CalcOpenly
தமிழ்

அணிக் கணிப்பான்

6 × 6 வரையிலான அணியின் அணிக்கோவை, நேர்மாறு, தரம் மற்றும் குறுக்கப்பட்ட நிரை ஏறுபடி வடிவம், ஒவ்வொரு நிரைச் செயல்பாட்டுடனும்; மேலும் இடமாற்று, பெருக்கல், கூட்டல் ஆகியவை துல்லியமான பின்னங்களில்.

செயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 8

ஒரு வரிக்கு ஒரு வரிசை (அல்லது ; மூலம் வரிசைகளைப் பிரிக்கவும்); உறுப்புகளுக்கு இடைவெளி அல்லது காற்புள்ளி இடவும்; 1/2 போன்ற பின்னங்கள் ஏற்கப்படும்
முயற்சிக்கவும்
முடிவு
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
முடிவு: [0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
A-இன் அணிக்கோவை (det A)
−1
A-இன் தரம் (rank A)
3
A-இன் மூலைவிட்டக் கூட்டுத்தொகை (trace A)
5

A-க்கு நேர்மாறு உள்ளது (det A = −1); அது A-இன் செயலை மாற்றியமைப்பதால் A × A⁻¹ அலகு அணி ஆகும்.

A⁻¹

001−2133−1−5
A⁻¹ வரிசைகள்: 3
நிரல் 1நிரல் 2நிரல் 3
001
−213
3−1−5
கணக்கிடும் முறை S

  1. [A | I] எழுதவும்

    [211100132010100001]\left[\begin{array}{ccc|ccc}2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

  2. நிரல் 1

    R1↔R2, R2←R2−2R1, R3←R3−R1  ⟶  [1320100−5−31−200−3−20−11]R_{1} \leftrightarrow R_{2},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - 2R_{1},\ R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]

  3. நிரல் 2

    R2←−15 R2, R1←R1−3R2, R3←R3+3R2  ⟶  [101535−1500135−1525000−15−35151]R_{2} \leftarrow -\frac{1}{5}\,R_{2},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - 3R_{2},\ R_{3} \leftarrow R_{3} + 3R_{2} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]

  4. நிரல் 3

    R3←−5 R3, R1←R1−15R3, R2←R2−35R3  ⟶  [100001010−2130013−1−5]R_{3} \leftarrow -5\,R_{3},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - \frac{1}{5}R_{3},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - \frac{3}{5}R_{3} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5\end{array}\right]

  5. வலப்பாதியே நேர்மாறு

    A−1=[001−2133−1−5]A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -5\end{array}\right]

    சரிபார்ப்பு: A × A⁻¹ = I.

அணிக் கணிப்பான் பற்றி

இந்தக் கணிப்பான் 6 × 6 வரையிலான அணிகளைத் துல்லியமான பின்னங்களுடன் கையாளுகிறது. நேர்மாறும் குறுக்கப்பட்ட படிக்கோட்டு வடிவமும் Gauss–Jordan நீக்கல் முறையில் கிடைக்கின்றன: [A | I]-இன் இடப்பாதி அலகு அணியாகும்வரை வரிசைச் செயல்களைச் செய்தால் வலப்பாதி A⁻¹ ஆகும். முன்னோக்கி நீக்கலில் கிடைக்கும் முன்னணி உறுப்புகளின் பெருக்கல் அணிக்கோவை; ஒவ்வொரு வரிசை இடமாற்றத்திற்கும் அதன் குறி மாறும். தரம் என்பது முன்னணி உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை; பெருக்கல் அணியின் உறுப்பு (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ.

நேரியல் இயற்கணிதம், 3D வரைகலை உருமாற்றங்கள், சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகள் ஆகியவற்றில் அணிகள் பயன்படுகின்றன. இயல்புநிலை அணி [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0]-இன் அணிக்கோவை −1; எனவே நேர்மாறு உள்ளது. அதன் நேர்மாறு [0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5] முழு எண் உறுப்புகளைக் கொண்டது.

ஒவ்வொரு வரியிலும் ஓர் அணி வரிசையை எழுதவும்; உறுப்புகளை இடைவெளி அல்லது காற்புள்ளியால் பிரிக்கவும். 1/2 போன்ற பின்னங்கள் துல்லியமாக இருக்கும். அணிக்கோவை 0 கொண்ட சதுர அணி வழு அணியாகும்: அதற்கு நேர்மாறு இல்லை; அதன் தரம் அதன் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவு.

