Fuerza y aceleración centrípetas a partir de la masa, la velocidad y el radio; paso de rpm a rad/s y periodo; momento de inercia de nueve formas; par de torsión a partir de la fuerza y el brazo de palanca.
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Mantener 1 000 kg en una circunferencia de 50 m a 20 m/s requiere 8 000 N dirigidos hacia el centro, una aceleración de 0,816 g.
La fuerza centrípeta es la fuerza dirigida hacia el centro que mantiene una masa en una trayectoria circular: F = mv²/r, con la aceleración centrípeta a = v²/r = ω²r apuntando al centro. Los otros modos convierten una velocidad de giro entre rpm, rad/s, hercios y periodo (ω = 2πf), dan el momento de inercia I de nueve formas habituales y calculan el par de torsión τ = rF sen θ y la aceleración angular α = τ/I.
El ejemplo inicial es un coche de 1000 kg que toma una curva de 50 m de radio a 20 m/s (72 km/h). Los neumáticos deben aportar 8000 N de agarre lateral, una aceleración de 8 m/s² o 0,816 g. En el modo de par de torsión, un empuje de 50 N a 90° sobre una llave de 0,3 m da 15 N·m.
Los resultados suponen movimiento circular uniforme y sólidos rígidos de densidad uniforme. La masa más alejada del eje aumenta I, así que un aro delgado tiene el doble de momento de inercia que un disco macizo de igual masa y radio.
La calculadora tiene cuatro modos: fuerza centrípeta, velocidad angular, momento de inercia y par de torsión. Con los valores iniciales, un coche de 1000 kg que toma una curva de 50 m de radio a 20 m/s (72 km/h) necesita 1000 × 20² ÷ 50 = 8000 N de fuerza dirigida hacia el centro, una aceleración de 8 m/s² o 0,816 g.
La fuerza centrípeta es F = mv²/r: la masa por el cuadrado de la velocidad, dividida por el radio de la circunferencia. En el mismo modo se puede despejar la velocidad o el radio en lugar de la fuerza.
La aceleración apunta al centro de la circunferencia: a = v²/r = ω²r. El módulo de la velocidad no cambia, pero su dirección cambia en cada instante, y ese cambio exige una fuerza neta hacia dentro.
La fuerza centrípeta es un papel que desempeñan otras fuerzas. En un coche que toma una curva la aporta la fricción de los neumáticos; en una pelota que gira atada, la tensión de la cuerda, y en un satélite, la gravedad.
La velocidad es lo que más influye, porque va al cuadrado. A 40 m/s, el mismo coche necesita 32 000 N, cuatro veces más. En una curva de 100 m a 20 m/s necesita 4000 N, la mitad.
Despejando la velocidad, v = √(Fr/m). Una fuerza de 500 N hacia el centro sobre una masa de 10 kg que gira en una circunferencia de 2 m permite 10 m/s.
Una vuelta son 2π radianes, así que ω = 2π × rpm ÷ 60, o rpm × 0,10472. 3000 rpm son 314,159 rad/s, 50 revoluciones por segundo, y cada vuelta dura 0,02 s. Para volver, se multiplican los rad/s por 9,5493.
Un punto situado a una distancia r del eje se mueve a v = ωr. A 0,1 m del eje de un rotor a 3000 rpm, eso da 31,42 m/s, y la aceleración centrípeta ω²r es 9870 m/s², unas 1006 g. El modo de velocidad angular admite la velocidad de giro en rpm, rad/s o Hz y devuelve las tres, junto con el periodo.
El momento de inercia, I, desempeña en la rotación el papel de la masa: cuanto más lejos del eje está la masa, mayor es I. Para un cuerpo homogéneo de masa M (Serway y Jewett, tabla 10.2):
Para 5 kg y R = 0,2 m, un aro da 0,2 kg·m², un disco macizo 0,1 kg·m² y una esfera maciza 0,08 kg·m². Una varilla de 2 kg y 3 m tiene 1,5 kg·m² respecto a su centro, pero 6 kg·m² respecto a un extremo (OpenStax). La calculadora compara en un gráfico de barras la forma elegida con otras de igual masa y tamaño.
