Calcula precios europeos de call y put y sus sensibilidades delta, gamma, theta, vega y rho con Black–Scholes–Merton y dividendos continuos.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 4
La call vale $8,26 y la put $5,79. Por cada unidad que suba el subyacente, la call ganaría aproximadamente 0,5909; si nada más cambia, un día de tiempo reduce aproximadamente en 0,0258 su valor.
| Mediciones | Call | Put |
|---|---|---|
| Precio | 8,26 | 5,791 |
| Delta | 0,5909 | −0,4091 |
| Gamma | 0,022 | 0,022 |
| Theta por día | −0,0258 | −0,0124 |
| Vega por un punto porcentual de volatilidad | 0,2747 | 0,2747 |
| Rho por un punto porcentual de tasa | 0,2541 | −0,2335 |
Theta se muestra por día natural, dividiendo la theta anual por 365; vega y rho, por un punto porcentual. Se supone ejercicio europeo y volatilidad y tasas constantes.
Black–Scholes–Merton valora una opción europea con precio del subyacente S, ejercicio K, plazo T en años, volatilidad σ, tasa libre de riesgo r y dividendos continuos q. La call vale S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂), donde N es la distribución normal acumulada; la put utiliza los mismos términos. Las griegas describen sensibilidades al precio, tiempo, volatilidad y tasa.
Con precio del subyacente 100, ejercicio 100, medio año hasta el vencimiento, volatilidad del 25% y tasa del 5%, la call vale 8,26 y la put 5,79. La delta de la call, 0,5909, aproxima una subida de 0,59 por cada unidad adicional del subyacente. Su theta aproxima una reducción de 0,026 por día si los demás supuestos permanecen constantes.
El modelo supone volatilidad y tasas constantes, precios lognormales y ejercicio europeo en el vencimiento. Los contratos con ejercicio americano permiten anticiparlo y pueden requerir otro método. Comprueba el estilo de ejercicio y el tratamiento de dividendos del instrumento antes de comparar el resultado.
La calculadora Black–Scholes estima el precio de una opción de compra, o call, y una opción de venta, o put, con el mismo precio de ejercicio y tiempo hasta el vencimiento. También calcula las sensibilidades conocidas como griegas. El modelo utilizado admite una rentabilidad por dividendos continua y ejercicio europeo.
Con los valores iniciales, precio del subyacente 100, ejercicio 100, plazo de medio año, volatilidad anual del 25%, tasa libre de riesgo del 5% y dividendos cero, el precio teórico de la call es aproximadamente 8,26 y el de la put 5,79. Los importes corresponden a una unidad de subyacente dentro del modelo.
No hay un campo de número de contratos ni de multiplicador. Si necesitas un importe de posición, verifica las condiciones del instrumento antes de escalar un resultado. La página no consulta primas de mercado, horquillas de compraventa o condiciones de un contrato concreto.
El precio del subyacente y el de ejercicio deben ser positivos y estar expresados en las mismas unidades monetarias. La moneda seleccionada identifica esas unidades en la pantalla; no convierte datos entre mercados. El modelo compara el precio del activo con el precio al que permitiría comprarlo o venderlo la opción.
El plazo se expresa en años y debe ser mayor que cero. Para un escenario de treinta días con la base utilizada aquí, puedes escribir 30/365. No escribas 30 si quieres representar treinta días: eso indicaría treinta años. La página acepta plazos de hasta cincuenta años como límite de entrada, sin afirmar que exista un contrato negociado con ese plazo.
La volatilidad se introduce como porcentaje anual. Un valor de 25 significa 25% y el modelo lo convierte a 0,25. Debe ser positiva, porque las fórmulas utilizan la volatilidad multiplicada por la raíz cuadrada del tiempo. La página recibe esa volatilidad como un supuesto; no la obtiene invirtiendo una prima observada ni estima volatilidad implícita.
La tasa libre de riesgo utiliza capitalización continua. El rendimiento por dividendos, disponible en las opciones avanzadas, también es continuo. Mantén esa convención al comparar los resultados con otro programa. Un dividendo en efectivo pagado en una fecha concreta no se representa automáticamente con exactitud mediante una tasa continua constante.
Antes del vencimiento, el precio teórico depende de tiempo, volatilidad y descuento, además del precio del activo. El gráfico dibuja las curvas de call y put y sus pagos al vencimiento. Una call paga como máximo entre cero y precio del activo menos ejercicio; una put, entre cero y ejercicio menos precio del activo.
El pago al vencimiento no es el beneficio de quien compró la opción. Para obtener un beneficio habría que tener en cuenta la prima pagada y los costes de la operación. Las curvas de esta página no añaden esos costes ni definen una estrategia de inversión.
La tabla siguiente mantiene todos los supuestos iniciales salvo la volatilidad. Los precios se redondean a dos decimales.
| Volatilidad anual (%) | Precio call | Precio put |
|---|---|---|
| 25 | 8,26 | 5,79 |
| 35 | 11,01 | 8,54 |
El cambio de volatilidad aumenta ambos precios en este escenario. No indica una subida prevista del subyacente ni garantiza que una prima de mercado cambie en esa proporción. Cambia un supuesto cada vez para entender qué comparación estás realizando.
Delta mide el cambio aproximado de la prima ante una subida de una unidad monetaria del subyacente, manteniendo los demás supuestos. En el ejemplo inicial, la delta de la call es aproximadamente 0,5909 y la de la put −0,4091. Una subida pequeña del subyacente beneficia a la call y reduce la prima de la put según esas sensibilidades locales.
