Ecuación de las lentes delgadas y de los espejos para la distancia imagen, la distancia objeto o la distancia focal, con el aumento; refracción con la ley de Snell y ángulo crítico.
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Con f = 10 cm y el objeto a 30 cm, la imagen se forma a 15 cm, detrás de la lente: real, invertida, reducida (m = −0,5).
Real es positivo: las distancias a objetos e imágenes reales son positivas y las virtuales, negativas; las lentes convergentes y los espejos cóncavos tienen f > 0. En una lente, la imagen real se forma al otro lado.
La ecuación de las lentes delgadas, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, relaciona la distancia focal f, la distancia objeto dₒ y la distancia imagen dᵢ, y la misma ecuación vale para los espejos esféricos. Con dos de ellas la calculadora obtiene la tercera y después el aumento m = −dᵢ/dₒ, la altura de la imagen, si la imagen es real o virtual y la potencia en dioptrías (1/f con f en metros). La ley de Snell, n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂, da el ángulo de refracción en una superficie de separación y el ángulo crítico a partir del cual la luz se refleja totalmente.
Con los valores iniciales, una lente convergente de f = 10 cm y un objeto a 30 cm, la imagen se forma 15 cm detrás de la lente, invertida y a la mitad de tamaño (m = −0,5), la disposición de una cámara fotográfica. La luz que pasa del aire al agua con 45° se desvía hasta 32,05°.
Los signos siguen el criterio «real es positivo»: las imágenes virtuales tienen dᵢ negativa, y las lentes divergentes y los espejos convexos tienen f negativa. Las lentes se consideran delgadas, así que se desprecian su espesor y las aberraciones.
La calculadora tiene dos modos. Con los valores iniciales del modo de lentes, una lente convergente de f = 10 cm y un objeto a 30 cm, la imagen se forma 15 cm detrás de la lente: real, invertida y de la mitad de tamaño (m = −0,5), con una potencia de +10 dioptrías. En el modo de refracción, la luz que pasa del aire (n = 1,000293) al agua (n = 1,333) con 45° de incidencia continúa a 32,047°, y el rayo se desvía 12,953°.
La ley de Snell, n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂, da el ángulo de un rayo después de entrar en otro medio, con ambos ángulos medidos desde la normal. Del aire (n ≈ 1) al vidrio (n = 1,5) con 30°, sen θ₂ = 0,5 ÷ 1,5 = 0,333, así que el rayo sigue a 19,47°.
La ecuación de las lentes delgadas, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, localiza la imagen que forma una lente o un espejo curvo. La normal es la recta perpendicular a la superficie. La ecuación supone una lente delgada y rayos próximos a su eje.
El índice de refracción n = c/v compara la velocidad de la luz en el vacío, c, con su velocidad en el material, v. Un vidrio de n = 1,5 frena la luz hasta unos 2,0 × 10⁸ m/s, dos tercios de su velocidad en el vacío.
«Índice de refracción» y «coeficiente de refracción» suelen designar esta misma n. Los coeficientes de reflexión y transmisión de Fresnel son otras magnitudes: indican qué parte de la luz se refleja o atraviesa la superficie, no hacia dónde se desvía.
Índices habituales para la luz amarilla de 589 nm, que son los que ofrece el selector de medios:
El índice varía con la longitud de onda, y por eso un prisma separa la luz blanca en colores. Usa el valor que corresponda a la longitud de onda que te interesa.
La luz que entra en un medio de índice mayor se acerca a la normal, y la que entra en uno de índice menor se aleja de ella. Un rayo a 0° pasa sin desviarse, y con índices iguales no hay desviación a ningún ángulo (OpenStax, refracción).
