x = 2 இல் d/dx x³
- சார்பு f(x)
- x^3
- x = என்ற புள்ளியில்
- 2
- வகைக்கெழு
- முதல் f′(x)
- வகைக்கெழு
- 12
- f(x₀)
- 8
- தொடுகோடு
- y = 12x − 16
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: x = 2 இல் 3x² = 12; தொடுகோடு 8 + 12(x − 2)
எண்ணியல் வகைக்கெழுக் கணிப்பான்
ஒரு புள்ளியில் f(x) சார்பின் முதல் அல்லது இரண்டாம் வகைக்கெழுவை ரிச்சர்ட்சன் புறமதிப்பீட்டால் கணக்கிடவும். சீரான சார்புகளில் சுமார் 20 பொருளுள்ள இலக்கங்களை இலக்காகக் கொண்டது; முதல் வகைக்கெழுவுடன் தொடுகோடும் வரையப்படும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 6
வகைக்கெழு
வகைக்கெழு: 2.223244275484
- f(x₀)
- 0.841470984808
- தொடுகோடு
- y = 2.223244x − 1.381773
- மதிப்பிடப்பட்ட பிழை
- 9.6 × 10⁻²³
x = 1 இல் f இன் சாய்வு 2.2232443: x சிறிய h அளவு மாறும்போது f சுமார் 2.223 × h அளவு உயர்கிறது.
x = 1 இல் f மற்றும் அதன் தொடுகோடு
f(x)தொடுகோடு
ரிச்சர்ட்சன் அட்டவணை (மைய ஈவும் சிறந்த மதிப்பீடும்)
| h | வேறுபாட்டு ஈவு | இதுவரையிலான சிறந்த மதிப்பீடு |
|---|---|---|
| 0.1 | 2.21933054438 | 2.21933054438 |
| 0.05 | 2.22226613145 | 2.22324466047 |
| 0.025 | 2.22299975754 | 2.22324427552 |
| 0.0125 | 2.22318314713 | 2.22324427548 |
| 0.00625 | 2.22322899347 | 2.22324427548 |
| 0.003125 | 2.22324045498 | 2.22324427548 |
கணக்கிடும் முறை S
மைய வேறுபாட்டு ஈவு
பிழையில் h இன் இரட்டைப் படிகள் மட்டுமே உள்ளன; ரிச்சர்ட்சன் புறமதிப்பீடு அவற்றை ஒவ்வொன்றாக நீக்குகிறது.
ரிச்சர்ட்சன் புறமதிப்பீடு
h₀ = 0.1 இலிருந்து h ஐ 5 முறை பாதியாக்கியது; மதிப்பிடப்பட்ட பிழை 9.6 × 10⁻²³.
இருபக்க மதிப்பீடுகளும் ஒத்துள்ளன
D₋ மற்றும் D₊ இடது, வலது மதிப்பீடுகள். அவற்றின் ஒற்றுமை எண்முறை விடையை ஆதரிக்கிறது; குறைந்த எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகள் வகையிடத்தக்க தன்மைக்கான நிரூபணமல்ல.
தொடுகோடு
y = 2.223244x − 1.381773
எண்ணியல் வகைக்கெழுக் கணிப்பான் பற்றி
f′(x₀) என்பது x₀ இல் f இன் சாய்வு. h என்பது 0 ஐ அணுகும்போது [f(x₀ + h) − f(x₀ − h)]/2h இன் எல்லையே அது. இக்கருவி h = 0.1 × max(1, |x₀|) இலிருந்து தொடங்கி h ஐப் பாதியாக்குகிறது. ரிச்சர்ட்சன் புறமதிப்பீடு (ரிடர்ஸ் முறை, Numerical Recipes §5.7) h², h⁴, … பிழை உறுப்புகளை ஒவ்வொன்றாக நீக்குகிறது. சீரான சார்புகளில் சுமார் 20 பொருளுள்ள இலக்கங்களை இலக்காகக் கொண்டது; இது எல்லாச் சார்புகளுக்குமான உத்தரவாதமல்ல. இரண்டாம் வகைக்கெழுவுக்கு [f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h)]/h² இதே முறையில் பயன்படுகிறது.
கையால் கண்ட வகைக்கெழுவைச் சரிபார்க்கவும், மாற்ற வீதம் அல்லது தொடுகோட்டைக் காணவும் பயன்படுத்தலாம். இயல்புநிலை x² sin x, x = 1 இல், வகைக்கெழு 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443; தொடுகோடு y = 2.223244x − 1.381773.
முக்கோணவியல் கோணங்கள் ரேடியனில் உள்ளன. இடது மற்றும் வலது சாய்வுகள் வேறுபட்டால் அந்த இடத்தில் மூலை உள்ளது; எண்ணுக்குப் பதிலாக அதற்கான செய்தி காட்டப்படும்.
