നിശ്ചിത സമാകല കാൽക്കുലേറ്റർ

The definite integral of any function f(x) between two limits, by adaptive Gauss–Kronrod quadrature to about 20 significant digits, with the area shaded.

പുതുക്കിയത് 2026 സെപ്റ്റംബർ 28പരിശോധിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ: 7

സമാകലം

പരമാവധി ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ: 12; ഏറ്റവും അടുത്തതിലേക്ക്; തുല്യദൂരത്തിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് അകലെ

Estimated error: 1.1 × 10⁻²¹
Function evaluations: 45
Subintervals used: 2

The signed area between f(x) and the x-axis from 0 to 1 is 0.7468241328; area below the axis counts as negative. It took 45 evaluations over 2 subintervals.

Area under f(x) from 0 to 1

Subintervals വരികൾ: 2

ഇതിൽ നിന്ന്	ഇതിലേക്ക്	Contribution	Error estimate
0	0.5	0.4613	3.2 × 10⁻²²
0.5	1	0.2855	8 × 10⁻²²

കണക്കാക്കുന്ന വിധം S

Scale each piece to [−1, 1]
$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx = \frac{\beta-\alpha}{2}\int_{-1}^{1} f\!\left(\tfrac{\alpha+\beta}{2} + \tfrac{\beta-\alpha}{2}\,t\right)dt$
Kronrod 15-point rule with its embedded Gauss 7-point rule
$K_{15} = \frac{\beta-\alpha}{2}\sum_{i=1}^{15} w_i f(x_i),\qquad G_7 = \frac{\beta-\alpha}{2}\sum_{j=1}^{7} v_j f(x_{2j}),\qquad \varepsilon = \rho\,\min\!\left(1, \left(\frac{200\,|K_{15} - G_7|}{\rho}\right)^{3/2}\right)$
The 7 Gauss nodes are reused by the 15-point rule, so the error estimate costs no extra evaluations; ρ is ∫|f − mean| over the piece (QUADPACK's scaling). Nodes and weights are carried to 52 digits.
Adaptive bisection
$\sum \varepsilon = 1.13 \times 10^{-21} \le \max(10^{-40},\ 10^{-20}\,|I|)$
Split the subinterval with the largest error estimate until the total met the tolerance: 2 subintervals, 45 evaluations of f.
ഫലം
$\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx 0.7468241328124270253994674$

നിശ്ചിത സമാകല കാൽക്കുലേറ്റർ സംബന്ധിച്ച്

A definite integral ∫ₐᵇ f(x) dx is the signed area between f and the x-axis from a to b, with area below the axis counted as negative. The calculator uses the 15-point Gauss–Kronrod rule from QUADPACK (routine QK15), which samples f at 15 points on each piece and compares the result with the embedded 7-point Gauss rule to estimate its own error. The piece with the largest error is split in two until the total estimated error falls below 10⁻²⁰ of the answer.

It suits integrals with no convenient antiderivative, such as the bell curve e^(−x²), and checking answers found by hand. The default, ∫₀¹ e^(−x²) dx, equals (√π/2)·erf(1) ≈ 0.7468241328 and took 45 evaluations of f over 2 subintervals.

Trig functions use radians, and limits accept expressions such as pi/2. Integrable endpoint singularities, like √x or ln x at 0, are handled because Gauss–Kronrod nodes never touch the endpoints. Swapping the limits flips the sign.

പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ

∫₀¹ e^(−x²) dx

Function f(x): exp(-x^2)
Lower limit a: 0
Upper limit b: 1

സമാകലം: 0.746824132812

പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: (√π/2)·erf(1): Python decimal, erf by its Maclaurin series at 70 digits (hp.py)

∫₀^π sin x dx

Function f(x): sin(x)
Lower limit a: 0
Upper limit b: pi

സമാകലം: 2

പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: −cos π + cos 0 = 2 (antiderivative)

∫₁² 1/x dx

Function f(x): 1/x
Lower limit a: 1
Upper limit b: 2

സമാകലം: 0.69314718056

പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: ln 2: Python Decimal(2).ln()

∫₀³ x⁵eˣ dx

Function f(x): x^5 * exp(x)
Lower limit a: 0
Upper limit b: 3

സമാകലം: 1,686.671880008638

പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: Antiderivative eˣ(x⁵ − 5x⁴ + 20x³ − 60x² + 120x − 120) evaluated in Python decimal

ചോദ്യങ്ങൾ

What does a definite integral represent?