Un cuerpo que gira almacena Ec = ½Iω² y tiene un momento angular L = Iω. La varilla de 2 kg que gira respecto a un extremo a 60 rpm (ω = 2π rad/s) almacena 118,4 J y tiene L = 37,70 kg·m²/s. Para obtener estos dos valores hay que rellenar el campo opcional de velocidad de giro.
El par de torsión, también llamado torque o momento de una fuerza, es τ = rF sen θ, donde r es la distancia del eje al punto donde actúa la fuerza y θ el ángulo entre el brazo y la fuerza. Un empuje de 50 N a 90° sobre una llave de 0,3 m da 15 N·m, o 11,06 lbf·ft.
A 30°, el mismo empuje da 7,5 N·m, y a lo largo del mango no da ninguno. Al dividir un par neto por el momento de inercia se obtiene la aceleración angular, α = τ/I: 15 N·m sobre 0,5 kg·m² dan 30 rad/s².
El caso inicial es el coche de 1000 kg a 20 m/s en una curva de 50 m. El de rpm son 3000 rpm; el de inercia, una esfera maciza de 5 kg y 0,2 m de radio, y el de par, 50 N a 90° sobre un brazo de 0,3 m.
| Caso | Resultado principal |
|---|---|
| Inicial | 8000 N |
| Velocidad angular en rpm | 314,159 rad/s |
| Inercia de una esfera | 0,08 kg·m² |
| Par de torsión | 15 N·m |
Para las fuerzas que intervienen en una curva, usa la calculadora de fuerza y fricción. Para convertir par y rpm en potencia de un motor, la calculadora de caballos de potencia, y para órbitas, la calculadora de órbitas y gravedad.
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Serway, tabla 10.2: I = 2/5 MR² = 0.4 × 5 × 0.04
F = mv²/r, con la masa m en kilogramos, la velocidad v en metros por segundo y el radio r en metros, que da newtons. Formas equivalentes son F = mω²r y F = 4π²mr/T². Duplicar la velocidad cuadruplica la fuerza y duplicar el radio la reduce a la mitad: un coche de 1000 kg a 20 m/s en una curva de 50 m necesita 8000 N, y a 40 m/s necesitaría 32 000 N.
Se multiplican las rpm por 2π/60, unos 0,10472. 3000 rpm son 314,159 rad/s, o 50 revoluciones por segundo (50 Hz), así que cada vuelta dura 0,02 s. Para volver, se multiplican los rad/s por 60/(2π), unos 9,5493. El radián es la unidad coherente del SI para el ángulo plano (folleto del SI del BIPM), así que el rad/s es la unidad SI de la velocidad angular.
No en un sistema de referencia inercial que no gira: en él, la única fuerza horizontal sobre un coche que toma una curva es la fuerza centrípeta de los neumáticos, dirigida hacia dentro. La fuerza centrífuga solo aparece cuando el movimiento se describe desde el sistema que gira, donde tiene el mismo módulo, mv²/r, y apunta hacia fuera. El empuje hacia fuera que nota un pasajero es la inercia de su cuerpo, que tiende a seguir en línea recta mientras el coche gira.
I = ½MR² respecto a su eje central, así que un disco de 5 kg y 0,2 m de radio tiene I = 0,5 × 5 × 0,2² = 0,1 kg·m². Otros resultados habituales son MR² para un aro delgado, ⅖MR² para una esfera maciza, ⅔MR² para una corteza esférica delgada y ML²/12 o ML²/3 para una varilla delgada respecto a su centro o a un extremo (Serway y Jewett, tabla 10.2).
El par de torsión es τ = rF sen θ, donde r es la distancia del eje al punto donde actúa la fuerza y θ el ángulo entre el brazo y la fuerza. Un empuje de 50 N a 90° sobre una llave de 0,3 m da 15 N·m; el mismo empuje a lo largo del mango (θ = 0°) no da ninguno. Un newton metro equivale a 0,7376 libras-fuerza pie.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.