அணி உள்ளீட்டையும் செயல் அளவையும் சரிபார்த்தல்

ஒவ்வொரு வரிக்கும் ஒரு வரிசை எழுதவும்; வரிசைகளை ; கொண்டும் பிரிக்கலாம். [1 2; 3 4] அல்லது 1, 2; 3, 4 ஏற்கப்படும். எல்லா வரிசைகளும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். தமிழ் இலக்கங்களும் 1/2 போன்ற பின்னங்களும் ஏற்கப்படும். ஒவ்வோர் அணிக்கும் அதிகபட்சம் 6 வரிசைகள், 6 நிரல்கள்.

காற்புள்ளிகள் இருந்தால் அவையே அந்த வரிசையின் உறுப்புகளைப் பிரிக்கும். 1 1/2, 2 என்பது கலப்பு எண் மற்றும் மற்றொரு உறுப்பு; 1 1/2 2 என்பது மூன்று தனி உறுப்புகளாகப் படிக்கப்படும். ஆயிரப் பிரிப்பாகக் காற்புள்ளி இட வேண்டாம். A-க்கு அணிக்கோவை அல்லது நேர்மாறு காண வரிசைகளும் நிரல்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். இடமாற்று, தரம், RREF ஆகியவற்றிற்கு செவ்வக அணிகளும் ஏற்கப்படும்.

பெருக்கலுக்கும் உறுப்புவாரிச் செயல்களுக்கும் உள்ள வேறுபாடு

AB-இன் (i,j) உறுப்பு A-இன் i-ஆம் வரிசை, B-இன் j-ஆம் நிரல் ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்: Σₖaᵢₖbₖⱼ. A-இன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை B-இன் வரிசைகளுக்குச் சமமாக வேண்டும். 2 × 3 அணியையும் 3 × 2 அணியையும் பெருக்கினால் 2 × 2 அணி; எதிர்வரிசையில் 3 × 3 அணி கிடைக்கும். AB, BA பொதுவாகச் சமமல்ல.

கூட்டலும் கழித்தலும் உறுப்புவாரியாக நடைபெறும்; இரு அணிகளும் ஒரே அளவில் இருக்க வேண்டும். இடமாற்று வரிசைகளை நிரல்களாக்கும்; அது நேர்மாறிலிருந்து வேறுபட்ட செயல். OpenStax அணி செயல்கள் பாடம் அளவுப் பொருத்தத்தையும் வரிசை–நிரல் பெருக்கலையும் விளக்குகிறது.

செயல்ABவிடை
பெருக்கல்[1, 2; 3, 4][5, 6; 7, 8][19, 22; 43, 50]
பெருக்கல்[5, 6; 7, 8][1, 2; 3, 4][23, 34; 31, 46]
கூட்டல்[1, 2; 3, 4][5, 6; 7, 8][6, 8; 10, 12]
கழித்தல்[1/2, 1; 0, 2][1/3, 1; 1, 0][1/6, 0; −1, 2]
இடமாற்று[1, 2, 3; 4, 5, 6]—[1, 4; 2, 5; 3, 6]
நேர்மாறு[4, 7; 2, 6]—[3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
அணிக்கோவை[2, 1, 1; 1, 3, 2; 1, 0, 0]—−1
தரம்[1, 2, 3; 2, 4, 6; 1, 1, 1]—2
RREF[1, 1, 3; 1, −1, 1]—[1, 0, 2; 0, 1, 1]
அணிக்கோவை[0, 1; 1, 0]—−1

நேர்மாறு, அணிக்கோவை, பின்னத் துல்லியம்

2 × 2 அணிக்கு A⁻¹ = [d −b; −c a]/(ad − bc), ad − bc ≠ 0. [4 7; 2 6]-இன் அணிக்கோவை 10; நேர்மாறு [3/5 −7/10; −1/5 2/5]. இருபுறமும் பெருக்கிப் பார்க்கவும்: AA⁻¹ = A⁻¹A = I. பெரிய அணிகளுக்கு [A | I]-ஐ வரிசைச் செயல்களால் [I | A⁻¹] ஆக மாற்றுகிறோம். MIT நேர்மாறு விளக்கம் அணிக்கோவைக்கும் நேர்மாறிற்கும் உள்ள தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

சதுர அணியின் அணிக்கோவை பூச்சியம் எனில் நேர்மாறு இல்லை. ஒரு வரிசை மற்ற வரிசைகளின் நேரியல் சேர்க்கையாக இருக்கலாம்; வெறும் சமமான வரிசைகள் மட்டுமே காரணமல்ல. அணிக்கோவை காண முன்னோக்கி நீக்கலின் முன்னணி உறுப்புகளைப் பெருக்கி, ஒவ்வொரு வரிசை இடமாற்றத்திற்கும் குறியை மாற்றுகிறோம். ஒரு வரிசையின் மடங்கை மற்றொன்றுடன் கூட்டுவது அணிக்கோவையை மாற்றாது.

