Encuentra todas las raíces reales y complejas de un polinomio de grado hasta 6, como una ecuación cúbica o cuártica, con raíces múltiples exactas y precisión de 30 cifras.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 7
Este polinomio de grado 3 tiene 3 raíces reales y 0 raíces complejas no reales (contando multiplicidades).
| # | Parte real | Parte imaginaria | Multiplicidad | |p(raíz)| |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 0 |
Se ha comenzado con potencias de 0.4 + 0.9i escaladas mediante la cota de Cauchy; se han realizado 12 iteraciones completas y un refinamiento de Newton. Todas las correcciones han cumplido la tolerancia relativa de 10⁻³⁰.
Cada raíz se ha confirmado sustituyendo la fracción en p(x) y obteniendo exactamente 0.
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, contadas con multiplicidad, según el teorema fundamental del álgebra. La calculadora separa primero los factores repetidos de forma exacta con el algoritmo de Yun y después busca las raíces restantes simultáneamente mediante la iteración de Durand–Kerner (Weierstrass). Esta refina las aproximaciones hasta que las correcciones cumplen una tolerancia relativa de 10⁻³⁰, o hasta alcanzar el límite de iteraciones. Las raíces racionales se comprueban mediante sustitución exacta.
Son habituales las ecuaciones cúbicas y cuárticas de ingeniería, física y álgebra. Los coeficientes iniciales 1, −6, 11, −6 representan x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3), cuyas raíces son 1, 2 y 3. Suman 6 y su producto es 6, como indican las fórmulas de Viète.
Introduce los coeficientes desde la mayor potencia hasta el término independiente, con ceros para las potencias ausentes: x³ − 2 se escribe 1, 0, 0, −2. Se admiten grados del 1 al 6. Usa el punto decimal: las comas separan coeficientes.
La calculadora resuelve p(x) = 0 para polinomios numéricos de grado uno a seis. Devuelve raíces reales y complejas, sus multiplicidades y las raíces reales mayor y menor cuando existen. Introduce una lista de coeficientes, no una ecuación escrita con x. El ejemplo inicial 1, -6, 11, -6 representa x³ − 6x² + 11x − 6 y tiene raíces 1, 2 y 3.
Ordena los coeficientes desde la potencia más alta hasta el término independiente. Conserva un cero por cada potencia ausente: x³ − 2 necesita 1, 0, 0, -2; x⁴ − 1 necesita 1, 0, 0, 0, -1. Omitir uno de esos ceros cambia el polinomio. Uno de grado seis necesita siete entradas. El signo forma parte del coeficiente, por lo que una constante de −6 se introduce como -6 en la última posición.
Antes de copiar los coeficientes, lleva todos los términos al mismo miembro. Así, x³ = 2 se convierte en x³ − 2 = 0. Desarrolla también los productos: (x-1)(x-2) no es una lista de coeficientes. Se admiten valores numéricos y expresiones numéricas compatibles, pero no coeficientes simbólicos como a ni términos como sin(x). El número de incógnitas de este problema es uno, aunque pueda haber varias raíces.
| Polinomio | Coeficientes de mayor a menor grado | Raíces |
|---|---|---|
| 2x − 3 | 2, -3 | 3/2 |
| x² + 1 | 1, 0, 1 | ±i |
| x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, -6, 11, -6 | 1, 2, 3 |
| (x − 1)³(x + 2) | 1, -1, -3, 5, -2 | −2, 1 (×3) |
| x⁴ − 1 | 1, 0, 0, 0, -1 | −1, 1, ±i |
Para comprobar la raíz 2 del ejemplo inicial, sustituye en el polinomio: 8 − 24 + 22 − 6 = 0. Las tres raíces suman 6 y su producto es 6. Estas relaciones ayudan a detectar un signo incorrecto o un término independiente mal copiado. Comprueba siempre el polinomio original, especialmente si antes tuviste que cambiar términos de miembro o desarrollar factores.
En x⁴ − 1 hay cuatro raíces, pero solo dos son reales. La respuesta incluye i y −i; los extremos reales son −1 y 1. Las raíces complejas pertenecen al plano complejo y no producen otros cruces con el eje horizontal de una gráfica real. Una curva que muestre dos cruces es compatible con un polinomio de grado cuatro cuyas otras dos raíces son no reales.
Cada raíz r aporta un factor x − r. Conserva el coeficiente principal y repite los factores según sus multiplicidades. Si el coeficiente principal es a y las raíces distintas son r₁,…,rₖ, el producto es a(x − r₁)^m₁…(x − rₖ)^mₖ. La suma de las multiplicidades coincide con el grado. Sobre los complejos, un polinomio real puede necesitar factores lineales con coeficientes complejos.
El ejemplo inicial se escribe (x − 1)(x − 2)(x − 3). Para 2, -3, la factorización correcta es 2(x − 3/2): quitar el 2 conservaría la raíz, pero cambiaría el polinomio. En el ejemplo de raíz repetida se obtiene (x + 2)(x − 1)³. Desarrollarlo devuelve x⁴ − x³ − 3x² + 5x − 2, lo que comprueba tanto los factores como el coeficiente principal.