ஒரு புள்ளியில் வகைக்கெழு காண்பது
சார்பை x பயன்படுத்தி எழுதி, வகைக்கெழு வேண்டிய x₀ மதிப்பையும் முதல் அல்லது இரண்டாம் வகைக்கெழுவையும் தேர்ந்தெடுக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக x^3, x₀ = 2 எனில் f(2) = 8, f′(2) = 12. தொடுகோடு y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀); இங்கு y = 12x − 16. இது அருகிலுள்ள புள்ளிகளுக்கான நேர்கோட்டுத் தோராயம்; முழு வளைவின் சமன்பாடல்ல.
இக்கருவி ஒரு புள்ளியில் எண் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது. பொதுவான குறியீட்டு வகைக்கெழுச் சூத்திரத்தை உருவாக்காது. OpenStax வகைக்கெழு பாடம் எல்லை, சாய்வு மற்றும் தொடுகோட்டின் தொடர்பை விளக்குகிறது.
சரிபார்க்கக்கூடிய மதிப்புகள்
கீழுள்ள சார்புகளை அப்படியே உள்ளிடலாம். முக்கோணவியல் கோணங்கள் ரேடியனில் உள்ளன; விடைகள் தேவையான இடங்களில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளன.
| சார்பு f(x) | x₀ | வகைக்கெழு வரிசை | விடை |
|---|---|---|---|
| x^3 | 2 | 1 | 12 |
| sin(x) | 0 | 1 | 1 |
| exp(x) | 1 | 1 | 2.718281828459 |
| ln(x) | 2 | 2 | -0.25 |
| (x-1)^3 | 1 | 1 | 0 |
| x^2 * sin(x) | 1 | 1 | 2.223244275484 |
| x^3 | 2 | 2 | 12 |
| 5 | 1 | 1 | 0 |
முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழு
முதல் வகைக்கெழு சாய்வு. f′(x₀) நேர்மமாக இருந்தால் அருகிலுள்ள நேர்ம h க்கு f(x₀+h) ≈ f(x₀)+f′(x₀)h. இரண்டாம் வகைக்கெழு சாய்வின் மாற்ற வீதம்; அது தொடுகோட்டின் சாய்வல்ல. f″ நேர்மம் எனில் மேல்நோக்கி வளைவு, எதிர்மம் எனில் கீழ்நோக்கி வளைவு. f″ = 0 என்பது மட்டும் வளைவுமாற்றப் புள்ளிக்கான சான்றல்ல: x⁴ க்கு 0 இல் இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியம், ஆனால் வளைவுத் திசை மாறாது.
முதல் வரிசையில் தொடுகோடும், இரண்டாம் வரிசையில் கிடைக்கும்போது இரண்டாம் படி டெய்லர் வளைவும் காட்டப்படும். வரைபடத்தின் அரை அகலம் காட்சியை மட்டுமே மாற்றும்; தேர்ந்தெடுத்த புள்ளியின் வகைக்கெழுவை மாற்றாது.
புறமதிப்பீடும் பிழையும்
முதல் வகைக்கெழுவுக்கு [f(x₀+h)−f(x₀−h)]/(2h), இரண்டாமதற்கு [f(x₀+h)−2f(x₀)+f(x₀−h)]/h² பயன்படும். தொடக்க h என்பது 0.1 × max(1, |x₀|). தொடர்ந்து பாதியாக்கிய ஈவுகளிலிருந்து ரிச்சர்ட்சன் புறமதிப்பீடு இரட்டைப் படிப் பிழை உறுப்புகளை நீக்குகிறது. சுமார் 20 பொருளுள்ள இலக்கங்கள் ஓர் இலக்கு; உறுதியான துல்லியச் சான்றிதழல்ல.
காட்டப்படும் பிழை புறமதிப்பீட்டு மதிப்புகளின் வேறுபாட்டைச் சார்ந்த மதிப்பீடு. அது உண்மைப் பிழைக்கான நிரூபிக்கப்பட்ட மேல்வரம்பல்ல. மெதுவான ஒருபக்க நெருக்கம் அல்லது இலக்கைவிட அதிகப் பிழை பற்றிய எச்சரிக்கையைப் படிக்கவும். குறைந்த எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகள் ஒத்தாலும் வகையிடத்தக்க தன்மை நிரூபிக்கப்படாது.
உள்ளீட்டிலும் விளக்கத்திலும் தவிர்க்க வேண்டிய பிழைகள்
sin(2*x)மற்றும்2*sin(x)வேறு சார்புகள்; சங்கிலி விதியின் பெருக்கியை மறக்க வேண்டாம்.sin(x)க்கு x = 30 என்பது 30 ரேடியன். பாகை மதிப்பை நேரடியாகப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.abs(x)க்கு 0 இல் இடது சாய்வு −1, வலது சாய்வு +1; மைய ஈவு 0 ஆனாலும் வகைக்கெழு இல்லை.sqrt(x)க்கு 0 ஆட்களத்தின் முனை; இக்கருவி கோரும் இருபக்க வகைக்கெழு அங்கு இல்லை.1/xக்கு 0 இல் சார்பே வரையறுக்கப்படவில்லை.- பல புள்ளிகளில் மதிப்புகள் பொருந்துவது சூத்திரத்திற்கான ஆதரவு; கணித நிரூபணமல்ல.