பின்னங்கள் துல்லியமான விகிதமுறு கணக்கில் கையாளப்படும். 0.33 என்பது 1/3 அல்ல. π, வர்க்கமூலம் போன்ற விகிதமுறா உள்ளீடுகளுக்கு 50 குறிப்பிடத்தக்க இலக்கங்களுள்ள தசமத் தோராயம் முதலில் எடுக்கப்பட்டு அதுவே பின்னமாகக் கையாளப்படும்; அச்சிடப்படும் பின்னம் அசல் விகிதமுறா எண்ணின் துல்லியச் சின்ன வடிவமல்ல. எண் துணை விடைகள் வட்டமிடப்படலாம்.

தரம், RREF, விரிவாக்க அணி

தரம் என்பது நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கை; அது சார்பற்ற நிரல்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம். RREF-இல் ஒவ்வொரு முன்னணி உறுப்பும் 1; அந்த நிரலின் மற்ற உறுப்புகள் பூச்சியம்; கீழே செல்லும்போது முன்னணிகள் வலப்புறமாக நகரும்; பூச்சிய வரிசைகள் அடியில் இருக்கும். OpenStax நீக்கல் பாடம் படிநிலைகளை விளக்குகிறது.

சமன்பாட்டின் மாறிலிகளை இறுதி நிரலாகச் சேர்த்தால், [1 1 3; 1 −1 1]-இன் RREF [1 0 2; 0 1 1]; ஆகவே x = 2, y = 1. [0 0 1] போன்ற வரிசை 0 = 1 என்ற முரண்பாடு; ஒரு [0 0 0] வரிசை மட்டும் முடிவிலா தீர்வுகளுக்கான போதுமான சோதனையல்ல. எல்லா முன்னணி நிரல்களையும் முரண்பாடுகளையும் பார்க்க வேண்டும்.

இந்த அணிக் கணிப்பானின் rank A, det A, trace A துணை விடைகள் உள்ளீடு A-க்குரியவை; பெறப்பட்ட நேர்மாறு அல்லது பெருக்கல் அணிக்குரியவை அல்ல. விரிவாக்க அணியை A ஆகக் கொடுத்தால் காட்டப்படும் தரம் மாறிலி நிரலையும் உள்ளடக்கிய முழு அணியின் தரம். செவ்வக அணிக்கு அணிக்கோவையும் மூலைவிட்டக் கூட்டுத்தொகையும் விடையற்றதாக இருக்கும்.

படத்தையும் கூடுதல் கணக்குகளையும் வாசித்தல்

வரைபடத்தில் RREF முன்னணி உறுப்புகள் சுட்டிக்காட்டப்படும்; விடை அட்டவணையில் ஒவ்வொரு நிரலின் மதிப்பும் பின்னமாகக் கிடைக்கும். பெரிய அணிகளின் அட்டவணைகளையும் சமன்பாடுகளையும் குறுகிய திரையில் பக்கவாட்டில் நகர்த்திப் பார்க்கலாம். இணைக்காரணி காண தனிச் செயல் இல்லை: தேவையான சிற்றணியை உள்ளிட்டு அதன் அணிக்கோவையைக் கண்டு (−1)^(i+j) குறியைச் சேர்க்கவும்; நேர்மாறிற்கு இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்றே தேவை.

பெயரிட்ட தெரியாத மாறிகளுடன் தீர்க்க நேரியல் சமன்பாட்டுத் தீர்வி, புள்ளி/குறுக்குப் பெருக்கல்களுக்கு திசையன் கணிப்பான் பயன்படும்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

இயல்புநிலை 3 × 3 அணியின் நேர்மாறு

கணக்கிட வேண்டியது
A-இன் நேர்மாறு
அணி A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
முடிவு
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
A-இன் அணிக்கோவை (det A)
-1

சரிபார்ப்பின் மூலம்: இணைக்காரணிகளால் அணிக்கோவை = −1

[4 7; 2 6]-இன் நேர்மாறு

கணக்கிட வேண்டியது
A-இன் நேர்மாறு
அணி A
4 7 2 6
முடிவு
[3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
A-இன் அணிக்கோவை (det A)
10

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (1/(ad − bc))·[d −b; −c a] = (1/10)·[6 −7; −2 4]

இயல்புநிலை 3 × 3 அணியின் அணிக்கோவை

கணக்கிட வேண்டியது
A-இன் அணிக்கோவை
அணி A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
முடிவு
−1
A-இன் அணிக்கோவை (det A)
-1
A-இன் மூலைவிட்டக் கூட்டுத்தொகை (trace A)
5

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: இணைக்காரணி விரிப்பு: 2·0 − 1·(0 − 2) + 1·(0 − 3) = −1

வழு அணியின் தரம் (எல்லை நிலை)

கணக்கிட வேண்டியது
A-இன் தரம்
அணி A
1 2 3 2 4 6 1 1 1
முடிவு
2
A-இன் தரம் (rank A)
2
A-இன் அணிக்கோவை (det A)
0

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: வரிசை 2 = 2 × வரிசை 1

கேள்விகள்

ஓர் அணியின் நேர்மாறை எவ்வாறு காண்பது?