Los ángulos están redondeados a seis decimales, y la fila de π/6 rad es el ángulo de 30° escrito en radianes. «Ninguno» indica que no existe ángulo crítico porque la luz entra en un medio de índice igual o mayor. RTI significa reflexión total interna.
| Ejemplo | n₁ | n₂ | Incidencia | Refracción | Ángulo crítico |
|---|---|---|---|---|---|
| concepto de índice | 1 | 1,5 | 30° | 19,471221° | Ninguno |
| reflexión total | 1,5 | 1 | 45° | RTI | 41,810315° |
| agua (valor inicial) | 1,000293 | 1,333 | 45° | 32,047229° | Ninguno |
| incidencia normal | 1 | 1,5 | 0° | 0° | Ninguno |
| índices iguales | 1,5 | 1,5 | 45° | 45° | Ninguno |
| índices iguales, rasante | 1,5 | 1,5 | 90° | 90° | Ninguno |
| incidencia en radianes | 1 | 1,5 | π/6 rad | 19,471221° | Ninguno |
| por debajo del crítico | 1,5 | 1 | 30° | 48,590378° | 41,810315° |
| justo en el crítico | 2 | 1 | 30° | 90° | 30° |
| justo por encima del crítico | 2 | 1 | 30,0001° | RTI | 30° |
Al pasar de un índice mayor a otro menor, el ángulo crítico es θc = arcsen(n₂/n₁). Del vidrio (1,5) al aire (≈ 1), θc = arcsen(0,6667) = 41,81°. Más allá de ese ángulo la ley de Snell exigiría sen θ₂ > 1, de modo que ninguna luz atraviesa la superficie y toda se refleja. Con el aire real (1,000293) como segundo medio, la calculadora da 41,825°, y a 45° informa de que no hay rayo refractado.
Justo en el ángulo crítico el rayo refractado sale rasante, a 90°. En las dos últimas filas, 30° desde un medio de índice 2 sale rozando la superficie, y 30,0001° ya se refleja.
Hacia el aire, el ángulo crítico es de unos 48,6° desde el agua y de 24,4° desde el diamante. El ángulo crítico pequeño del diamante atrapa la luz dentro de una piedra tallada, y el mismo efecto mantiene la luz dentro de una fibra óptica (OpenStax, reflexión total interna).
Para f = 10 cm y dₒ = 30 cm, 1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, así que dᵢ = 15 cm. El aumento es m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0,5: el objeto inicial de 2 cm da una imagen de 1 cm, cabeza abajo. La calculadora lo muestra como altura de imagen −1 cm.
La potencia de una lente es P = 1/f con f en metros. Una lente de 10 cm tiene P = 1/0,1 m = +10 dioptrías, la unidad de las graduaciones de gafas.
Si el objeto se acerca dentro de la distancia focal, hasta 5 cm, 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10. La distancia imagen es −10 cm: una imagen virtual, derecha y del doble de tamaño (m = +2). Así funciona una lupa.
Con dₒ = 2f (20 cm) la imagen también queda a 20 cm, invertida y del mismo tamaño (m = −1); el ejemplo del espejo cóncavo de la calculadora reproduce este caso. Con el objeto justo en el foco, los rayos salen paralelos y no se forma una imagen a distancia finita.
Estas reglas siguen el convenio de «lo real es positivo»:
La distancia focal se introduce como un tamaño sin signo; el tipo de lente o espejo elegido aporta el signo. Una distancia imagen virtual se introduce como número negativo.
Cuando se conocen las dos distancias y se despeja f, el signo identifica el elemento. Un objeto a 30 cm con una imagen virtual a −5 cm da 1/f = 1/30 − 1/5, de modo que f = −6 cm, algo que solo puede producir una lente divergente o un espejo convexo.
