Calculadora de regresión lineal por mínimos cuadrados: recta de mejor ajuste con R², errores estándar, valores p y predicciones, además de ajustes polinómicos y exponenciales.
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Cada unidad adicional de x corresponde a un cambio ajustado de 3.1091 en y. El ajuste explica el 99.33 % de la variación observada en y. Para x = 7.5, el valor ajustado es 72.2091.
| Término | Coeficiente | Error estándar | t | Valor p |
|---|---|---|---|---|
| Intercepto | 48,8909 | 0,6439 | 75,9325 | 1,008 × 10⁻¹² |
| x | 3,1091 | 0,0906 | 34,3146 | 5,686 × 10⁻¹⁰ |
El método de mínimos cuadrados elige la recta o curva que minimiza la suma de las distancias verticales al cuadrado entre los puntos y el modelo. Para una recta, la pendiente es b₁ = Sxy/Sxx y el intercepto, b₀ = ȳ − b₁x̄. Los ajustes polinómicos de grado 2 a 4 resuelven las ecuaciones normales, y el modelo exponencial ajusta una recta a ln y. Cuando los grados de libertad residuales y los errores estándar lo permiten, se muestran estadísticos t y valores p de los coeficientes. R² describe la variación de y en los ajustes lineales y polinómicos, y la de ln y en los exponenciales.
Los datos iniciales relacionan horas de estudio semanales y notas de 10 estudiantes. La recta ajustada es y = 48,89 + 3,109x: cada hora adicional se asocia con unos 3,1 puntos más. R² es 0,9933 y, para 7,5 horas, la predicción es 72,2.
Los errores estándar suponen errores independientes, de varianza constante, y un modelo correcto; la inferencia t exacta en muestras pequeñas también supone errores normales en la escala ajustada. Un patrón curvo o en forma de embudo en los residuos indica que al modelo le falta algo. Las predicciones fuera del intervalo de x observado se señalan como extrapolaciones.
La recta de mínimos cuadrados y = b₀ + b₁x tiene pendiente b₁ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² y ordenada en el origen b₀ = ȳ − b₁x̄. Con las horas de estudio y las notas de 10 estudiantes, las dos sumas valen 256,5 y 82,5; por tanto, b₁ = 3,109, b₀ = 48,89 y la recta predice 72,2 puntos para 7,5 horas.
Los datos emparejan las horas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 con las notas 55, 58, 62, 64, 68, 71, 72, 78, 80 y 83. El cálculo a mano sigue cinco pasos:
El método de mínimos cuadrados elige la única recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la recta (NIST). La calculadora llama «intercepto b₀» a la ordenada en el origen; los dos nombres designan el mismo coeficiente.
La pendiente es el cambio ajustado de y por cada unidad de x: cada hora adicional de estudio se asocia con unos 3,1 puntos más. Es una asociación observada en estos 10 estudiantes; no demuestra que una hora más produzca 3,1 puntos.
La ordenada en el origen es el valor ajustado de y cuando x = 0, aquí 48,89 puntos para cero horas. Ningún estudiante estudió menos de 2 horas, de modo que ese valor es una extrapolación que fija la posición de la recta, no un resultado sobre alumnos que no estudian.
El coeficiente de determinación R² = 1 − SSE ÷ SST es la proporción de la variación de y que explica la recta. SSE es la suma de los cuadrados de los residuos y SST la suma de los cuadrados de las desviaciones de y respecto a su media. Aquí SSE = 5,418 y SST = 802,9, así que R² = 0,99325: las horas explican el 99,3 % de la dispersión de las notas.
En una recta, R² es el cuadrado del coeficiente de correlación, r = 0,99662. El R² ajustado = 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − k) penaliza cada coeficiente, donde k incluye la ordenada en el origen; con n = 10 y k = 2 vale 0,99241.
El R² simple nunca baja al añadir un término, mientras que el ajustado sí puede bajar. Si a estos datos se les añade un término en x², su coeficiente resulta exactamente 0: R² se mantiene en 0,99325 y el R² ajustado desciende a 0,99132. El término extra no aporta nada y el ajuste lo penaliza.
El contraste de pendiente nula usa t = b₁ ÷ EE(b₁) con n − 2 grados de libertad, donde EE(b₁) = s ÷ √Sxx y s = √(SSE ÷ (n − 2)) es el error estándar residual.
Con los datos de ejemplo, s = 0,8230, EE(b₁) = 0,8230 ÷ √82,5 = 0,0906 y t = 3,109 ÷ 0,0906 = 34,3 con 8 grados de libertad. El valor p bilateral es 5,7 × 10⁻¹⁰: una pendiente tan pronunciada sería muy improbable si no hubiera relación lineal entre horas y notas.
Estos errores estándar suponen errores independientes, de varianza constante, y un modelo con la forma correcta. La inferencia t exacta con muestras pequeñas supone además que los errores siguen una distribución normal.