La página presenta las raíces y una tabla; no incluye un campo separado que construya cualquier producto simbólico de factores. Puedes escribirlo a partir de sus salidas, revisando el coeficiente principal y las multiplicidades. Una raíz racional confirmada permite un factor racional exacto. Una raíz decimal redondeada produce un factor aproximado. No conviertas automáticamente un decimal cercano a una fracción sencilla en una igualdad exacta sin sustituirlo antes en el polinomio.
Para x² + 1, los factores lineales complejos son (x − i)(x + i). Si el ejercicio exige únicamente coeficientes reales, conserva x² + 1 como factor cuadrático irreducible. El capítulo de ceros de funciones polinómicas de OpenStax explica el teorema del factor y la factorización sobre los complejos. Especificar el conjunto numérico evita confundir dos formas válidas de presentar una respuesta.
Una multiplicidad de tres significa que un mismo factor aparece tres veces. El resultado puede mostrar la raíz una sola vez acompañada de ×3. El recuento de raíces reales incluye esas tres apariciones; la tabla mantiene una fila para la raíz real distinta y anota su multiplicidad. En (x − 1)³(x + 2) existen dos raíces reales distintas y cuatro raíces reales contadas con multiplicidad.
La tabla separa parte real y parte imaginaria y muestra el residuo |p(raíz)|. Se obtiene sustituyendo la raíz calculada en el polinomio introducido. Un residuo pequeño es una comprobación útil, pero no constituye una cota universal del error de la raíz. Multiplicar todos los coeficientes por una constante cambia el residuo sin cambiar las raíces, y las raíces casi repetidas pueden ser muy sensibles a pequeñas variaciones.
Por eso conviene leer juntos los coeficientes, las distancias entre raíces y cualquier advertencia de convergencia. Un número con muchas cifras no garantiza que todas representen información fiable. Si los coeficientes proceden de medidas redondeadas, la aritmética exacta no puede recuperar las cifras que esas medidas perdieron. Puedes explorar pequeñas variaciones de los coeficientes para observar cuánto cambia una raíz sensible.
Los factores repetidos se separan mediante aritmética racional exacta antes de buscar numéricamente otras raíces. Las restantes se refinan y se redondean para mostrarlas. Un objetivo de convergencia no promete treinta cifras correctas para cualquier entrada. Conserva las advertencias y verifica la ecuación original antes de utilizar una raíz aproximada en una decisión posterior. Un resultado visualmente estable puede seguir requiriendo una comprobación independiente.
Los ceros iniciales de la lista se eliminan con una advertencia. Una lista formada solo por ceros se rechaza, porque cualquier x anularía ese polinomio. Una constante no nula también se rechaza porque no tiene raíces. Los grados siete o superiores y coeficientes de magnitud extrema quedan fuera del alcance de este formulario. Corrige esas situaciones sin interpretarlas como una lista válida de raíces vacía.
Utiliza la calculadora cuadrática para campos a, b y c y pasos específicos de segundo grado; la calculadora de números complejos para operar con raíces no reales; y el solucionador de sistemas lineales cuando varias ecuaciones lineales comparten incógnitas. Las desigualdades y las ecuaciones trascendentes requieren métodos que correspondan a su estructura.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: desarrollo manual de (x − 1)(x − 2)(x − 3)
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: raíces cuartas de la unidad: ±1, ±i
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: (x − 1)³(x + 2) = x⁴ − x³ − 3x² + 5x − 2
Tantas como su grado, contadas con multiplicidad, si se incluyen las raíces complejas: es el teorema fundamental del álgebra. x⁴ − 1 tiene cuatro raíces: −1, 1, i y −i. Puede haber menos raíces reales: x³ − 2 tiene una real, ∛2 ≈ 1.259921, y dos complejas no reales. Una raíz de multiplicidad 3, como x = 1 en (x − 1)³(x + 2), cuenta tres veces.
Busca primero una raíz racional. Según el teorema de la raíz racional, si p/q está reducida y es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, p divide el término independiente y q divide el coeficiente principal. Para x³ − 6x² + 11x − 6, probar los divisores de 6 permite encontrar x = 1. Dividir entre (x − 1) deja x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Si no hay raíz racional, puede utilizarse la fórmula de Cardano o un método numérico.
No existe una fórmula general mediante radicales para grados 5 o superiores. Lo establece el teorema de Abel–Ruffini, demostrado por Abel en 1824, y la teoría de Galois explica qué ecuaciones sí son resolubles de esa forma. x⁵ − x − 1 es un ejemplo clásico cuyas raíces no se pueden expresar mediante radicales. Los métodos numéricos permiten aproximarlas: su única raíz real es aproximadamente 1.167304.
Relacionan las raíces con los coeficientes. Para aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀, la suma de raíces es −aₙ₋₁/aₙ y su producto es (−1)ⁿa₀/aₙ. En x³ − 6x² + 11x − 6, las raíces 1, 2 y 3 suman 6 y tienen producto 6, que coinciden con −(−6)/1 y (−1)³ × (−6)/1. La calculadora comprueba ambas relaciones.
Si todos los coeficientes son reales, conjugar p(z) = 0 da p(z̄) = 0: el conjugado de una raíz también es raíz. Por eso x³ − 2 tiene la pareja −0.629961 ± 1.091124i además de su raíz real. Como consecuencia, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.