Las distancias van en centímetros salvo en la fila «resultado en metros», que usa metros. El aumento no tiene unidad, la potencia está en dioptrías y los valores se redondean a seis decimales.
| Ejemplo | f | dₒ | dᵢ | m | Potencia D |
|---|---|---|---|---|---|
| lente inicial | 10 | 30 | 15 | -0,5 | 10 |
| dentro de la distancia focal | 10 | 5 | -10 | 2 | 10 |
| lente divergente | -10 | 30 | -7,5 | 0,25 | -10 |
| espejo cóncavo | 10 | 30 | 15 | -0,5 | 10 |
| espejo convexo | -10 | 30 | -7,5 | 0,25 | -10 |
| despejar el objeto | 10 | 30 | 15 | -0,5 | 10 |
| despejar la focal | 10 | 30 | 15 | -0,5 | 10 |
| aviso de signo focal opuesto | -6 | 30 | -5 | 0,166667 | -16,666667 |
| resultado en metros | 0,1 | 0,3 | 0,15 | -0,5 | 10 |
Un espejo cóncavo y una lente convergente con la misma f sitúan la imagen a la misma distancia. Una lente divergente o un espejo convexo siempre forman de un objeto real una imagen virtual, derecha y reducida, como muestran las filas de −7,5 cm (OpenStax, lentes delgadas). Con el objeto a 20 cm, la lente divergente de 10 cm de la calculadora da dᵢ = −6,66667 cm y m = 0,3333.
La refracción conserva la frecuencia y acorta la longitud de onda a λ/n: la luz de 589 nm mide unos 442 nm dentro del agua. Para pasar entre longitud de onda, frecuencia y energía del fotón, usa la calculadora de longitud de onda.
Fuente de comprobación: 1/dᵢ = 1/10 − 1/30 ⇒ dᵢ = 15 cm, m = −½; P = 1/0.1 m
Fuente de comprobación: 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10 ⇒ dᵢ = −10 cm
Fuente de comprobación: 1/dᵢ = −1/10 − 1/20 = −3/20 ⇒ dᵢ = −20/3 cm
Fuente de comprobación: 1/dᵢ = 1/10 − 1/20 ⇒ dᵢ = 20 cm, m = −1 (OpenStax UP3 §2.3)
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, donde f es la distancia focal, dₒ la distancia objeto y dᵢ la distancia imagen, todas medidas desde la lente. Para f = 10 cm y un objeto a 30 cm, 1/dᵢ = 1/10 − 1/30, de modo que dᵢ = 15 cm. Una dᵢ negativa indica una imagen virtual del mismo lado que el objeto, como la que se ve a través de una lupa.
m = −dᵢ/dₒ, y la altura de la imagen es m veces la altura del objeto. Un m negativo indica que la imagen está invertida; si |m| es mayor que 1, la imagen está ampliada. Un objeto a 5 cm de una lupa de 10 cm da dᵢ = −10 cm y m = +2: una imagen virtual, derecha y del doble de tamaño. Con dₒ = 2f la imagen es real, invertida y del mismo tamaño (m = −1).
θc = arcsen(n₂/n₁), que solo existe cuando la luz se dirige hacia un medio de índice menor (n₁ > n₂). Hacia el aire vale 41,8° desde el vidrio (n = 1,5), 48,6° desde el agua (1,333) y 24,4° desde el diamante (2,417), lo que explica el brillo de los diamantes tallados. Un rayo que llega a la superficie con un ángulo mayor que θc respecto a la normal se refleja por completo, el principio de la fibra óptica.
n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂: el índice de refracción por el seno del ángulo respecto a la normal es igual a ambos lados de la superficie de separación. La luz que entra en el agua (n = 1,333) desde el aire con 45° continúa a 32,0°, acercándose a la normal porque el agua tiene el índice mayor. En sentido contrario el rayo se aleja de la normal y, por encima del ángulo crítico, no puede salir.
La potencia P = 1/f, con f en metros, se mide en dioptrías (D). Una lente convergente con f = 10 cm tiene P = +10 D, y una divergente con f = −50 cm, −2 D. Las graduaciones de las gafas usan esta unidad: la miopía se corrige con lentes negativas (divergentes) y la hipermetropía con lentes positivas, y las potencias de lentes delgadas en contacto se suman.
Esta calculadora incluye 8 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.