பது மட்டும் வெற்றிக்கு உறுதி அல்ல. பகா காரணி பிரிப்பு காரணிகளின் அடுக்கு வடிவத்தையும் GCD/LCM கணிப்பான் பல எண்களின் பொதுக் காரணிகளையும் காண உதவும்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
48: தொடக்க மதிப்பு (Calculator Soup எடுத்துக்காட்டு)
முழு எண்
48
காரணிகள்
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
காரணிகளின் எண்ணிக்கை
10
காரணி ஜோடிகள்
1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8
பகா காரணி பிரிப்பு
2⁴ × 3
எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை σ(n)
124
தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை
76
நிறைவு, மிகை அல்லது குறை எண்
மிகை எண்: தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை 76; இது 48-ஐ விட அதிகம்
பகா எண்ணா, பகுபடு எண்ணா
பகுபடு எண்
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: Calculator Soup-இல் 48-இன் 10 காரணிகள் 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48; தனியாக வகுத்திகளைப் பட்டியலிட்டால் σ(48) = 124
36: முழு வர்க்கம் (Calculator Soup எடுத்துக்காட்டு)
முழு எண்
36
காரணிகள்
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
காரணிகளின் எண்ணிக்கை
9
காரணி ஜோடிகள்
1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6
எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை σ(n)
91
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: Calculator Soup-இல் 36-இன் காரணிகள் 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; தனிக் கணக்கில் σ(36) = 91
நிறைவு எண்: தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை துல்லியமாக 28
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: OEIS A000396 நிறைவு எண்கள் 6, 28, 496, 8128, …; 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
கேள்விகள்
ஓர் எண்ணின் எல்லாக் காரணிகளையும் எப்படிக் காண்பது?
1 முதல் வர்க்கமூலம் வரையிலான முழு எண்களைச் சோதிக்கவும்; ஒவ்வொரு வகுத்தி d-க்கும் இணை n ÷ d கிடைக்கும். 48-இன் வர்க்கமூலம் சுமார் 6.9; அதை 1, 2, 3, 4, 6 வகுக்கின்றன. ஜோடிகள் 1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8. எனவே 10 காரணிகள்: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. பெரிய எண்களுக்கு முதலில் பகா காரணிகளாகப் பிரித்து அவற்றை இணைக்கவும்.
காரணிகளின் எண்ணிக்கையை எப்படிக் காண்பது?
பகா காரணி வடிவத்தில் ஒவ்வோர் அடுக்குடனும் 1-ஐக் கூட்டிப் பெருக்கவும். 48 = 2⁴ × 3¹-க்கு (4 + 1)(1 + 1) = 10 காரணிகள்; 10¹⁵ = 2¹⁵ × 5¹⁵-க்கு 16 × 16 = 256. முழு வர்க்கங்களுக்கு மட்டுமே காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையாக இருக்கும்; வர்க்கமூலம் அதனுடனேயே ஜோடி சேரும். 36-க்கு 9 காரணிகள்; நடு ஜோடி 6 × 6.
நிறைவு எண் என்றால் என்ன?
தன்னைத் தவிர்த்த தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமான எண் நிறைவு எண். முதல் இரண்டும் 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; அடுத்தவை 496, 8,128, 33,550,336. 2ᵖ − 1 பகா எண்ணாக இருந்தால் 2ᵖ⁻¹(2ᵖ − 1) நிறைவு எண் என Euclid காட்டினார்; எல்லா இரட்டை நிறைவு எண்களும் இந்த வடிவில் அமையும் என Euler நிரூபித்தார். ஒற்றை நிறைவு எண் இருக்கிறதா என்பது இன்னும் தெரியவில்லை.
மிகை எண்கள், குறை எண்கள் என்றால் என்ன?
தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை எண்ணைவிட அதிகமெனில் மிகை எண்; குறைவெனில் குறை எண். 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 என்பதால் 12 மிகச்சிறிய மிகை எண். பகா எண்ணின் ஒரே தகு காரணி 1; எனவே எல்லாப் பகா எண்களும் குறை எண்கள். சிறிய எண்களில் பெரும்பாலானவை குறை எண்கள். மிகச்சிறிய ஒற்றை மிகை எண் 945; அதன் தகு காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை 975.
காரணிகளுக்கும் பகா காரணிகளுக்கும் என்ன வேறுபாடு?
n-ஐ வகுக்கும் எல்லா எண்களும் காரணிகள்; அவற்றில் பகா எண்களாக இருப்பவை பகா காரணிகள். பகா காரணிகளை அவற்றின் மீள்தோற்றங்களுடன் பெருக்கினால் n கிடைக்கும். 48-க்கு 10 காரணிகள் இருந்தாலும் 2, 3 என இரண்டு பகா காரணிகளே; பகா காரணி வடிவம் 2⁴ × 3. எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றப்படி இந்த வடிவம் தனித்துவமானது; ஒவ்வொரு காரணியும் இவற்றில் சிலவற்றின் பெருக்கற்பலன்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 10 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.
இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்
கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.