t con 10 grados de libertad, P(T ≤ 2,1)
- Distribución
- t de Student
- Grados de libertad
- 10
- Calcular
- P(X ≤ x)
- Valor x
- 2,1
- Resultado
- 0,968961
- Complemento 1 − P
- 0,031039
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F
Calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F: áreas de cola, valores p, densidades y valores críticos; incluye las distribuciones exponencial y uniforme.
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Resultado
Resultado: 0,968961
- Complemento 1 − P
- 0,031039
- Media
- 0
- Varianza
- 1,25
El 96.8961 % de la distribución t de Student (ν = 10) queda en valores iguales o inferiores a 2.1.
P(X ≤ 2.1)
Cómo se calcula S
Distribución
t de Student (ν = 10)
Función de distribución acumulada
Área a la izquierda
Acerca de Calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F
Cada resultado se obtiene de la curva de densidad de una distribución continua: la probabilidad acumulada F(x) = P(X ≤ x), la cola superior, el área entre dos valores, la densidad o, en modo inverso, el valor x que deja un área dada a su izquierda. Para t de Student, χ² y F, las áreas se calculan mediante las funciones beta y gamma incompletas regularizadas, usando aritmética decimal de 50 dígitos. Las áreas exponencial y uniforme tienen expresiones cerradas.
Son distribuciones de referencia de pruebas habituales: t para medias, χ² para recuentos y varianzas, y F para ANOVA y regresión. La opción inicial, t con 10 grados de libertad, sitúa el 96,90 % del área por debajo de 2,1. Por tanto, un estadístico t de 2,1 tiene un valor p unilateral de 0,031.
Las tablas impresas redondean a tres o cuatro cifras y solo incluyen ciertos grados de libertad. Aquí puede usarse cualquier valor positivo, incluidos los grados de libertad fraccionarios de la prueba t de Welch.
Cómo obtener un valor crítico de t, chi-cuadrado o F
Un valor crítico es el punto que deja a su izquierda un área elegida. En un contraste t bilateral con nivel de significación α se toma el cuantil 1 − α/2; en uno unilateral, el cuantil 1 − α. Con 10 grados de libertad y α = 0,05, el cuantil 0,975 es 2,228, de modo que |t| > 2,228 es significativo.
Con sus valores iniciales, la calculadora responde a otra pregunta: qué parte de la distribución t con 10 grados de libertad queda en 2,1 o por debajo. El resultado es 0,968961, y el complemento, 0,031039.
Los contrastes chi-cuadrado y F rechazan solo en la cola derecha, así que su valor crítico es el cuantil 1 − α. Para α = 0,05 vale 18,307 en una chi-cuadrado con 10 grados de libertad y 2,711 en una F con 5 y 20.
Cómo obtener el valor p a partir de un estadístico
El valor p es el área de la cola situada más allá del estadístico observado, en el lado que indica la hipótesis alternativa:
- Contraste de cola derecha: P(X ≥ x)
- Contraste de cola izquierda: P(X ≤ x)
- Contraste t bilateral: 2 × P(T ≥ |t|)
Un t de 2,1 con 10 grados de libertad deja por debajo un área de 0,968961. La cola derecha es 0,031039, así que el valor p unilateral es 0,0310 y el bilateral, 0,0621.
Con α = 0,05, el contraste unilateral rechaza la hipótesis nula y el bilateral no. Por eso la cola se decide antes de ver los datos.
En chi-cuadrado y F, el valor p es solo la cola derecha. Una chi-cuadrado de 3,84 con 1 grado de libertad tiene p = 0,0500.
Valores críticos para α = 0,05
- t bilateral: 2,228 con 10 gl y 2,042 con 30 gl; se acerca al 1,960 de la normal a medida que crecen los grados de libertad.
- t unilateral: 1,812 con 10 gl.
- Chi-cuadrado con 1 gl: 3,841, o 6,635 con α = 0,01 y 2,706 con α = 0,10.
- Chi-cuadrado con 10 gl: 18,307.
- F: 2,711 para (5, 20) y 4,558 para (20, 5).
Grados de libertad de los contrastes habituales
- t para una muestra o para datos pareados: n − 1.
- t para dos muestras con varianza combinada: n₁ + n₂ − 2. El contraste de Welch da unos grados de libertad fraccionarios, que se usan tal cual.
