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ब्लैक-स्कोल्स कैलकुलेटर (ऑप्शन मूल्य और ग्रीक्स)

ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल से यूरोपीय कॉल और पुट के मूल्य और ग्रीक्स (डेल्टा, गामा, थीटा, वेगा, रो) निकालें, लाभांश सहित।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 4

$
$
वर्ष
समाप्ति तक के दिन ÷ 365 — आप 30/365 भी लिख सकते हैं।
%
%
और विकल्प
%
आज़माएँ
कॉल मूल्य
$
कॉल मूल्य: $8.26
दशमलव स्थान: 2; निकटतम; बराबर दूरी पर सम अंक की ओर
पुट मूल्य
$5.79
कॉल डेल्टा
0.5909
पुट डेल्टा
−0.4091
गामा
0.02198
कॉल थीटा (प्रति दिन)
−0.02578
पुट थीटा (प्रति दिन)
−0.01242
वेगा (अस्थिरता के प्रति 1% पर)
0.2747
कॉल रो (दर के प्रति 1% पर)
0.2541
पुट रो (दर के प्रति 1% पर)
−0.2335
d₁
0.229810
d₂
0.053033

कॉल का मूल्य $8.26 और पुट का $5.79 है। शेयर की कीमत में हर 1.00 की बढ़त पर कॉल लगभग 0.5909 बढ़ता है, और बाकी सब यथावत रहने पर एक दिन बीतने से उसके मूल्य में से लगभग 0.0258 घट जाता है।

शेयर की कीमत के सापेक्ष ऑप्शन का मूल्य

$0$20$40$60$80$100$120$140शेयर की कीमतऑप्शन का मूल्यशेयर की कीमत = स्ट्राइक
कॉलपुटसमाप्ति पर कॉल का भुगतानसमाप्ति पर पुट का भुगतान
कॉल और पुट साथ-साथ पंक्तियाँ: 6
मापकॉलपुट
मूल्य8.265.791
डेल्टा0.5909−0.4091
गामा0.0220.022
प्रति दिन थीटा−0.0258−0.0124
अस्थिरता के प्रति 1% पर वेगा0.27470.2747
दर के प्रति 1% पर रो0.2541−0.2335
गणना कैसे होती है S

  1. d₁

    d1=ln⁡(100/100)+(0.05+0.252/2)×0.50.250.5=0.229810d_1 = \frac{\ln(100/100) + (0.05 + 0.25^2/2)\times 0.5}{0.25\sqrt{0.5}} = 0.229810

  2. d₂

    d2=d1−σT=0.229810−0.176777=0.053033d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} = 0.229810 - 0.176777 = 0.053033

  3. प्रसामान्य प्रायिकताएँ

    N(d1)=0.590880,N(d2)=0.521147N(d_1) = 0.590880,\quad N(d_2) = 0.521147

  4. कॉल

    C=100 e−0×0.5×0.590880−100 e−0.05×0.5×0.521147=8.26C = 100\,e^{-0 \times 0.5} \times 0.590880 - 100\,e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.521147 = 8.26

  5. पुट

    P=100 e−0.05×0.5×0.478853−100 e−0×0.5×0.409120=5.79P = 100\,e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.478853 - 100\,e^{-0 \times 0.5} \times 0.409120 = 5.79

  6. पुट-कॉल समता की जाँच

    C−P=Se−qT−Ke−rT=2.469009C - P = S e^{-qT} - K e^{-rT} = 2.469009

    थीटा प्रति कैलेंडर दिन है (वार्षिक थीटा ÷ 365); वेगा और रो एक प्रतिशत अंक के हिसाब से हैं। यूरोपीय प्रयोग; मॉडल स्थिर अस्थिरता और दरें मानता है।

ब्लैक-स्कोल्स कैलकुलेटर (ऑप्शन मूल्य और ग्रीक्स) के बारे में

ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल यूरोपीय ऑप्शन का मूल्य शेयर की कीमत S, स्ट्राइक K, वर्षों में समाप्ति तक का समय T, अस्थिरता σ, जोखिम-मुक्त दर r और निरंतर लाभांश प्रतिफल q से निकालता है। कॉल का मूल्य S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂) है, जहाँ N मानक प्रसामान्य बंटन है, और पुट इन्हीं पदों से निकलता है। ग्रीक्स संवेदनशीलता मापते हैं: डेल्टा शेयर की कीमत के प्रति, गामा स्वयं डेल्टा के प्रति, थीटा समय बीतने के प्रति, वेगा अस्थिरता के प्रति और रो ब्याज दर के प्रति।