Gamma describe cuánto cambia delta al cambiar el precio del subyacente. Por eso, delta no debe utilizarse como una proporción constante para un movimiento grande. Recalcula los precios si quieres comparar dos escenarios separados de forma considerable.
Theta se presenta por día, usando una base de 365 días al convertir la sensibilidad anual. Su signo describe el efecto local del paso del tiempo cuando los demás supuestos se mantienen. No añadas automáticamente una theta diaria constante durante muchos meses: la sensibilidad cambia con el plazo y el precio.
Vega se muestra para un aumento de un punto porcentual de volatilidad, por ejemplo desde 25% a 26%. En el ejemplo es aproximadamente 0,2747 por unidad de subyacente. Rho también se escala por un punto porcentual de tasa de interés. Identifica esas escalas antes de comparar una salida con una fórmula que muestre derivadas por un cambio decimal de 1,00.
Para call y put europeas con los mismos supuestos, la relación es call − put = S × exp(−qT) − K × exp(−rT). El precio del activo S, el ejercicio K, el plazo T, la tasa r y los dividendos q deben coincidir en ambos cálculos.
Con los valores iniciales, la diferencia calculada con precisión completa es aproximadamente 2,469009, que se redondea a 2,47. Restar los precios visibles, 8,26 − 5,79, también da 2,47. Esa resta de valores redondeados no produce los dígitos adicionales de la diferencia sin redondear.
La comprobación interna verifica la relación matemática del modelo. Comparar cotizaciones reales exige revisar costes, horquillas, financiación y condiciones de ejercicio; una diferencia visible no demuestra por sí sola una operación realizable sin riesgo. La explicación de paridad del OIC distingue los supuestos teóricos de esas restricciones reales.
El modelo valora ejercicio europeo, en el vencimiento. Una opción americana permite ejercicio anticipado y puede requerir otro método. La página no calcula una prima adicional de ejercicio anticipado ni sustituye dividendos discretos por un calendario de pagos.
La explicación de Black–Scholes del OIC distingue precios teóricos y primas determinadas por el mercado. Guarda los seis supuestos, la convención temporal y las unidades de las griegas junto a cualquier tabla descargada. Utiliza el resultado para examinar el modelo y comparar hipótesis, sin presentarlo como una cotización ejecutable o una previsión garantizada.
Fuente de comprobación: Comprobación: Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, ejemplo 15.6: c = 4,76, p = 0,81, d₁ = 0,7693 y d₂ = 0,6278
Fuente de comprobación: Comprobación: capítulo 19 de Hull, S = 49, K = 50 y veinte semanas: precio 2,40, delta 0,522, gamma 0,066, theta −4,31/año = −0,0118/día, vega 12,1, equivalente a 0,121 por punto porcentual, y rho 8,91, equivalente a 0,0891 por punto porcentual
Fuente de comprobación: Comprobación: ejemplo 17.1 de Hull: c = 51,83 y d₁ = 0,5444
Fuente de comprobación: Comprobación: con r = q = 0 y S = K, d₁ = σ√T/2 = 0,1 y C = P = S(2N(0,1) − 1) = 7,9655675
C = S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂), con d₁ = (ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T) ÷ (σ√T) y d₂ = d₁ − σ√T. Con los valores iniciales, d₁ es aproximadamente 0,2298 y d₂ 0,0530. S es el precio del subyacente, K el ejercicio, T el plazo en años, σ la volatilidad anual, r la tasa continua y q los dividendos continuos.
Delta aproxima el cambio de la prima por una unidad adicional del precio del subyacente. Con los valores iniciales, la delta de la call es 0,5909 y la de la put −0,4091. En este modelo, sin dividendos, sus deltas difieren en 1. Para obtener una sensibilidad de posición, comprueba primero el número de contratos y el multiplicador del instrumento; la página calcula por unidad de subyacente.
Para opciones europeas con iguales ejercicio y vencimiento, call − put = S·e^(−qT) − K·e^(−rT). Con precisión completa, la diferencia inicial es aproximadamente 2,469009 y se redondea a 2,47. Restar los precios visibles, 8,26 − 5,79, también da 2,47; no produce los dígitos sin redondear. La relación exige supuestos coherentes de dividendos, tasas y ejercicio. En una comparación real también cuentan costes y condiciones del contrato.
Una volatilidad mayor aumenta los precios de call y put en este modelo. La vega inicial es aproximadamente 0,2747 por un punto porcentual de volatilidad: una subida del 25% al 26% añade aproximadamente 0,27 localmente. Al recalcular con volatilidad del 35%, la call pasa de 8,26 a 11,01 y la put de 5,79 a 8,54.
Este cálculo utiliza ejercicio europeo. En el caso clásico de una call sin dividendos y con tasas no negativas, el ejercicio anticipado no aporta ventaja y su valoración puede coincidir con la europea. No extiendas esa conclusión a puts, dividendos o tasas negativas. Para instrumentos con ejercicio anticipado puede ser necesario un árbol binomial u otro modelo que lo contemple.
Solo para planificar. Prestamistas, autoridades fiscales y mercados aplican sus propios redondeos, comisiones y reglas; confirma las cifras con ellos antes de comprometerte.
Esta calculadora incluye 4 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.