- Bondad de ajuste chi-cuadrado: número de categorías − 1, y uno menos por cada parámetro estimado con los datos. Contraste de independencia: (filas − 1) × (columnas − 1).
- F del ANOVA de un factor: d₁ = k − 1 para k grupos y d₂ = N − k para N observaciones.
En la F importa el orden de los grados de libertad. d₁ corresponde a la varianza del numerador, y al intercambiarlos el cuantil 0,95 pasa de 2,711 a 4,558.
En qué se diferencia la t de la normal
La t de Student tiene colas más pesadas porque tiene en cuenta que la desviación estándar se estima con la muestra. Con 5 grados de libertad, el 10,2 % del área queda más allá de ±2, frente al 4,55 % de la normal estándar.
Las colas se adelgazan al aumentar los grados de libertad. Con 1 gl, la t es la distribución de Cauchy y no tiene media; con 2 gl o menos no tiene varianza finita. Por encima de 2 gl, la varianza es gl ÷ (gl − 2), que vale 1,25 con 10 gl (NIST). La calculadora deja vacíos la media y la varianza cuando no existen.
Forma de la chi-cuadrado y de la F
Los valores de una chi-cuadrado nunca son negativos y la curva es asimétrica hacia la derecha. Su media es igual a los grados de libertad y su varianza al doble, es decir, 10 y 20 con 10 gl (NIST).
La F es el cociente de dos estimaciones de la varianza. Su media es d₂ ÷ (d₂ − 2) cuando d₂ > 2, que vale 1,111 para (5, 20), y su varianza solo es finita cuando d₂ > 4 (NIST).
Distribuciones exponencial y uniforme
La distribución exponencial modela tiempos de espera con una tasa constante λ: P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx). Con 0,5 llegadas por minuto, la probabilidad de esperar como mucho 2 minutos es 1 − e^(−1) = 0,632121.
La espera media es 1/λ = 2 minutos y la mediana, ln 2 ÷ λ = 1,386 minutos. La tasa y x deben usar la misma unidad de tiempo: una tasa por hora da tiempos de espera en horas.
La distribución uniforme reparte la probabilidad por igual entre a y b, así que la probabilidad de un intervalo es la fracción de la anchura que ocupa. Entre 0 y 10, P(2 ≤ X ≤ 5) = 3/10 = 0,3. La media es el punto medio, 5, y la varianza es (b − a)² ÷ 12 = 8,33.
Resultados de referencia
| Distribución y parámetros | Consulta | Resultado |
|---|---|---|
| t, 10 gl | P(X ≤ 2,1) | 0,968961 |
| t, 10 gl | Área de cola izquierda 0,975 | 2,228139 |
| Chi-cuadrado, 10 gl | Área de cola izquierda 0,95 | 18,307038 |
| F, d₁ = 5, d₂ = 20 | Área de cola izquierda 0,95 | 2,710890 |
| Exponencial, tasa 0,5 | P(X ≤ 2) | 0,632121 |
| Uniforme, de 0 a 10 | P(2 ≤ X ≤ 5) | 0,300000 |
Las filas de «Área de cola izquierda» son búsquedas inversas: su resultado es un valor de X, no una probabilidad.
Áreas, densidades y búsquedas inversas
- P(X ≤ x) y P(X < x) coinciden en una distribución continua, porque un punto aislado tiene probabilidad cero.
- La densidad f(x) es la altura de la curva, no una probabilidad, y puede ser mayor que 1. La exponencial con λ = 2 tiene densidad 2 en x = 0.
- Una búsqueda inversa recibe un área de cola izquierda estrictamente entre 0 y 1, de 0,0000000001 a 0,9999999999, y devuelve x.
- Los grados de libertad pueden ser fraccionarios, como los que produce el contraste t de Welch.
Errores que cambian el resultado
- Introducir α en lugar de 1 − α. Un área de cola izquierda de 0,05 con 10 gl devuelve −1,812, el valor crítico inferior, en vez del superior, 1,812.
- Duplicar la cola de una chi-cuadrado o una F. Los contrastes de bondad de ajuste, de independencia y el ANOVA son de cola derecha, así que el área superior por sí sola es el valor p.
- Pasar a un contraste unilateral después de ver los datos. En la t, eso divide el valor p entre dos sin ninguna evidencia nueva.
