2 முதல் 5 நேரியல் சமன்பாடுகளை Gauss–Jordan நீக்கல் முறையில் துல்லியமான பின்னங்களுடன் தீர்க்கவும். வரிசைச் செயல்கள் காட்டப்படும்; தீர்வு இல்லாத, முடிவிலா தீர்வுள்ள நிலைகளும் கண்டறியப்படும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 5
3 சமன்பாடுகளும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கின்றன: x = 2, y = 3, z = −1. அணிக்கோவை −1 பூச்சியமல்லாததால் தீர்வு தனித்தது.
அறியாத மாறிகள்: x, y, z.
நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை [A | b] என்ற விரிவாக்க அணியாக எழுதலாம்; ஒவ்வொரு வரிசையும் ஒரு சமன்பாடு. Gauss–Jordan முறையில் முன்னணி உறுப்பை 1 ஆக்கி, அதன் மடங்குகளை மற்ற வரிசைகளிலிருந்து கழிக்கிறோம். தனித்த தீர்வு இருக்கும்போது குணகப் பகுதி அலகு அணியாகி, கடைசிப் பத்தியில் தீர்வு கிடைக்கும். துல்லியமான பின்னங்கள் பயன்படுத்தப்படுவதால் 2x + 3y = 7, 4x − y = 1-க்கு முழுமைப்படுத்திய தசமங்களுக்குப் பதில் x = 5/7, y = 13/7 கிடைக்கும்.
மின்சுற்றுப் பகுப்பாய்வு, கலவை, விலை நிர்ணயம், இயற்கணிதப் பயிற்சிகளில் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. முன்னிருப்பு என்பது Wikipedia-இன் Gaussian elimination கட்டுரையிலுள்ள 3 × 3 எடுத்துக்காட்டு: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3. தனித்த தீர்வு x = 2, y = 3, z = −1.
Rouché–Capelli தேற்றத்தின்படி A, [A | b] ஆகியவற்றின் தரங்கள் சமமாகவும் அறியாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருந்தால் ஒரே தீர்வு. இரண்டுக்கும் சமமான குறைந்த தரம் இருந்தால் முடிவிலா தீர்வுகள். தரங்கள் வேறுபட்டால் தீர்வு இல்லை.
ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் மாறிகளை ஒரே வரிசையில் எழுதுங்கள். 2x = 7 − 3y என்பதை 2x + 3y = 7 என மாற்றினால் 2 3 7. இரண்டாவது சமன்பாடு 4x − y = 1 எனில் 4 -1 1. கடைசி உறுப்பு மட்டும் வலப்பக்க மாறிலி; மற்றவை மாறிகளின் குணகங்கள்.
2 3 7
4 -1 1
ஒரு வரிக்கு ஒரு சமன்பாடு; ; குறியாலும் வரிகளைப் பிரிக்கலாம். இடைவெளி அல்லது காற்புள்ளியால் உறுப்புகளைப் பிரிக்கவும். 2 3 | 7, 2 3 = 7 என்பவையும் ஏற்கப்படும். இல்லாத மாறிக்கு 0 இடவும். இங்கு n மாறிகளுக்கு n சமன்பாடுகளும் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் n + 1 எண்களும் தேவை; n என்பது 2 முதல் 5 வரை. தமிழ் இலக்கங்களும் 1/2 போன்ற பின்னங்களும் ஏற்கப்படும்.
4x − y = 1-ஐ மூன்றால் பெருக்கினால் 12x − 3y = 3. இதை 2x + 3y = 7-உடன் கூட்டினால் 14x = 10; x = 5/7. பின்னர் y = 4x − 1 = 13/7. இரு விடைகளையும் அசல் சமன்பாடுகளில் பதிலிட்டுச் சரிபார்க்கலாம்.
Gauss–Jordan முறையில் இதே செயல்கள் விரிவாக்க அணி [A | b]-இன் வரிசைகளில் நடைபெறுகின்றன. வரிசைகளை மாற்றுதல், பூச்சியமல்லாத எண்ணால் ஒரு வரிசையைப் பெருக்குதல், ஒரு வரிசையின் மடங்கை மற்றொன்றுடன் கூட்டுதல் ஆகியவை தீர்வை மாற்றாது. தனித்த தீர்வு இருந்தால் குணகப் பகுதி அலகு அணியாகும். OpenStax அணி நீக்கல் பாடம் இம்முறையை விளக்குகிறது.
