2D அல்லது 3D-இல் இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல், குறுக்குப் பெருக்கல், நீளங்கள், இடைக்கோணம், ஒன்றின்மீது மற்றதன் வீழல் ஆகியவற்றை வரைபடத்துடன் காணவும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 5
a · b = 32; எனவே திசையன்கள் 12.9332° இடைக்கோணம் கொண்டவை; அவை அமைக்கும் இணைகரத்தின் பரப்பளவு 7.34847.
arccos(a·b / |a||b|)-க்குச் சமமானது; ஏறக்குறைய இணையான திசையன்களின் கோணத்தைத் துல்லியமாகக் கணக்கிட உதவுகிறது.
ஒத்த உறுப்புகளைப் பெருக்கிக் கூட்டுவது புள்ளிப் பெருக்கல்: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. இரு 3D திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் இரண்டிற்கும் செங்குத்தான திசையன்; அதன் நீளம் அவை அமைக்கும் இணைகரத்தின் பரப்பளவு. இடைக்கோணத்திற்கு θ = atan2(|a × b|, a · b) பயன்படுத்தப்படுகிறது; இது arccos(a · b / |a||b|)-க்குச் சமமானது, ஏறக்குறைய இணையான திசையன்களுக்கு உதவுகிறது. b-இன்மீது a-இன் வீழல் (a · b / |b|²) b.
இயற்பியலில் வேலை, திருப்புத்திறன்; 3D வரைகலை; நேரியல் இயற்கணிதம் ஆகியவற்றில் பயன்படும். இயல்புநிலை a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) எனில் a · b = 32, a × b = (−3, 6, −3); இடைக்கோணம் சுமார் 12.93°.
புள்ளிப் பெருக்கல் 0 ஆகவும் இரு திசையன்களும் பூச்சியமற்றவையாகவும் இருந்தால் அவை செங்குத்தானவை; குறுக்குப் பெருக்கல் பூச்சியம் எனில் இணையானவை அல்லது ஒன்று பூச்சியத் திசையன். 2D முறையில் இரண்டும் xy-தளத்தில் இருப்பதால் குறுக்குப் பெருக்கல் z-திசையில் அமையும்: (3, 4) × (4, −3) = (0, 0, −25).
ஒவ்வொரு திசையனின் x, y, தேவைப்பட்டால் z உறுப்பையும் தனித்தனியாக உள்ளிடவும். தமிழ் இலக்கங்களும் ஏற்கப்படும். 2D தேர்வில் மறைந்த z உறுப்புகள் இரண்டும் பூச்சியமாகக் கொள்ளப்படும். அலகுகளை உள்ளீட்டில் சேர்க்காமல், முதலில் பொருந்தும் ஒரே அலகு முறைக்கு மாற்றவும்.
புள்ளிப் பெருக்கல் a · b = Σaᵢbᵢ ஒரு அளவெண். (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. குறுக்குப் பெருக்கல் a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁) ஒரு திசையன்; இங்கு (−3, 6, −3). அதை இரு உள்ளீடுகளுடனும் புள்ளிப் பெருக்கினால் பூச்சியம் கிடைக்கும். வரிசைமுறையை மாற்றினால் b × a = −(a × b).
| பரிமாணம் | a | b | புள்ளிப் பெருக்கல் | குறுக்குப் பெருக்கல் |
|---|---|---|---|---|
| 3D | (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | 32 | (−3, 6, −3) |
| 3D | (4, 5, 6) | (1, 2, 3) | 32 | (3, −6, 3) |
| 2D | (3, 4) | (4, −3) | 0 | (0, 0, −25) |
| 2D | (1, 0) | (−2, 0) | −2 | (0, 0, 0) |
| 3D | (1, 2, 3) | (2, 4, 6) | 28 | (0, 0, 0) |
| 3D | (2, −1, 3) | (1, 4, −2) | −8 | (−10, 7, 9) |
| 2D | (0, 0) | (4, 0) | 0 | (0, 0, 0) |
| 2D | (0.5, 1.5) | (2, −1) | −0.5 | (0, 0, −3.5) |
OpenStax புள்ளிப் பெருக்கல் பாடமும் குறுக்குப் பெருக்கல் பாடமும் கோணம், செங்குத்துத்தன்மை, வலக்கை விதி ஆகியவற்றை விளக்குகின்றன. 2D முறையிலும் குறுக்குப் பெருக்கல் மூன்று உறுப்புகளுடன் வரும்; z-உறுப்பு மட்டும் பூச்சியமற்றதாக இருக்கலாம். அதன் நேர்மறைக் குறி a-இலிருந்து b-க்கு எதிர்க்கடிகாரத் திசையைக் குறிக்கிறது.