Para calcular t a partir de los datos o de estadísticos resumidos, usa la calculadora de pruebas t y z. Las tablas de recuentos van en la calculadora de la prueba chi-cuadrado, y la comparación de varias medias en la calculadora ANOVA de un factor.
Ejemplos resueltos
Valor crítico t, 10 grados de libertad, 0,975
- Distribución
- t de Student
- Grados de libertad
- 10
- Calcular
- x para un área de cola izquierda (valor crítico)
- Área de cola izquierda p
- 0,975
- Resultado
- 2,228139
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla t (manual NIST §1.3.6.7.2): 2,228; bisección sobre la expresión cerrada de A&S da 2,2281388520
Valor crítico χ², 10 grados de libertad, 0,95
- Distribución
- Chi-cuadrado χ²
- Grados de libertad
- 10
- Calcular
- x para un área de cola izquierda (valor crítico)
- Área de cola izquierda p
- 0,95
- Resultado
- 18,307038
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla χ² (manual NIST §1.3.6.7.4): 18,307; bisección sobre la expresión cerrada A&S 26.4.5 da 18,3070380533
Valor crítico F (5, 20), 0,95
- Distribución
- F
- Grados de libertad del numerador d₁
- 5
- Grados de libertad del denominador d₂
- 20
- Calcular
- x para un área de cola izquierda (valor crítico)
- Área de cola izquierda p
- 0,95
- Resultado
- 2,71089
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla F (manual NIST §1.3.6.7.3): 2,71; bisección sobre la expresión cerrada A&S 26.6.5 da 2,7108898372
Preguntas
¿Cómo se obtiene un valor crítico t?
Elige t de Student, introduce los grados de libertad, selecciona «x para un área de cola izquierda» e introduce 1 − α/2 para una prueba bilateral o 1 − α para una unilateral. Con 10 grados de libertad y α = 0,05 bilateral, p = 0,975 da 2,228, el valor de la tabla t del manual NIST/SEMATECH (§1.3.6.7.2). Al aumentar los grados de libertad, se aproxima al valor normal 1,960; con 30 es 2,042.
¿Cómo se obtiene un valor p a partir de un estadístico t?
Calcula el área de cola más allá del estadístico: P(T ≥ t) para una prueba de cola derecha, P(T ≤ t) para una de cola izquierda y dos veces la cola más allá de |t| para una bilateral. Una t de 2,1 con 10 grados de libertad da P(T ≥ 2,1) = 0,0310, así que el valor p bilateral es 0,0621, superior a 0,05. Es la probabilidad de un estadístico al menos tan extremo bajo la hipótesis nula, no la probabilidad de que esa hipótesis sea verdadera.
¿Cuál es el valor crítico chi-cuadrado con 1 grado de libertad?
3,841 para α = 0,05; 6,635 para α = 0,01; y 2,706 para α = 0,10, todos de cola superior. Con 10 grados de libertad, el valor al 5 % es 18,307, como en la tabla χ² de NIST/SEMATECH (§1.3.6.7.4). Para obtenerlos, elige chi-cuadrado, selecciona «x para un área de cola izquierda» e introduce 1 − α, por ejemplo 0,95.
¿Por qué la distribución F tiene dos grados de libertad?
Un estadístico F es el cociente de dos estimaciones de varianza, cada una con sus grados de libertad: d₁ para el numerador y d₂ para el denominador. En un ANOVA de un factor con k grupos y N observaciones, d₁ = k − 1 y d₂ = N − k. El orden importa: el valor crítico al 5 % para (5, 20) es 2,711, pero para (20, 5) es 4,558.
¿En qué se diferencia la distribución t de la normal?
Tiene colas más pesadas porque incorpora la incertidumbre de estimar la desviación estándar a partir de la muestra. Con 5 grados de libertad, el 10,2 % del área queda fuera de ±2, frente al 4,6 % de la normal estándar. La diferencia disminuye al aumentar los grados de libertad: el valor crítico bilateral al 5 % es 2,228 con 10 grados, 2,042 con 30 y 1,960 para la normal.
Acerca de esta calculadora
Fuentes
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6 Gallery of distributions and §1.3.6.7 critical value tables
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chapter 26 (t, χ², F probability integrals)
Verificado con las referencias
Esta calculadora incluye 9 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.