| உள்ளீட்டு வரிசைகள் (; மூலம் பிரித்தது) | வகை | தீர்வு |
|---|---|---|
| 1 1 2; 1 -1 0 | தனித்த தீர்வு | x = 1, y = 1 |
| 2 3 7; 4 -1 1 | தனித்த தீர்வு | x = 5/7, y = 13/7 |
| 1 1 1; 2 2 3 | தீர்வு இல்லை | முரண்பாடு |
| 1 1 2; 2 2 4 | முடிவிலா தீர்வுகள் | x = 2 − t, y = t |
| 0 0 0; 0 0 0 | முடிவிலா தீர்வுகள் | x = t, y = s |
| 0 0 1; 0 0 0 | தீர்வு இல்லை | முரண்பாடு |
| 2 1 -1 8; -3 -1 2 -11; -2 1 2 -3 | தனித்த தீர்வு | x = 2, y = 3, z = −1 |
| 1 1 1 6; 2 2 2 12; 1 -1 0 0 | முடிவிலா தீர்வுகள் | x = 3 − t/2, y = 3 − t/2, z = t |
வரிசைக் குறுக்கத்துக்குப் பின் 0 = 1 போன்ற சமன்பாடு வந்தால் தீர்வு இல்லை. 0 = 0 என்ற வரிசை மட்டும் முடிவிலா தீர்வுகளுக்கான முழுச் சோதனை அல்ல; மற்ற வரிசைகளிலும் முரண்பாடு இல்லாதிருக்க வேண்டும். A, [A | b] தரங்கள் வேறுபட்டால் தீர்வு இல்லை. தரங்கள் சமமாகவும் மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குக் குறைவாகவும் இருந்தால் கட்டற்ற மாறிகள் இருக்கின்றன; அவற்றுக்கு t, s போன்ற அளபுருக்களைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான தரம் கிடைத்தால் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரே மதிப்பு. இரு மாறிகளுக்கான வரைபடத்தில் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியே தீர்வு. இணைக் கோடுகளுக்கு தீர்வு இல்லை; ஒரே கோட்டின் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு முடிவிலா தீர்வுகள். எல்லாக் குணகங்களும் பூச்சியமான வரிசை ஒரு கோட்டை வரையாது; அப்போது குறுக்கிய அணியையும் விளக்கத்தையும் பாருங்கள்.
அணிக்கோவை குணக அணி A-க்கு மட்டுமே. அது பூச்சியமல்லாதபோது சதுரத் தொகுப்புக்கு தனித்த தீர்வு உண்டு. பூச்சியமானால் தீர்வு இல்லை அல்லது முடிவிலா தீர்வுகள்; இரண்டை வேறுபடுத்தக் குறுக்கிய வரிசைகள் தேவை. ஒரு சமன்பாட்டை அளவிட்டால் அணிக்கோவை மாறலாம்; தீர்வு மாறாது. அதன் அளவை மட்டும் துல்லியத்தின் அளவாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டாம்.
நிலை எண் κ = ‖A‖∞ × ‖A⁻¹‖∞. இங்கு ஒவ்வொரு நெறியும் மிகப்பெரிய தனிமதிப்பு வரிசைக் கூட்டுத்தொகை. முன்னிருப்பின் தீர்வு (2, 3, −1); நெறிகள் 6, 10 என்பதால் κ = 60. நிலை எண்ணின் விளக்கத்தின்படி இது உள்ளீட்டுச் சார்புப் பிழைக்கான உணர்திறனை அளவிடுகிறது; ஒவ்வொரு கணக்கிலும் இத்தனை இலக்கங்கள் கட்டாயம் இழக்கப்படும் என்று பொருளல்ல.
x + y = 2, x + 1.0001y = 2.0001-க்கு x = y = 1; நிலை எண் சுமார் 40004. கடைசி மாறிலியை மட்டும் 2.0002 என மாற்றினால் x = 0, y = 2. துல்லியப் பின்னக் கணக்கு நீக்கலின்போது முழுமைப்படுத்தலைத் தவிர்க்கும்; ஆனால் அளவீட்டில் ஏற்கெனவே இழந்த துல்லியத்தை மீட்டுத் தராது. 10¹²-க்கு மேல் எச்சரிக்கை வரும்.
மூன்றில் ஒன்றுக்கு 1/3 பயன்படுத்துங்கள்; 0.333 என்பது வேறு துல்லியமான உள்ளீடு. π அல்லது மூலக்குறிக் கோவைகள் பயன்படுத்தப்பட்டால் அவற்றின் வரையறுக்கப்பட்ட தசம அணுகுமதிப்புகளே பின்னங்களாகக் கணக்கில் கொள்ளப்படும்; எச்சரிக்கையைப் படிக்கவும். நான்கு அல்லது ஐந்து மாறிகளுக்கு விடைகள் x₁ முதல் x₅ வரை பெயரிடப்படும்.