நீளம் என்பது √Σaᵢ². பூச்சியமற்ற திசையன்களுக்கு a · b = |a||b| cos θ. இக்கணிப்பான் θ = atan2(|a × b|, a · b) பயன்படுத்துகிறது; கோணம் 0° முதல் 180° வரை. முடிவில் பாகை மற்றும் ரேடியன் மதிப்புகள் இரண்டும் தனித்தனியாகக் கிடைக்கும்; பொதுக் கோண அமைப்பு இந்தப் பாகை விடையை ரேடியனாக மாற்றாது.
புள்ளிப் பெருக்கல் பூச்சியம், இரு திசையன்களும் பூச்சியமற்றவை எனில் மட்டுமே அவை 90° கோணத்தில் உள்ளன. குறுக்குப் பெருக்கல் பூச்சியமாக இருப்பது ஒரே திசையையோ எதிர்த்திசையையோ காட்டலாம்; பூச்சியத் திசையனுக்கும் அது பூச்சியமே. பூச்சியத் திசையனுக்கு திசை இல்லாததால் இடைக்கோணம் வரையறுக்கப்படாது; கணிப்பான் அதை விடையற்றதாகவும் எச்சரிக்கையுடனும் காட்டும்.
நேரடியாக arccos(a · b / (|a||b|)) பயன்படுத்துவது 0° அல்லது 180° அருகில் வட்டமிடல் பிழைக்கு உணர்திறன் கொண்டது. Kahan-இன் “Mangled Angles” பகுதி இதை ஆராய்ந்து, அளவாக்கப்பட்ட திசையன்களின் கூட்டல்/வித்தியாச நீளங்களைக் கொண்ட அரைக்கோண வாய்பாட்டை முன்வைக்கிறது. அது இக்கணிப்பானின் atan2 குறுக்குப் பெருக்கல் வாய்பாட்டிலிருந்து வேறுபட்டது. இங்கு பயன்படுத்திய முறையும் எல்லா மிகை அளவுகளுக்கும் எல்லா உள்ளீடுகளுக்கும் துல்லியச் சான்றிதழாகாது.
அளவெண் வீழல் (a · b)/|b|; திசையன் வீழல் [(a · b)/|b|²]b. (2, 3)-ஐ (4, 0)-இன்மீது வீழ்த்தினால் முறையே 2, (2, 0). (1, 0)-ஐ (−2, 0)-இன்மீது வீழ்த்தினால் அளவெண் −1; திசையன் (1, 0). எதிர்மறை அளவெண் என்பது b-க்கு எதிரான திசையில் அளக்கப்பட்ட நீளம்.
b பூச்சியத் திசையன் எனில் இரண்டு வீழல்களும் வரையறுக்கப்படாது. a மட்டும் பூச்சியமாகவும் b பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் வீழல்கள் பூச்சியம்; கோணம் மட்டும் வரையறுக்கப்படாது. வீழல் வரிசைமுறையைப் பொறுத்தது: a-இன்மீது b-இன் வீழல் வேறு கணக்கு.