डिफ़ॉल्ट मानों में शेयर 100 पर, स्ट्राइक 100, समाप्ति में छह महीने, 25% अस्थिरता और 5% दर है; कॉल का मूल्य 8.26 और पुट का 5.79 है। कॉल का 0.5909 डेल्टा बताता है कि शेयर में हर 1 की बढ़त पर कॉल लगभग 0.59 बढ़ता है, और उसका थीटा दिखाता है कि वह रोज़ लगभग 0.026 घटता है।

मॉडल स्थिर अस्थिरता और दरें, लॉग-प्रसामान्य कीमतें और केवल समाप्ति पर प्रयोग मानता है। अमेरिका में शेयर और ETF ऑप्शन अमेरिकी शैली के होते हैं और पहले भी प्रयोग किए जा सकते हैं; SPX जैसे सूचकांक ऑप्शन यूरोपीय शैली के होते हैं और नकद में निपटते हैं।

ब्लैक-स्कोल्स से ऑप्शन का मूल्य कैसे निकालें

यूरोपीय कॉल ऑप्शन का मूल्य S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂) है, जहाँ N मानक प्रसामान्य बंटन है। यह कैलकुलेटर इसी ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल से कॉल और पुट दोनों के मूल्य और पाँचों ग्रीक्स (डेल्टा, गामा, थीटा, वेगा, रो) निकालता है। 100 का शेयर, 100 का स्ट्राइक, समाप्ति में छह महीने, 25% अस्थिरता और 5% दर पर कॉल का मूल्य 8.26 और पुट का 5.79 आता है।

S शेयर की वर्तमान कीमत है, K स्ट्राइक मूल्य, T वर्षों में समाप्ति तक का समय, σ वार्षिक अस्थिरता, r निरंतर चक्रवृद्धि वाली जोखिम-मुक्त दर और q निरंतर लाभांश प्रतिफल।

d₁ और d₂ की गणना

S = K = 100, T = 0.5 वर्ष, σ = 0.25, r = 0.05 और कोई लाभांश नहीं (q = 0) लेकर:

  1. σ√T = 0.25 × √0.5 = 0.176777।
  2. d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2) × T] ÷ σ√T = [0 + 0.08125 × 0.5] ÷ 0.176777 = 0.2298।
  3. d₂ = d₁ − σ√T = 0.0530।
  4. प्रसामान्य तालिका से N(d₁) = 0.5909 और N(d₂) = 0.5211।
  5. स्ट्राइक का वर्तमान मूल्य 100 × e^(−0.05 × 0.5) = 97.53 है।
  6. कॉल = 100 × 0.5909 − 97.53 × 0.5211 = 59.09 − 50.83 = 8.26।

पुट उलटे सिरे लेता है: 97.53 × N(−d₂) − 100 × N(−d₁) = 46.70 − 40.91 = 5.79।

कैलकुलेटर के गणना-चरण यही क्रम दिखाते हैं, पर बीच के मान छह दशमलव स्थानों तक रखते हैं, इसलिए अंतिम उत्तर पूर्णांकन से नहीं भटकता।

पुट-कॉल समता

एक ही शेयर, स्ट्राइक और समाप्ति वाले यूरोपीय ऑप्शनों के लिए कॉल − पुट = S·e^(−qT) − K·e^(−rT)। यहाँ यह 100 − 97.53 = 2.469 है, और पूर्णांकित कीमतें 8.26 − 5.79 = 2.47 देती हैं। किसी भी पुट को उसके कॉल से इसी तरह जाँचा जा सकता है।

यह सूत्र ब्लैक और स्कोल्स के 1973 के शोधपत्र से आता है, जो Journal of Political Economy में छपा। ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन रूप इसमें निरंतर लाभांश प्रतिफल q जोड़ता है।

अस्थिरता से मूल्य कैसे बदलता है

इन पंक्तियों में शेयर, स्ट्राइक, समय और दर वही रहते हैं:

वार्षिक अस्थिरता (%)कॉल का मूल्यपुट का मूल्य
258.265.79
3511.018.54

दोनों ऑप्शन 2.75 बढ़ते हैं। समता कॉल और पुट के बीच का अंतर तय कर देती है, और उस अंतर में अस्थिरता का कोई पद नहीं है, इसलिए अस्थिरता बदलने पर दोनों बराबर हिलते हैं।

बाज़ार में हिसाब उलटी दिशा से होता है। निहित अस्थिरता (implied volatility) वह σ है जिस पर मॉडल किसी उद्धृत प्रीमियम से मेल खाए: ऊपर के बाकी इनपुट रखकर 9.00 पर बिकता कॉल लगभग 27.69% की निहित अस्थिरता बताता है। कैलकुलेटर सीधे निहित अस्थिरता नहीं निकालता; अस्थिरता बदल-बदलकर कॉल मूल्य को प्रीमियम के बराबर लाने से यही आँकड़ा मिलता है।

ग्रीक्स का अर्थ

हर ग्रीक एक स्थानीय संवेदनशीलता है, जिसमें बाकी इनपुट स्थिर रखे जाते हैं। छह महीने वाले एट-द-मनी उदाहरण के लिए:

  • डेल्टा: कॉल का 0.5909 और पुट का −0.4091। शेयर 100 से 101 होने पर कॉल 8.86 हो जाता है।
  • गामा: 0.02198, यानी शेयर में 1 की चाल पर डेल्टा का बदलाव; इसी कारण 1 की बढ़त ने 0.59 के बजाय 0.60 जोड़ा।
  • थीटा: कॉल का −0.02578 और पुट का −0.01242 प्रति दिन, जो वार्षिक आँकड़े को 365 से भाग देकर मिलता है।
  • वेगा: अस्थिरता के हर 1 प्रतिशत अंक पर 0.2747। 25% से 26% करने पर कॉल 8.53 हो जाता है।
  • रो: ब्याज दर के हर 1 प्रतिशत अंक पर कॉल का 0.2541 और पुट का −0.2335।

कीमतें और ग्रीक्स प्रति शेयर हैं। अमेरिका में एक इक्विटी ऑप्शन अनुबंध आम तौर पर 100 शेयरों का होता है, इसलिए 8.26 का कॉल एक अनुबंध में 826 का पड़ता है, और उसका 0.59 डेल्टा लगभग 59 शेयरों जैसा व्यवहार करता है। भारतीय एक्सचेंजों पर अनुबंध का आकार एक्सचेंज का तय लॉट आकार होता है; प्रति शेयर मूल्य को उसी लॉट आकार से गुणा करें।

अमेरिकी और यूरोपीय ऑप्शन

मॉडल उन ऑप्शनों का मूल्य निकालता है जिनका प्रयोग केवल समाप्ति पर हो सकता है। अमेरिका में शेयर और ETF ऑप्शन अमेरिकी शैली के होते हैं, जबकि SPX जैसे सूचकांक ऑप्शन यूरोपीय शैली के होते हैं और नकद में निपटते हैं।

लाभांश न देने वाले शेयर के कॉल को समय से पहले प्रयोग करना कभी फ़ायदेमंद नहीं होता, इसलिए मॉडल का मूल्य ही अमेरिकी मूल्य भी है (Hull, Options, Futures, and Other Derivatives)।

अमेरिकी पुट, और लाभांश से ठीक पहले के कॉल, अधिक मूल्य के होते हैं और उनके लिए द्विपद ट्री जैसी विधि चाहिए।

आम गलतियाँ

  • अस्थिरता दशमलव में लिखना। 25% के लिए 25 लिखें; 0.25 का अर्थ एक प्रतिशत का चौथाई है।
  • वार्षिक चक्रवृद्धि वाली दर। मॉडल निरंतर चक्रवृद्धि वाली दर चाहता है। 5% वार्षिक दर ln(1.05) = 4.879% निरंतर दर है, जिस पर कॉल 8.23 का आता है।
  • समय दिनों में। समय वर्षों में है: 30 दिन 30/365 है, और वह 30 दिन का ऑप्शन कॉल के रूप में 3.06 और पुट के रूप में 2.65 का है। साप्ताहिक समाप्ति वाले ऑप्शनों में T बहुत छोटा होता है, इसलिए एक-एक दिन का थीटा बड़ा हिस्सा बन जाता है।
  • लाभांश अनदेखा करना। 2% निरंतर लाभांश प्रतिफल कॉल को 7.68 पर घटाता है और पुट को 6.21 पर बढ़ाता है। एक अकेला नकद लाभांश प्रतिफल से केवल लगभग ही दर्शाया जा सकता है।
  • मूल्य को भविष्यवाणी मानना। मूल्य स्थिर अस्थिरता और दरें और लॉग-प्रसामान्य शेयर कीमतें मानकर निकलता है, इसलिए यह मॉडल का मूल्य है, बाज़ार का भाव नहीं।

