संवेग और संघट्ट कैलकुलेटर: प्रत्यास्थ, अप्रत्यास्थ या आंशिक प्रत्यास्थ आमने-सामने की टक्कर में अंतिम वेग, कुल संवेग और गतिज ऊर्जा की हानि।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 5
इस प्रत्यास्थ संघट्ट में संवेग 5 kg·m/s ही रहता है; टक्कर के बाद पिंड 1 का वेग 0.333333 m/s और पिंड 2 का 4.33333 m/s होता है, और गतिज ऊर्जा का 0% खो जाता है।
e = 1 पूरी गतिज ऊर्जा बनाए रखता है; e = 0 का अर्थ है कि पिंड साथ-साथ चलते हैं।
दो पिंडों के संघट्ट में कुल संवेग m₁u₁ + m₂u₂ पहले और बाद में बराबर रहता है। प्रत्यानयन गुणांक e, यानी अलग होने की चाल और पास आने की चाल का अनुपात, दूसरा समीकरण देता है: e = 1 पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट है और e = 0 का अर्थ है कि पिंड आपस में चिपक जाते हैं। दोनों समीकरण दोनों अंतिम वेग देते हैं, और पहले और बाद के ½mv² की तुलना से गतिज ऊर्जा की हानि मिलती है।
डिफ़ॉल्ट में 3 m/s पर 2 kg का पिंड −1 m/s पर चलते 1 kg के पिंड से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है, और वे 0.333 m/s और 4.333 m/s पर अलग होते हैं। 20 m/s पर चलती 1,000 kg की कार खड़ी 1,500 kg की कार से जुड़ जाए तो दोनों 8 m/s से चलती हैं, और 60% गतिज ऊर्जा विकृति, ऊष्मा और ध्वनि में चली जाती है।
गति एक ही रेखा में है: एक दिशा को धनात्मक चुनें और उलटी दिशा वाले वेगों को ऋण चिह्न दें। टक्कर के दौरान सड़क के घर्षण जैसे बाहरी बल नगण्य माने गए हैं।
यह कैलकुलेटर दो पिंडों की आमने-सामने की टक्कर (संघट्ट) में अंतिम वेग, कुल संवेग और गतिज ऊर्जा की हानि निकालता है, चाहे टक्कर प्रत्यास्थ हो, पूर्णतः अप्रत्यास्थ हो या बीच की। डिफ़ॉल्ट में 3 m/s से चलता 2 kg का पिंड −1 m/s से चलते 1 kg के पिंड से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है; टक्कर के बाद पहला 0.333 m/s और दूसरा 4.333 m/s से चलता है, और कुल संवेग 5 kg·m/s बना रहता है।
संवेग (momentum) द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है: p = mv, kg·m/s में। वेग की दिशा होती है, इसलिए संवेग की भी: 3 m/s पर 2 kg की गाड़ी का संवेग 6 kg·m/s है, और उलटी दिशा में −1 m/s से चलती 1 kg की गाड़ी का −1 kg·m/s। दोनों मिलकर 5 kg·m/s रखती हैं।
एक दिशा को धनात्मक चुनें और उलटी दिशा वाले हर वेग को ऋण चिह्न दें। OpenStax का रैखिक संवेग वाला पाठ संवेग को इसी सदिश राशि के रूप में परिभाषित करता है।
जब टक्कर के दौरान कोई बाहरी बल नहीं लगता, तो कुल संवेग पहले और बाद में बराबर रहता है: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂। यह दो अज्ञातों, अंतिम वेग v₁ और v₂, वाला एक समीकरण है, इसलिए दूसरा समीकरण चाहिए।
प्रत्यानयन गुणांक (coefficient of restitution) e वह देता है: v₂ − v₁ = e(u₁ − u₂)। पिंड पास आने की चाल के e गुना से अलग होते हैं, प्रत्यास्थ टक्कर में e = 1 से लेकर चिपक जाने पर e = 0 तक।
दोनों को हल करने पर:
द्रव्यमान kg में, वेग m/s में, कुल संवेग kg·m/s में और गतिज ऊर्जा की हानि जूल में है।
| m1 | u1 | m2 | u2 | e | v1 | v2 | कुल p | KE की हानि |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | -1 | 1 | 0.333333 | 4.333333 | 5 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 |
| 1000 | 20 | 1500 | 0 | 0 | 8 | 8 | 20000 | 120000 |
| 2 | 3 | 1 | -1 | 0.5 | 1 | 3 | 5 | 4 |
| 2 | 5 | 2 | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 50 |
प्रत्यास्थ संघट्ट में संवेग के साथ गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है। e = 1 पर सूत्र बनते हैं v₁ = [(m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂] ÷ (m₁ + m₂) और v₂ = [2m₁u₁ + (m₂ − m₁)u₂] ÷ (m₁ + m₂)।
बराबर द्रव्यमान अपने वेग आपस में बदल लेते हैं, जैसा दूसरी पंक्ति में और न्यूटन के पालने में होता है। हल्का पिंड भारी पिंड से टकराकर पीछे लौटता है: 2 m/s से चलता 1 kg का पिंड विराम में रखे 10 kg से टकराकर −18/11 ≈ −1.64 m/s से लौटता है, और भारी पिंड 4/11 ≈ 0.36 m/s से आगे बढ़ता है।