The signed area between the curve and the x-axis over an interval: area above the axis counts as positive and area below as negative. ∫₀^π sin x dx = 2 because one arch of the sine curve encloses an area of 2, while ∫₀^2π sin x dx = 0 because the second arch lies below the axis and cancels the first. It is also a total change: integrating speed over time gives distance traveled.

How do you evaluate a definite integral by hand?

Find an antiderivative F with F′ = f, then subtract: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), which is the fundamental theorem of calculus. For ∫₁² 1/x dx, F(x) = ln x, so the answer is ln 2 − ln 1 ≈ 0.693147. When no elementary antiderivative exists, as for e^(−x²), a numerical rule like this one is the practical route.

What is Gauss–Kronrod quadrature?

A rule that estimates an integral from a weighted sum of f at carefully placed points. The 7-point Gauss rule integrates every polynomial up to degree 13 exactly; Kronrod's extension adds 8 more points and reuses the first 7, so comparing the two estimates gives an error bound without extra evaluations. QUADPACK's QK15 routine, used here, pairs it with repeated splitting of the worst subinterval.

What is the integral of e^(−x²)?

It has no antiderivative among elementary functions, so it is written with the error function: ∫₀ˣ e^(−t²) dt = (√π/2) erf(x). From 0 to 1 the value is about 0.7468241328, and over the whole real line it is √π ≈ 1.7724539. This Gaussian integral is what makes the normal distribution's total probability equal 1.

Can a definite integral be negative?

Yes, when more of the area lies below the x-axis than above it, or when the limits run backward. ∫₁² (−x) dx = −1.5, and the integral of x² from 1 down to 0 is −1/3, the negative of ∫₀¹ x² dx = 1/3. For the total area regardless of sign, integrate the absolute value instead: ∫₀^2π |sin x| dx = 4, entered as abs(sin(x)).

“നിശ്ചിത സമാകല കാൽക്കുലേറ്റർ” എത്രത്തോളം കൃത്യമാണ്?

കൃത്യത നിങ്ങളുടെ ഇൻപുട്ടുകളെയും രീതിയുടെ അനുമാനങ്ങളെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ദശാംശ ഗണിതം 50 സാർഥക അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ അനുമാനക്കണക്കുകൾ, സംഖ്യാത്മക രീതികൾ, ഉറവിട ഡാറ്റ എന്നിവയ്ക്ക് കൃത്യത കുറവാകാം; പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന മൂല്യം റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നത് ഈ പരിമിതികൾ നീക്കില്ല. സ്വതന്ത്ര ഉറവിടങ്ങളിലെ പരിഹാരങ്ങളുമായി പരിശോധിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ: 7. ഉദാഹരണത്തിന്, “∫₀¹ e^(−x²) dx” എന്നത് (√π/2)·erf(1): Python decimal, erf by its Maclaurin series at 70 digits (hp.py) ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു.

ഈ രീതിയുടെ ഉറവിടം എന്താണ്?

Piessens, de Doncker-Kapenga, Überhuber, Kahaner — QUADPACK (1983), routine QK15; Wolfram MathWorld — Gauss-Kronrod Quadrature; Laurie, Calculation of Gauss-Kronrod quadrature rules, Math. Comp. 66 (1997).

ഈ കാൽക്കുലേറ്ററിനെക്കുറിച്ച്

\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx &\approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{15} w_i\, f(t_i) \\[4pt] t_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_i \end{aligned}

സ്രോതസ്സുകൾ

ആധാരങ്ങളുമായി പരിശോധിച്ചത്

ഈ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സ്വതന്ത്ര ആധാരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ച 7 പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. ഇവ പരിശോധനാസമുച്ചയത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു; നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെയും പ്രവർത്തിപ്പിക്കാം.