शेयर की कीमत, स्ट्राइक, समय और अस्थिरता सभी शून्य से अधिक होने चाहिए। समाप्ति पर ऑप्शन का मूल्य उसका आंतरिक मूल्य होता है: कॉल के लिए 0 और S − K में से बड़ा, पुट के लिए 0 और K − S में से बड़ा।

शेयर पोज़िशन और औसत लागत के लिए शेयर औसत लागत कैलकुलेटर लें; स्थिर आय वाले नकदी प्रवाहों के लिए बॉन्ड कैलकुलेटर।

हल किए गए उदाहरण

Hull का उदाहरण 15.6

शेयर की कीमत
42
स्ट्राइक मूल्य
40
समाप्ति तक का समय
0.5 वर्ष
अस्थिरता (प्रति वर्ष)
20%
जोखिम-मुक्त दर (निरंतर चक्रवृद्धि)
10%
लाभांश प्रतिफल (निरंतर)
0%
कॉल मूल्य
4.76
पुट मूल्य
0.81
d₁
0.769263
d₂
0.627841

जाँच का स्रोत: Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, उदाहरण 15.6: c = 4.76, p = 0.81, d1 = 0.7693, d2 = 0.6278

Hull अध्याय 19 के ग्रीक्स

शेयर की कीमत
49
स्ट्राइक मूल्य
50
समाप्ति तक का समय
0.3846 वर्ष
अस्थिरता (प्रति वर्ष)
20%
जोखिम-मुक्त दर (निरंतर चक्रवृद्धि)
5%
लाभांश प्रतिफल (निरंतर)
0%
कॉल मूल्य
2.40
कॉल डेल्टा
0.5216
गामा
0.06555
कॉल थीटा (प्रति दिन)
-0.0118
वेगा (अस्थिरता के प्रति 1% पर)
0.1211
कॉल रो (दर के प्रति 1% पर)
0.08907

जाँच का स्रोत: Hull अध्याय 19 (S=49, K=50, 20 सप्ताह): मूल्य 2.40, डेल्टा 0.522, गामा 0.066, थीटा −4.31/वर्ष = −0.0118/दिन, वेगा 12.1 (प्रति 1% पर 0.121), रो 8.91 (प्रति 1% पर 0.0891)

लाभांश प्रतिफल वाला सूचकांक ऑप्शन

शेयर की कीमत
930
स्ट्राइक मूल्य
900
समाप्ति तक का समय
2/12 वर्ष
अस्थिरता (प्रति वर्ष)
20%
जोखिम-मुक्त दर (निरंतर चक्रवृद्धि)
8%
लाभांश प्रतिफल (निरंतर)
3%
कॉल मूल्य
51.83
पुट मूल्य
14.55
d₁
0.544479

जाँच का स्रोत: Hull उदाहरण 17.1: c = 51.83, d1 = 0.5444

शून्य दर पर एट-द-मनी

शेयर की कीमत
100
स्ट्राइक मूल्य
100
समाप्ति तक का समय
1 वर्ष
अस्थिरता (प्रति वर्ष)
20%
जोखिम-मुक्त दर (निरंतर चक्रवृद्धि)
0%
लाभांश प्रतिफल (निरंतर)
0%
कॉल मूल्य
7.97
पुट मूल्य
7.97
कॉल डेल्टा
0.5398
पुट डेल्टा
-0.4602

जाँच का स्रोत: r = q = 0 और S = K होने पर d1 = σ√T/2 = 0.1 और C = P = S(2N(0.1) − 1) = 7.9655675

सवाल

ब्लैक-स्कोल्स सूत्र क्या है?