OpenStax का टक्करों के प्रकार वाला पाठ प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ स्थितियों की तुलना करता है।
पिंड चिपक जाते हैं और एक ही वेग से चलते हैं, v = (m₁u₁ + m₂u₂) ÷ (m₁ + m₂)। संवेग संरक्षित रहता है, पर गतिज ऊर्जा नहीं: हानि विकृति, ऊष्मा और ध्वनि में बदल जाती है।
तीसरी पंक्ति की कारों के लिए गतिज ऊर्जा ½ × 1,000 × 20² = 200,000 J से घटकर ½ × 2,500 × 8² = 80,000 J रह जाती है। 120,000 J का अंतर मूल ऊर्जा का 60% है, और कैलकुलेटर यही प्रतिशत "गतिज ऊर्जा की हानि का अंश" में दिखाता है।
अधिकांश वास्तविक टक्करें इन दो सीमाओं के बीच होती हैं। चौथी पंक्ति पहली पंक्ति को e = 0.5 के साथ दोहराती है: पिंड 1 m/s और 3 m/s से अलग होते हैं, संवेग अब भी 5 kg·m/s है, और 9.5 J गतिज ऊर्जा में से 4 J खो जाती है।
कठोर फ़र्श पर गिराई गई गेंद के लिए e = √(उछाल की ऊँचाई ÷ गिराने की ऊँचाई)। 1 m से गिराई गई जो गेंद 0.64 m तक उछलती है, उसका e = √0.64 = 0.8 है।
आवेग (impulse) किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन है, J = m(v − u), N·s में। पहली पंक्ति में पिंड 2 का वेग −1 m/s से 13/3 m/s हो जाता है, इसलिए उसे 1 × (13/3 + 1) = 16/3 ≈ 5.33 N·s आवेग मिलता है; पिंड 1 को उतना ही आवेग उलटी दिशा में मिलता है। यह न्यूटन के तीसरे नियम का सीधा परिणाम है।
औसत बल, आवेग को संपर्क समय से भाग देने पर मिलता है। अगर वह टक्कर 0.01 s चली, तो हर पिंड पर औसत बल लगभग 533 N होगा। वही आवेग अधिक समय में फैलाने से बल घटता है, जैसा कार के क्रंपल ज़ोन और एयरबैग करते हैं, और जैसा क्रिकेट में कैच लेते समय हाथ पीछे खींचने से होता है।
केवल गतिज ऊर्जा के लिए कार्य, ऊर्जा और शक्ति कैलकुलेटर इस्तेमाल करें। टक्कर से पहले और बाद की गति शुद्धगतिकी कैलकुलेटर संभालता है, और बाद में पिंडों को धीमा करने वाला घर्षण बल, घर्षण और आनत तल कैलकुलेटर।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: OpenStax UP1 §9.4: बराबर द्रव्यमानों का प्रत्यास्थ संघट्ट वेगों की अदला-बदली करता है
जाँच का स्रोत: KE 200000 → 80000 J
जाँच का स्रोत: KE 9.5 → 5.5 J
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
दोनों में संवेग संरक्षित रहता है; गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्ट में भी संरक्षित रहती है। पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट में पिंड आपस में चिपक जाते हैं और उतनी अधिकतम गतिज ऊर्जा खोते हैं जितनी संवेग संरक्षण अनुमति देता है। जब 20 m/s पर 1,000 kg की कार खड़ी 1,500 kg की कार से जुड़ती है, तो संवेग 20,000 kg·m/s ही रहता है जबकि गतिज ऊर्जा 200 kJ से घटकर 80 kJ हो जाती है। अधिकांश वास्तविक टक्करें इन दो सीमाओं के बीच होती हैं।
यह टक्कर के बाद की सापेक्ष चाल को टक्कर से पहले की सापेक्ष चाल से भाग देने पर मिलता है, e = (v₂ − v₁) ÷ (u₁ − u₂), जो 0 से 1 के बीच की संख्या है। कठोर फ़र्श पर गिराई गई गेंद के लिए e = √(उछाल की ऊँचाई ÷ गिराने की ऊँचाई)। ITF के अनुसार टाइप 2 टेनिस गेंद को 254 cm से कंक्रीट पर गिराने पर 135–147 cm उछलना चाहिए, जो 0.73 और 0.76 के बीच e के बराबर है।
संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है, p = mv, जिसे kg·m/s में मापा जाता है। इसकी दिशा होती है, इसलिए उलटी दिशाओं के वेगों के चिह्न उलटे होते हैं। 20 m/s पर 1,000 kg की कार का संवेग 20,000 kg·m/s है। बाहरी बल न हों तो टक्कर से पहले और बाद में कुल संवेग बराबर रहता है; इसीलिए 5 m/s पर आमने-सामने टकराकर चिपकने वाली 2 kg की दो गाड़ियाँ वहीं रुक जाती हैं।
वे अपने वेग आपस में बदल लेते हैं। 2 m/s पर चलती 1 kg की गेंद विराम में रखी वैसी ही गेंद से टकराकर रुक जाती है, और दूसरी गेंद पूरी गतिज ऊर्जा लेकर 2 m/s से निकलती है; न्यूटन का पालना यही प्रभाव दिखाता है। असमान द्रव्यमानों में हल्का पिंड अधिक तेज़ निकलता है: 1 m/s पर 10 kg की गेंद 1 kg की गेंद को 1.82 m/s से भेजती है और ख़ुद 0.82 m/s पर धीमी हो जाती है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 5 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।