xy, x², sin(x) போன்ற உறுப்புகளுள்ள சமன்பாடுகள் நேரியல் அல்ல; எண் வரிசைகளாக அவற்றை எழுத முடியாது. ஒரு இருபடிக்கு இருபடித் தீர்வியும், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூலக் கணிப்பானும், அணி செயல்களுக்கு அணிக் கணிப்பானும் உதவும். அறியாத மாறிகளைவிட அதிக சமன்பாடுகளுள்ள அளவீட்டுப் பொருத்தம் இக்கருவியின் சதுரத் தொகுப்பு முறைக்குள் வராது.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: Wikipedia “Gaussian elimination” எடுத்துக்காட்டு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 2 × முதல் சமன்பாடு என்பது 2x + 2y = 2 ≠ 3
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: வரிசை 2 = 2 × வரிசை 1; x = y, 2y + z = 6 (கைக் கணக்கு நீக்கல்)
ஒவ்வொரு மாறியாக நீக்குங்கள். Gauss–Jordan முறையில் சமன்பாடுகளை அணியாக எழுதி, முதல் முன்னணி குணகத்தை 1 ஆக்கி, அந்த வரிசையின் மடங்குகளால் மற்ற சமன்பாடுகளில் x-ஐ நீக்குகிறோம். பின்னர் y, z-க்கும் இதையே செய்கிறோம். முன்னிருப்பில் மூன்று கட்ட வரிசைச் செயல்களுக்குப் பின் x = 2, y = 3, z = −1. 2x + y − z = 8-இல் பதிலிட்டால் 4 + 3 + 1 = 8.
வரிசைக் குறுக்கத்துக்குப் பின் எல்லாக் குணகங்களும் 0 ஆன வரிசைகளைப் பாருங்கள். 0 = 1 அல்லது 0 பூச்சியமல்லாத ஏதேனும் மதிப்புக்குப் பூச்சியம் சமம் என்றால் தீர்வு இல்லை: x + y = 1, 2x + 2y = 3 இணைக் கோடுகள். 0 = 0 என்ற வரிசை சார்பைச் சுட்டலாம்; மீதமுள்ள வரிசைகளில் முரண்பாடு இல்லாமல் முன்னணி உறுப்புகள் போதாவிட்டால் கட்டற்ற மாறிகளால் முடிவிலா தீர்வுகள். சமன்பாடுகளும் மாறிகளும் சம எண்ணிக்கையில் இருக்கும்போது அணிக்கோவை 0 எனில் இவ்விரண்டு நிலைகளில் ஒன்று.
Cramer விதியில் ஒவ்வொரு மாறியும் அணிக்கோவைகளின் விகிதம்: x = det(Aₓ)/det(A). Aₓ என்பது A-இன் x பத்தியை மாறிலிகளால் மாற்றியது. 2x + 3y = 7, 4x − y = 1-க்கு det(A) = 2 × (−1) − 3 × 4 = −14; det(Aₓ) = 7 × (−1) − 3 × 1 = −10. ஆகவே x = 10/14 = 5/7. det(A) ≠ 0 தேவை; 3 × 3-ஐத் தாண்டிய பெரிய தொகுப்புகளுக்கு நீக்கல் பொதுவாக நடைமுறைக்கு ஏற்றது.
Gaussian நீக்கல் படிக்கட்டு வடிவத்துடன் நிற்கிறது; பின்னர் கடைசிச் சமன்பாட்டிலிருந்து பின்னோக்கிப் பதிலிட்டு விடை பெறுகிறது. தனித்த தீர்வுள்ள Gauss–Jordan முறை குணகப் பகுதி அலகு அணியாகும் வரை தொடர்வதால் ஒவ்வொரு மாறியையும் நேரடியாகப் படிக்கலாம். வழக்கமான செயலெண்ணிக்கைக் கணிப்பில் n சமன்பாடுகளுக்கு Gauss–Jordan சுமார் n³; Gaussian சுமார் 2n³/3. இவை நடைமுறை அமைப்பைப் பொறுத்த தோராய ஒப்பீடுகள்.
குணகங்கள் அல்லது மாறிலிகளில் சிறிய சார்புப் பிழை ஏற்பட்டால் தீர்வில் அது எவ்வளவு பெருகக்கூடும் என்பதை நிலை எண் அளவிடுகிறது. ∞-நெறியில் κ = ‖A‖∞ × ‖A⁻¹‖∞. முன்னிருப்பில் ‖A‖∞ = 6, ‖A⁻¹‖∞ = 10; எனவே κ = 60. பொதுவான தோராய விதியாக log₁₀ κ அளவு பொருளுள்ள இலக்கங்கள் இழக்கப்படலாம்; இங்கு சுமார் 2. 10¹² அருகிலுள்ள பெரிய மதிப்பு சிறிய உள்ளீட்டு மாற்றங்களுக்கான உணர்திறனைச் சுட்டும்; தவிர்க்க முடியாத துல்லிய இழப்பு என்று பொருளல்ல.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 5 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.