Una predicción dentro del intervalo observado de x, como 72,2 puntos para 7,5 horas, es la media ajustada para ese valor de x, no una nota garantizada. Fuera de ese intervalo la recta continúa sin límite: para 20 horas predice 111,1 puntos, imposible en un examen sobre 100. La calculadora avisa cuando el valor de x pedido queda fuera del intervalo de los datos.
Un polinomio de grado 2 a 4 añade los términos x², x³ y x⁴; una curva de grado d necesita al menos d + 1 valores distintos de x. Con exactamente d + 1 puntos, la curva pasa por todos ellos y no deja grados de libertad residuales, lo que no prueba que vaya a predecir bien.
El ajuste exponencial, y = a·e^(bx), ajusta una recta a ln y, por lo que todos los valores de y deben ser positivos. Para x de 0 a 5 e y = 3,0; 4,4; 6,7; 9,8; 14,9 y 22,1, el resultado es y = 2,98·e^(0,4007x). Cada unidad de x multiplica y por e^0,4007 = 1,493, un aumento del 49,3 %.
El R² exponencial, 0,99985, se refiere a ln y. Una recta ajustada a los mismos datos tiene R² = 0,924 en la escala original, así que los dos números miden cosas distintas y no se ordenan entre sí.
| Escenario | Ordenada en el origen | Pendiente | Predicción |
|---|---|---|---|
| Predeterminado | 48,890909 | 3,109091 | 72,209091 |
| Recta exacta | 1,000000 | 2,000000 | 9,000000 |
| Pendiente negativa | 11,800000 | -1,800000 | 11,800000 |
| x repetidos | 0,500000 | 2,000000 | 4,500000 |
«Predeterminado» es la recta de las horas de estudio evaluada en x = 7,5. «Recta exacta» usa los puntos (1, 3), (2, 5) y (3, 7) y predice en x = 4; como los tres puntos están alineados, R² = 1 y el error estándar residual es 0.
«Pendiente negativa» usa x de 1 a 5 con y = 10, 8, 7, 4 y 3 y predice en x = 0, donde la predicción coincide con la ordenada en el origen. «x repetidos» usa x = 1, 1, 2, 2, 3, 3 con y de 2 a 7 y predice en x = 2. Los valores repetidos de x no impiden el ajuste mientras queden al menos dos valores distintos.
Para medir directamente la intensidad de la relación, o hacerlo con rangos mediante el coeficiente de Spearman, usa la calculadora del coeficiente de correlación.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: Los puntos construidos (1, 3), (2, 5) y (3, 7) pertenecen exactamente a y = 1 + 2x; para x = 4, y = 9.
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: Datos construidos: y = 1 + x + x² + x³ + x⁴ exactamente, así que todos los coeficientes son 1 y R² = 1; 1 + 11 + 121 + 1331 + 14641 = 16105
Calcula las medias x̄ e ȳ, después la pendiente b₁ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² y el intercepto b₀ = ȳ − b₁x̄. En los datos iniciales de horas de estudio, Sxy = 256,5 y Sxx = 82,5, por lo que b₁ = 3,109 y b₀ = 48,89. Esta recta de mínimos cuadrados minimiza la suma de las distancias verticales al cuadrado, como explica el manual NIST/SEMATECH (§4.1.4.1).
R² es la fracción de la variación de y que explica el modelo: R² = 1 − SSE/SST. El ajuste inicial tiene R² = 0,9933, por lo que las horas de estudio explican el 99,3 % de la dispersión de las notas. Para una recta, R² coincide con el cuadrado de la correlación r. Un R² alto no demuestra que x cause y, que la forma del modelo sea correcta ni que las predicciones fuera de los datos sean válidas.
R² ajustado penaliza cada coeficiente adicional: 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k), donde k incluye el intercepto. R² nunca disminuye al añadir un término, así que un polinomio de grado 4 siempre ajusta al menos tan bien como uno de grado 2. R² ajustado disminuye si el nuevo término no compensa esa penalización. En los datos iniciales, n = 10 y k = 2 convierten R² = 0,99325 en 0,99241.
Contrasta la hipótesis nula de que la pendiente poblacional es 0, mediante t = b₁/SE(b₁) con n − 2 grados de libertad. En los datos iniciales, t = 3,109/0,0906 = 34,3 con 8 grados de libertad, y p = 5,7 × 10⁻¹⁰: una pendiente tan pronunciada sería muy improbable si las horas y las notas no tuvieran relación lineal. El valor p no indica la magnitud ni la importancia práctica del efecto.
Cuando y aumenta o disminuye en un porcentaje aproximadamente constante por cada unidad de x, de modo que ln y frente a x forma una recta. El ejemplo exponencial, donde y pasa de 3,0 a 22,1 mientras x pasa de 0 a 5, ajusta y = 2,98·e^(0,4007x), un aumento del 49,3 % por unidad de x. El ajuste se realiza sobre ln y, como en la función LOGEST de Excel, por lo que R² describe ln y en lugar de y.
Esta calculadora incluye 5 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.