Resuelva ax² + bx + c = 0 con la fórmula cuadrática: raíces exactas en radicales o números complejos, discriminante, vértice, eje de simetría y gráfica.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 7
El discriminante es positivo (12), por lo que la parábola corta el eje x dos veces: x = 2 ± √3. Se abre hacia arriba, con un mínimo de −3 en x = 2.
Una ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0, tiene las raíces x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. El discriminante Δ = b² − 4ac determina su tipo: dos raíces reales cuando Δ > 0, una raíz doble cuando Δ = 0 y un par de raíces complejas conjugadas cuando Δ < 0. El vértice de la parábola y = ax² + bx + c está sobre su eje de simetría, x = −b/2a.
Las alturas de los proyectiles, las áreas con un lado desconocido y los puntos de equilibrio pueden dar lugar a ecuaciones de segundo grado. El ejemplo inicial, x² − 4x + 1 = 0, tiene Δ = 12, por lo que sus raíces son x = 2 ± √3, aproximadamente 0.2679 y 3.7321, y su vértice es (2, −3).
Las raíces se expresan de forma exacta, como fracciones, radicales simplificados o números complejos, y como decimales con 10 cifras decimales. El cálculo decimal utiliza la forma de Numerical Recipes que evita la cancelación, para conservar la precisión de una raíz pequeña junto a otra grande. Si a = 0, la ecuación es lineal, no de segundo grado.
La fórmula se obtiene al completar el cuadrado en la ecuación general ax² + bx + c = 0, usando letras en lugar de números:
El discriminante aparece en el paso 4. En el paso 3, el denominador 4a² es positivo; por tanto, el signo de b² − 4ac determina si existe una raíz cuadrada real.
Para coeficientes enteros o fraccionarios, Δ = b² − 4ac permite distinguir cuatro casos.
| Discriminante Δ | Raíces | Gráfica de y = ax² + bx + c | Ejemplo | Δ | Raíces del ejemplo |
|---|---|---|---|---|---|
| Cuadrado perfecto positivo | Dos raíces racionales | Corta el eje x dos veces | 3x² − 5x − 2 | 49 | −1/3 y 2 |
| Positivo, sin ser cuadrado perfecto | Dos raíces irracionales, un par a ± √ | Corta el eje x dos veces | x² + 6x + 4 | 20 | −3 ± √5 |
| Cero | Una raíz doble | Toca el eje x en el vértice | 4x² − 12x + 9 | 0 | 3/2 |
| Negativo | Dos raíces complejas conjugadas | Permanece a un lado del eje x | x² − 4x + 13 | −36 | 2 ± 3i |
Conviene comprobar el primer caso antes de aplicar la fórmula: un discriminante cuadrado perfecto permite factorizar con coeficientes enteros o racionales. Cuando los coeficientes decimales proceden de mediciones, ese caso es poco habitual y la fórmula suele ser el método más práctico.
Un jardín rectangular mide 3 m más de largo que de ancho y ocupa 40 m². Si w es el ancho, w(w + 3) = 40. Al pasar todo a un lado se obtiene w² + 3w − 40 = 0, con a = 1, b = 3 y c = −40.
La calculadora devuelve x₁ = −8 y x₂ = 5 para a = 1, b = 3 y c = −40. Muestra ambas raíces porque las dos resuelven la ecuación; el contexto del problema determina cuál se descarta.
Un lanzamiento vertical ofrece otro caso en el que se descarta una raíz. Una pelota lanzada hacia arriba a 14 m/s desde 1.5 m de altura, tomando g = 9.8 m/s², sigue h = −4.9t² + 14t + 1.5 metros tras t segundos. Al imponer h = 0 se obtiene Δ = 14² − 4 × (−4.9) × 1.5 = 225.4. Las raíces exactas son (10 ± √115)/7, aproximadamente −0.1034 y 2.9605. El tiempo negativo corresponde a antes del lanzamiento, así que la pelota toca el suelo a los 2.96 s. El vértice, t = 1.4286 y h = 11.5, indica la altura máxima: 11.5 m a los 1.43 s.