ஒரு இடைவெளியின் மொத்த மாற்றத்தைக் காண வரையறுத்த தொகையீடு பயன்படுத்தவும்; சார்பின் வடிவத்தை ஆராய வரைபடக் கருவி உதவும்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
0 இல் d/dx sin x (ரேடியன்)
- சார்பு f(x)
- sin(x)
- x = என்ற புள்ளியில்
- 0
- வகைக்கெழு
- முதல் f′(x)
- வகைக்கெழு
- 1
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: cos 0 = 1
1 இல் d/dx x²·sin x
- சார்பு f(x)
- x^2 * sin(x)
- x = என்ற புள்ளியில்
- 1
- வகைக்கெழு
- முதல் f′(x)
- வகைக்கெழு
- 2.223244275484
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 2 sin 1 + cos 1; டெய்லர் தொடரால் 70 இலக்கங்களில் கணக்கிடப்பட்டது
1 இல் d/dx eˣ
- சார்பு f(x)
- exp(x)
- x = என்ற புள்ளியில்
- 1
- வகைக்கெழு
- முதல் f′(x)
- வகைக்கெழு
- 2.718281828459
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: e = exp(1) என்பதன் மதிப்பு
கேள்விகள்
வகைக்கெழு என்றால் என்ன?
x₀ இல் f இன் வகைக்கெழு அதன் வரைபடச் சாய்வு: h என்பது 0 ஐ அணுகும்போது [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h இன் எல்லை. f(x) = x³, x = 2 எனில் சாய்வு 3 × 2² = 12. எனவே x = 2 அருகே x ஒரு அலகு மாறும்போது சார்பு சுமார் 12 அலகுகள் உயரும். (2, 8) ஐத் தொடும் y = 12x − 16 அங்குள்ள தொடுகோடு.
எண்முறையில் வகைக்கெழு எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
சிறிய h உடன் வேறுபாட்டு ஈவைக் கணக்கிடலாம். மைய ஈவு [f(x + h) − f(x − h)]/2h இன் பிழை h² போன்று குறையும்; ஒருபக்க ஈவு [f(x + h) − f(x)]/h இன் பிழை h போன்று குறையும். sin x, x = 0, h = 0.1 எனில் மைய ஈவு 0.998334; சரியான மதிப்பு 1. மிகச் சிறிய h வட்டமிடல் பிழையை அதிகரிக்கலாம்; எனவே இக்கருவி மிதமான படிகளிலிருந்து புறமதிப்பீடு செய்கிறது.
இரண்டாம் வகைக்கெழு எதைக் காட்டுகிறது?
f″(x) என்பது சாய்வின் மாற்ற வீதம்; மேல்நோக்கி வளைந்தால் நேர்மம், கீழ்நோக்கி வளைந்தால் எதிர்மம். ln x க்கு f″(x) = −1/x²; எனவே f″(2) = −0.25. எண்முறையில் [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h² பயன்படுகிறது. f″ குறிமாறும் இடத்தில் வளைவுமாற்றப் புள்ளி இருக்கலாம்; அதன் இருப்பும் சார்பின் தொடர்ச்சியும் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.
தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு காண்பது?
y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) பயன்படுத்தவும். f(x) = x³, x₀ = 2 எனில் f(2) = 8, f′(2) = 12; ஆகவே y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. அருகிலுள்ள மதிப்புகளுக்குத் தொடுகோடு ஒரு நேர்கோட்டுத் தோராயம்: 2.1³ ஐ 8 + 12 × 0.1 = 9.2 என மதிப்பிடுகிறது; சரியான மதிப்பு 9.261.
சில புள்ளிகளில் வகைக்கெழு ஏன் இல்லை?
இடது மற்றும் வலது சாய்வுகள் ஒத்திருக்க வேண்டும். |x| க்கு 0 இல் இடதுபுறச் சாய்வு −1, வலதுபுறச் சாய்வு +1; எனவே மைய ஈவு 0 ஆனாலும் வகைக்கெழு இல்லை. தாவல் அல்லது x இன் முப்படி மூலத்துக்கு 0 இல் உள்ள செங்குத்துத் தொடுகோடும் முடிவுறு வகைக்கெழுவைத் தடுக்கின்றன. இக்கருவி ஒருபக்க ஈவுகளை ஒப்பிட்டு வேறுபாட்டைத் தெரிவிக்கிறது.
இந்தக் கணிப்பான் பற்றி
ஆதாரங்கள்
- Press et al., Numerical Recipes (3rd ed.) §5.7 — numerical derivatives (Ridders' method)
- Wolfram MathWorld — Richardson Extrapolation
ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 6 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.