CalcOpenly
Tiếng Việt

Máy tính ma trận

Định thức, ma trận nghịch đảo, hạng và dạng bậc thang rút gọn của ma trận tối đa 6 × 6 với từng phép biến đổi hàng được hiển thị, cùng phép chuyển vị, tích và tổng, dưới dạng phân số chính xác.

Cập nhật Ví dụ đã kiểm tra: 8

One row per line (or rows separated by ;), entries separated by spaces or commas; fractions like 1/2 work
Thử
Kết quả
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
Kết quả: [0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
det A
−1
rank A
3
trace A
5

A is invertible (det A = −1); the inverse undoes A, so A × A⁻¹ is the identity matrix.

A⁻¹

001−2133−1−5
A⁻¹ Số hàng: 3
Col 1Col 2Col 3
001
−213
3−1−5
Cách tính S

  1. Write [A | I]

    [211100132010100001]\left[\begin{array}{ccc|ccc}2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

  2. Column 1

    R1↔R2, R2←R2−2R1, R3←R3−R1  ⟶  [1320100−5−31−200−3−20−11]R_{1} \leftrightarrow R_{2},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - 2R_{1},\ R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]

  3. Column 2

    R2←−15 R2, R1←R1−3R2, R3←R3+3R2  ⟶  [101535−1500135−1525000−15−35151]R_{2} \leftarrow -\frac{1}{5}\,R_{2},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - 3R_{2},\ R_{3} \leftarrow R_{3} + 3R_{2} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]

  4. Column 3

    R3←−5 R3, R1←R1−15R3, R2←R2−35R3  ⟶  [100001010−2130013−1−5]R_{3} \leftarrow -5\,R_{3},\ R_{1} \leftarrow R_{1} - \frac{1}{5}R_{3},\ R_{2} \leftarrow R_{2} - \frac{3}{5}R_{3} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5\end{array}\right]

  5. The right half is the inverse

    A−1=[001−2133−1−5]A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -5\end{array}\right]

    Check: A × A⁻¹ = I.

Giới thiệu Máy tính ma trận

The calculator works on matrices up to 6 × 6 in exact fractions. The inverse and the reduced row echelon form come from Gauss–Jordan elimination: [A | I] is row-reduced until the left half is the identity, and the right half is then A⁻¹. The determinant is the product of the pivots from forward elimination, negated once for each row swap; the rank is the number of pivots; and a product has entries (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ.

Linear algebra courses, 3D graphics transforms and systems of equations are the usual uses. The default matrix [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0] has determinant −1, so it is invertible, and its inverse [0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5] has whole-number entries.

Type one row per line, with entries separated by spaces or commas; fractions such as 1/2 stay exact. A matrix with determinant 0 is singular: it has no inverse, and its rank is below its size.

Ví dụ có lời giải

Inverse of the default 3 × 3

Calculate
Inverse of A
Matrix A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
Kết quả
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
det A
-1

Nguồn đối chiếu: Python fractions Gauss–Jordan on [A | I]; det by cofactor expansion = −1

Inverse of [4 7; 2 6]

Calculate
Inverse of A
Matrix A
4 7 2 6
Kết quả
[3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
det A
10

Nguồn đối chiếu: (1/(ad − bc))·[d −b; −c a] = (1/10)·[6 −7; −2 4]

Determinant of the default 3 × 3

Calculate
Determinant of A
Matrix A
2 1 1 1 3 2 1 0 0
Kết quả
−1
det A
-1
trace A
5

Nguồn đối chiếu: Cofactor expansion: 2·0 − 1·(0 − 2) + 1·(0 − 3) = −1

Rank of a singular matrix (edge case)

Calculate
Rank of A
Matrix A
1 2 3 2 4 6 1 1 1
Kết quả
2
rank A
2
det A
0

Nguồn đối chiếu: Row 2 = 2 × row 1; Python fractions RREF has 2 pivots

Câu hỏi

How do you find the inverse of a matrix?

Write A next to the identity matrix, [A | I], and apply row operations until the left half becomes I; the right half is then A⁻¹. A 2 × 2 matrix [a b; c d] has a shortcut: A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [d −b; −c a]. For [4 7; 2 6], ad − bc = 24 − 14 = 10, so A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5].

How do you calculate the determinant of a 3 × 3 matrix?

Expand along a row or column, multiplying each entry by the determinant of its 2 × 2 minor with alternating signs. For [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0], the bottom row is quickest because two of its entries are 0: det = 1 × (1 × 2 − 1 × 3) = −1. For larger matrices row reduction reaches the same answer with far fewer operations.

When does a matrix have no inverse?

When its determinant is 0, which happens exactly when one row or column is a combination of the others. In [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1], row 2 is twice row 1, so the rank is 2 rather than 3 and the determinant is 0. Such a matrix is called singular, and a system Ax = b built on it has either no solution or infinitely many.

How do you multiply two matrices?

Each entry of AB is a row of A times a column of B, summed: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ. For [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8] the top-left entry is 1 × 5 + 2 × 7 = 19, and the product is [19 22; 43 50]. A needs as many columns as B has rows, and order matters: here BA = [23 34; 31 46].

What is reduced row echelon form?

A matrix is in reduced row echelon form (RREF) when each non-zero row starts with a 1, that leading 1 is the only non-zero entry in its column, the leading 1s step right going down, and zero rows sit at the bottom. Every matrix has exactly one RREF, and its number of leading 1s is the rank. For an augmented matrix it reads off the solution: [1 0 0 −8; 0 1 0 1; 0 0 1 −2] means x = −8, y = 1, z = −2.

“Máy tính ma trận” chính xác đến mức nào?

Độ chính xác phụ thuộc vào dữ liệu nhập và giả định của phương pháp. Phép tính thập phân dùng 50 chữ số có nghĩa, nhưng ước lượng, phương pháp số và dữ liệu nguồn có thể kém chính xác hơn; làm tròn khi hiển thị không loại bỏ các giới hạn đó. Ví dụ có lời giải đã đối chiếu với nguồn độc lập: 8. Ví dụ, “Inverse of the default 3 × 3” được kiểm tra bằng Python fractions Gauss–Jordan on [A | I]; det by cofactor expansion = −1.

Phương pháp này lấy từ đâu?

Wikipedia — Gaussian elimination (row reduction and the RREF example); Wolfram MathWorld — Matrix Inverse; G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th ed.), chapters 2–3.

Về công cụ tính này

A−1: [A∣I]→row operations[I∣A−1](AB)ij=∑kaikbkj\begin{gathered} A^{-1}:\ [A \mid I] \xrightarrow{\text{row operations}} [I \mid A^{-1}] \\[10pt] (AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj} \end{gathered}

Nguồn

  1. Wikipedia — Gaussian elimination (row reduction and the RREF example)
  2. Wolfram MathWorld — Matrix Inverse
  3. G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th ed.), chapters 2–3

Đã đối chiếu nguồn tham khảo

Công cụ tính này có 8 ví dụ đã giải với đáp án từ các nguồn độc lập. Chúng được chạy trong bộ kiểm thử và bạn cũng có thể chạy tại đây.

Công cụ liên quan