Calculadora de números complejos

Operar con números complejos

Un número complejo se escribe a + bi, con i² = −1. Su parte real es a y el coeficiente imaginario es b; en el plano complejo corresponde al punto (a, b). La calculadora suma, resta, multiplica y divide complejos, los convierte a forma polar, calcula potencias reales y obtiene raíces de índice entero. Selecciona primero la operación y después introduce z₁ y, cuando corresponda, z₂.

El ejemplo inicial multiplica 3 + 4i por 1 − 2i y devuelve 11 − 2i. Puedes utilizar i o j como unidad imaginaria. Escribe 3 - 4i para un coeficiente imaginario negativo, -2i para un número imaginario puro o 1/2 + 3/4i para componentes fraccionarias. Conserva los signos y termina cada expresión: una entrada como 3 + no proporciona un segundo término válido.

La entrada polar combina un radio y un ángulo, por ejemplo 2∠90°. El sufijo ° fija grados y rad fija radianes. Si no escribes un sufijo, se aplica el modo angular seleccionado: grados, radianes o grados centesimales. Confírmalo antes de copiar una representación de otro documento. Noventa radianes y noventa grados señalan direcciones diferentes, aunque ambos valores se escriban con el número 90.

Ejemplos de aritmética, potencias y raíces

En la multiplicación, distribuir los factores da 3 − 6i + 4i − 8i². Al sustituir i² = −1, queda 11 − 2i. Las partes reales e imaginarias se combinan por separado después de aplicar esa regla. Tratar i como una variable real cualquiera y dejar i² sin reducir no completaría la operación entre números complejos que representa el resultado.

Para dividir, multiplica numerador y denominador por el conjugado del divisor. El conjugado de 1 − 2i es 1 + 2i. El denominador se vuelve 1² + 2² = 5 y el numerador −5 + 10i, por lo que el cociente es −1 + 2i. Multiplicarlo otra vez por 1 − 2i recupera 3 + 4i. Dividir entre cero produce un error. Estas reglas se desarrollan en OpenStax.

Forma polar, módulo y cuadrante

Selecciona la conversión a forma polar y escribe z₁. Las salidas incluyen parte real, parte imaginaria, módulo, argumento y forma polar. Para 3 + 4i, el módulo es √(3² + 4²) = 5 y el argumento es aproximadamente 53.130102° en modo de grados. La forma polar es, por tanto, aproximadamente 5 ∠ 53.130102°. El módulo expresa distancia al origen y siempre es no negativo.

El argumento representa una dirección desde el semieje real positivo. Deben considerarse los signos de las dos coordenadas. Para −3 − 4i, el módulo sigue siendo 5, pero el argumento principal en grados es aproximadamente −126.869898°. Aplicar una tangente inversa al cociente entre las componentes sin revisar el cuadrante perdería esa información. Dos direcciones que difieren en una vuelta completa representan el mismo punto polar.

Cambiar el modo angular cambia la unidad del argumento, no el número rectangular. Una dirección de 90° equivale a π/2 radianes o a 100 grados centesimales. La escritura exponencial e^(iθ) utiliza convencionalmente radianes. Comprueba la unidad antes de reutilizar un argumento dentro de una función trigonométrica. El valor de una coordenada no debe confundirse con el ángulo que forma el vector de posición.

El cero no tiene una dirección desde el origen. Para ese caso, la herramienta muestra un argumento de cero y una advertencia de que el argumento real está indefinido. Ese cero mostrado es una convención de presentación y no una dirección matemática determinada. Conserva la advertencia si describes el resultado, especialmente al comparar el origen con un complejo no nulo situado sobre el eje real positivo.

Potencias y valor principal

En la operación de potencia, introduce z₁ y un exponente real n. Las potencias enteras siguen la multiplicación repetida. Por ejemplo, (1 + i)⁸ = 16. Las potencias enteras negativas dan recíprocos y requieren una base no nula. La presentación puede redondear algunas salidas aunque la operación con componentes racionales conserve exactitud interna. Revisa qué salida copias si después necesitas una fracción exacta o un argumento con suficientes cifras.

Una potencia real no entera devuelve un solo valor principal, elegido a partir del argumento principal de z₁. Esa pregunta difiere de encontrar todas las soluciones de wⁿ = z₁. Elevar −4 a 0.5 elige una raíz cuadrada principal; seleccionar raíces con n = 2 lista 2i y −2i. Indica qué operación utilizaste si el ejercicio pide «la raíz principal» o «todas las raíces», porque sus respuestas tienen alcances distintos.

El capítulo de forma polar de OpenStax explica las potencias y raíces en coordenadas polares. El campo n acepta un exponente real, no uno complejo como 1 + i. Un error en ese campo señala una entrada fuera de su significado numérico. No lo eludas trasladando arbitrariamente el coeficiente imaginario a otro campo que representa una cantidad diferente.

Obtener todas las raíces de índice entero

La operación de raíces admite n entero de 1 a 360. Para z₁ no nulo, sus raíces tienen módulo |z₁|^(1/n) y direcciones separadas por una vuelta completa dividida entre n. Las raíces cúbicas de 8 son 2 y −1 ± √3i. En grados, sus direcciones son 0°, 120° y 240°; la última también puede escribirse −120°. Todas elevadas al cubo recuperan 8.

Las salidas de parte real, parte imaginaria, módulo, argumento y forma polar describen la primera raíz de la lista, la principal. No condensan todas las raíces en un único número. Si n supera ocho, el texto principal abrevia la lista. El dibujo limita sus marcadores de raíces a los primeros 36 y añade otro punto para el número de entrada. Solicitar 360 raíces no implica obtener 360 etiquetas visibles en la gráfica.

Para z₁ = 0, todas las entradas de raíces coinciden en el origen; no son n puntos distintos. Valores fraccionarios como 2.5, índices nulos, negativos o superiores a 360 se rechazan en esta operación. Para ecuaciones con coeficientes numéricos utiliza el buscador de raíces polinómicas o la calculadora cuadrática. Para expresiones reales habituales puedes continuar en la calculadora científica.