C = S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂), जहाँ d₁ = (ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T) ÷ (σ√T) और d₂ = d₁ − σ√T। डिफ़ॉल्ट मानों पर d₁ = 0.2298 और d₂ = 0.0530। फ़िशर ब्लैक और मायरन स्कोल्स ने इसे 1973 में Journal of Political Economy (खंड 81, अंक 3, पृ. 637–654) में प्रकाशित किया; इस काम के लिए रॉबर्ट मर्टन और स्कोल्स को 1997 का अर्थशास्त्र पुरस्कार मिला, ब्लैक का 1995 में निधन हो चुका था।

ऑप्शन डेल्टा का क्या अर्थ है?

डेल्टा बताता है कि शेयर की कीमत में 1 के बदलाव पर ऑप्शन का मूल्य कितना बदलता है। डिफ़ॉल्ट कॉल का डेल्टा 0.5909 और पुट का −0.4091 है; लाभांश न हो तो इनमें हमेशा ठीक 1 का अंतर होता है। अमेरिका में एक इक्विटी ऑप्शन अनुबंध आम तौर पर 100 शेयरों का होता है, इसलिए 0.59 डेल्टा वाला कॉल मोटे तौर पर उस कंपनी के 59 शेयरों की तरह चलता है।

पुट-कॉल समता क्या है?

एक ही स्ट्राइक और समाप्ति वाले यूरोपीय ऑप्शनों के लिए कॉल − पुट = S·e^(−qT) − K·e^(−rT)। डिफ़ॉल्ट मानों पर 8.26 − 5.79 = 2.469, जो 100 − 100·e^(−0.05 × 0.5) के बराबर है। बाज़ार की कीमतें यह संबंध तोड़ें तो लेन-देन की लागत से पहले जोखिम-रहित लाभ संभव हो जाता है, इसलिए पुट का मूल्य सीधे कॉल के मूल्य से निकल आता है।

अस्थिरता ऑप्शन के मूल्य को कैसे प्रभावित करती है?

ऊँची अस्थिरता कॉल और पुट दोनों के मूल्य बढ़ाती है, क्योंकि समाप्ति से पहले शेयर जिन कीमतों तक पहुँच सकता है उनका दायरा चौड़ा हो जाता है। डिफ़ॉल्ट कॉल का वेगा 0.2747 है, इसलिए अस्थिरता का हर अतिरिक्त 1% लगभग 0.27 जोड़ता है; अस्थिरता 25% से 35% करने पर कॉल 8.26 से 11.01 और पुट 5.79 से 8.54 हो जाता है।

क्या ब्लैक-स्कोल्स अमेरिकी ऑप्शनों का मूल्य निकाल सकता है?

कुछ का ही। अमेरिका में शेयर और ETF ऑप्शन अमेरिकी शैली के होते हैं, इसलिए समाप्ति से पहले भी प्रयोग किए जा सकते हैं। लाभांश न देने वाले शेयर के कॉल को जल्दी प्रयोग करना कभी फ़ायदेमंद नहीं होता, इसलिए उसका ब्लैक-स्कोल्स मूल्य ही अमेरिकी मूल्य है (Hull, Options, Futures, and Other Derivatives)। अमेरिकी पुट, और लाभांश से ठीक पहले के कॉल, मॉडल के दिखाए मूल्य से अधिक के होते हैं और उनके लिए द्विपद ट्री जैसी विधि चाहिए।

इस कैलकुलेटर के बारे में

C=Se−qTN(d1)−Ke−rTN(d2),P=Ke−rTN(−d2)−Se−qTN(−d1),d1,2=ln⁡(S/K)+(r−q±σ2/2)TσTC = S e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),\quad P = K e^{-rT} N(-d_2) - S e^{-qT} N(-d_1),\quad d_{1,2} = \frac{\ln(S/K) + (r - q \pm \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

स्रोत

  1. Hull — Options, Futures, and Other Derivatives, ch. 15 (Black-Scholes-Merton), 17 (dividend yield) and 19 (Greeks)
  2. Black & Scholes (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81(3)

केवल योजना बनाने के लिए। ऋणदाता, कर अधिकारी और बाज़ार अपने पूर्णांकन, शुल्क और नियम लागू करते हैं; कोई प्रतिबद्धता करने से पहले उनसे आँकड़ों की पुष्टि करें।

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 4 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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