குறுக்குப் பெருக்கலின் நீளம் இணைகரப் பரப்பளவு; அதன் பாதி முக்கோணப் பரப்பளவு. இயல்புநிலை எடுத்துக்காட்டில் √54 ≈ 7.348469; முக்கோணம் சுமார் 3.674235. விசையையும் இடப்பெயர்ச்சியையும் புள்ளிப் பெருக்கினால் வேலை; நிலைத் திசையனையும் விசையையும் குறுக்குப் பெருக்கினால் திருப்புத்திறன். உள்ளீடுகளின் அலகுகள் பொருந்த வேண்டும்.
2D வரைபடத்தில் p என்பது வீழல்; முறிந்த கோடு a-இலிருந்து வீழலுக்குச் செல்கிறது. 3D படம் சாய்வுத் திட்டமிடல் மட்டுமே; அதில் காணும் திரைக் கோணத்தையோ அம்பின் நீளத்தையோ உண்மையான முப்பரிமாண அளவாக அளக்க வேண்டாம். கணக்கிடப்பட்ட எண் விடைகளைப் பயன்படுத்தவும். உரைத் திசையன்கள் சுருக்கமாக வட்டமிடப்படுகின்றன.
வரிசை–நிரல் கணக்குகளுக்கு அணிக் கணிப்பான், மெய்/கற்பனைத் தளத்திற்கு சிக்கலெண் கணிப்பான் பயன்படும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: கைக் கணக்கு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 3·4 + 4·(−3) = 0; 3·(−3) − 4·4 = −25
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: b = 2a; எனவே a × b = 0, θ = 0
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: a·b/|b| = 8/4; கோணம் atan2(3, 2) = 56.3099324740202…°
ஒத்த உறுப்புகளைப் பெருக்கிக் கூட்டவும்: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. புள்ளிப் பெருக்கல் |a||b| cos θ-க்கும் சமம்; கோணம் 90°-க்குக் குறைவாக இருந்தால் நேர்மறை, சரியாக 90° எனில் 0, அதிகமாக இருந்தால் எதிர்மறை: (1, 0) · (−2, 0) = −2.
a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) எனில் a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). (1, 2, 3) × (4, 5, 6) = (12 − 15, 12 − 6, 5 − 8) = (−3, 6, −3). விடை இரண்டிற்கும் செங்குத்தானது; வலக்கை விதியைப் பின்பற்றும். வரிசைமுறையை மாற்றினால் குறி மாறும்: b × a = (3, −6, 3).
cos θ = (a · b)/(|a||b|). (1, 2, 3), (4, 5, 6)-க்கு cos θ = 32/(√14 × √77) ≈ 0.974632; எனவே θ ≈ 12.93°. 0° அல்லது 180° அருகில் arccos வடிவம் துல்லியத்தை இழக்கலாம். இக்கணிப்பான் θ = atan2(|a × b|, a · b) பயன்படுத்துகிறது. William Kahan-இன் மிதவைப்புள்ளி வட்டமிடல் குறிப்புகள் கோண வாய்பாடுகளின் துல்லியப் பிரச்சினைகளை ஆராய்கின்றன; அங்கு முன்வைக்கப்படும் மேம்பட்ட அரைக்கோண வாய்பாடு இதிலிருந்து வேறுபட்டது.
இரண்டுமே பூச்சியத் திசையனாக இல்லாவிட்டால் அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை. (3, 4) · (4, −3) = 12 − 12 = 0; எனவே இடைக்கோணம் சரியாக 90°. இயற்பியலில் விசை இடப்பெயர்ச்சிக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால் அது செய்யும் வேலை பூச்சியம்; வேலை என்பது விசை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியின் புள்ளிப் பெருக்கல்.
b-இன்மீது a-இன் அளவெண் வீழல், b-திசையில் உள்ள குறியுடனான நீளம் a · b / |b|. திசையன் வீழல் (a · b / |b|²) b. (2, 3)-ஐ (4, 0)-இன்மீது வீழ்த்தினால் அளவெண் வீழல் 8/4 = 2; திசையன் வீழல் (2, 0). எதிர்மறை அளவெண் வீழல் a-இன் ஒரு பகுதி b-க்கு எதிர்த்திசையில் இருப்பதைக் காட்டும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 5 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.