A-க்கு அருகில் அலகு அணியை வைத்து [A | I] என எழுதி, இடப்பாதி I ஆகும்வரை வரிசைச் செயல்களைச் செய்யவும்; வலப்பாதி A⁻¹ ஆகும். 2 × 2 அணி [a b; c d]-க்கு A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [d −b; −c a]. [4 7; 2 6]-க்கு ad − bc = 24 − 14 = 10; எனவே A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5].

3 × 3 அணியின் அணிக்கோவையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

ஒரு வரிசை அல்லது நிரலின் வழியே விரித்து, ஒவ்வோர் உறுப்பையும் அதன் 2 × 2 சிற்றணியின் அணிக்கோவையால் பெருக்கி மாறும் குறிகளுடன் கூட்டவும். [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0]-க்கு கீழ்வரிசையில் இரு 0 உறுப்புகள் இருப்பதால் det = 1 × (1 × 2 − 1 × 3) = −1. பெரிய அணிகளுக்கு வரிசை நீக்கல் குறைந்த செயல்களில் அதே விடையைத் தரும்.

ஓர் அணிக்கு எப்போது நேர்மாறு இருக்காது?

சதுர அணியின் அணிக்கோவை 0 எனில் நேர்மாறு இல்லை; அப்போது வரிசைகள் அல்லது நிரல்கள் நேரியல் சார்புடையவை. [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1]-இல் வரிசை 2 என்பது வரிசை 1-இன் இருமடங்கு; தரம் 3 அல்ல, 2; அணிக்கோவை 0. இத்தகைய அணி வழு அணி எனப்படும்; இதைக் கொண்ட Ax = b சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்குத் தீர்வு இல்லாமலோ முடிவிலா தீர்வுகளோ இருக்கலாம்.

இரு அணிகளை எவ்வாறு பெருக்குவது?

AB-இன் ஒவ்வோர் உறுப்பும் A-இன் ஒரு வரிசையையும் B-இன் ஒரு நிரலையும் உறுப்புவாரியாகப் பெருக்கிக் கூட்டிய மதிப்பு: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ. [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]-இன் மேல் இடது உறுப்பு 1 × 5 + 2 × 7 = 19; பெருக்கல் அணி [19 22; 43 50]. A-இன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை B-இன் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக வேண்டும். வரிசைமுறை முக்கியம்: இங்கு BA = [23 34; 31 46].

குறுக்கப்பட்ட படிக்கோட்டு வடிவம் என்றால் என்ன?

குறுக்கப்பட்ட படிக்கோட்டு வடிவத்தில் (RREF), பூச்சியமல்லாத ஒவ்வொரு வரிசையின் முதல் பூச்சியமல்லாத உறுப்பு 1; அந்த முன்னணி 1-இன் நிரலிலுள்ள மற்ற உறுப்புகள் பூச்சியம். கீழே செல்லும்போது முன்னணி 1-கள் வலப்புறமாக நகரும்; பூச்சிய வரிசைகள் அடியில் இருக்கும். ஒவ்வோர் அணிக்கும் ஒரே RREF உண்டு; முன்னணி 1-களின் எண்ணிக்கையே தரம். விரிவாக்க அணியில் [1 0 0 −8; 0 1 0 1; 0 0 1 −2] என்பது x = −8, y = 1, z = −2 எனக் காட்டுகிறது.

இந்தக் கணிப்பான் பற்றி

A−1: [A∣I]⟶[I∣A−1](AB)ij=∑kaikbkj\begin{gathered} A^{-1}:\ [A \mid I] \longrightarrow [I \mid A^{-1}] \\[10pt] (AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj} \end{gathered}

ஆதாரங்கள்

  1. Wikipedia — Gaussian elimination (row reduction and the RREF example)
  2. Wolfram MathWorld — Matrix Inverse
  3. G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th ed.), chapters 2–3

ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது

இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 8 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.

இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்

கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.

உயரம்
உட்பொதிப்பின் முன்னோட்டத்தைப் பார்

நன்றிக் குறிப்பை அப்படியே வைத்திருங்கள். இது ஒன்றே நிபந்தனை, இதுவே இந்தக் கணிப்பான்களை இலவசமாக வைத்திருக்கிறது.

தொடர்புடைய கணிப்பான்கள்