Si el discriminante es un cuadrado perfecto, factorizar puede ser más rápido que aplicar la fórmula. El método ac permite trabajar con un coeficiente principal distinto de 1. Para 6x² + x − 2 = 0:
Completar el cuadrado sirve para cualquier ecuación cuadrática y resulta especialmente rápido cuando a = 1 y b es par. Para x² + 6x − 7 = 0, pasa la constante al otro lado: x² + 6x = 7. Suma (6/2)² = 9 a ambos lados: (x + 3)² = 16. Al tomar raíces, x + 3 = ±4, de donde x = 1 o x = −7. Es el mismo procedimiento de la deducción anterior, aplicado a números.
Al completar el cuadrado sin igualar la expresión a cero, y = ax² + bx + c se transforma en y = a(x − h)² + k, donde h = −b/2a y k = c − b²/4a. Para y = 2x² − 8x + 3:
Esta forma revela tres datos: el vértice es (2, −5); a = 2 es positivo, así que la parábola abre hacia arriba y su mínimo es −5; y el eje de simetría es x = 2. Para hallar las raíces, toma y = 0: 2(x − 2)² = 5 y x = 2 ± √(5/2). La calculadora lo escribe como (4 ± √10)/2, aproximadamente 0.4189 y 3.5811. Ambas están a unos 1.5811 del eje, una a cada lado.
Dos comprobaciones detectan muchos errores aritméticos: las raíces suman −b/a y su producto es c/a. Aquí suman 4 = 8/2 y su producto exacto es 1.5 = 3/2; con las aproximaciones decimales, 0.4189 + 3.5811 = 4 y 0.4189 × 3.5811 ≈ 1.5. Para comparar la parábola con otras curvas, usa la calculadora gráfica.
Puedes continuar operando con raíces como 2 ± 3i en la calculadora de números complejos. Para ecuaciones de grado tres a seis, el buscador de raíces de polinomios obtiene todas las raíces reales y complejas.
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: Δ = 9 + 40 = 49, (−3 ± 7)/4
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: desarrollo manual de (x − 3)²
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a da las dos soluciones de ax² + bx + c = 0. Para 2x² + 3x − 5 = 0, a = 2, b = 3 y c = −5, así que x = (−3 ± √49)/4 = (−3 ± 7)/4, lo que da x = 1 y x = −5/2. La fórmula se obtiene al completar el cuadrado y funciona para toda ecuación de segundo grado con a ≠ 0.
El discriminante b² − 4ac determina el número de raíces reales. Si es positivo, hay dos raíces reales distintas (x² − 4x + 1 tiene Δ = 12); si es cero, hay una raíz doble donde la parábola toca el eje x (x² − 6x + 9 tiene Δ = 0 y raíz 3); si es negativo, hay dos raíces complejas (x² + 2x + 5 tiene Δ = −16). Con coeficientes enteros, un discriminante que sea un cuadrado perfecto, como 49, indica que las raíces son racionales.
La coordenada x del vértice es −b/2a; al sustituirla en la ecuación se obtiene la coordenada y, que es c − b²/4a. Para y = x² − 4x + 1, el vértice está en x = 4/2 = 2 e y = 1 − 16/4 = −3. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es su mínimo; si a < 0, se abre hacia abajo y el vértice es su máximo.
Cuando b² − 4ac es negativo, la raíz cuadrada de la fórmula es imaginaria, por lo que las raíces tienen la forma p ± qi, donde i = √−1. Para x² + 2x + 5 = 0, Δ = 4 − 20 = −16 y √−16 = 4i, así que x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. La parábola nunca corta el eje x y la parte real, −1, es la coordenada x de su vértice.
Sí, cuando las raíces son racionales. x² − 6x + 9 se factoriza como (x − 3)², por lo que x = 3 es una raíz doble, y 2x² + 3x − 5 se factoriza como (2x + 5)(x − 1), con raíces −5/2 y 1. x² − 4x + 1 no se puede factorizar con coeficientes enteros porque su discriminante, 12, no es un cuadrado perfecto; se necesita la solución 2 ± √3 que da la fórmula.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.