Calculadora de bonos: precio, rendimiento y duración
Calcula el precio de un bono a partir del rendimiento al vencimiento, o el rendimiento desde su precio, con rendimiento corriente, duración y convexidad.
Decimales: 2; Al más cercano; empates al dígito par
Rendimiento al vencimiento anual equivalente de bono
6%
Rendimiento anual efectivo
6,09%
Rendimiento corriente
5,4%
Precio como porcentaje del nominal
92,56%
Duración de Macaulay
7,895años
Duración modificada
7,665años
Convexidad
71,7854años²
Cambio del precio por 0,01 puntos porcentuales de rendimiento
$0,71
Con rendimiento del 6%, el bono vale $925,61, con descuento respecto a su nominal de $1 000,00. Subir el rendimiento un punto porcentual reduciría el precio aproximadamente un 7,67% según la duración modificada.
Se valora en una fecha de cupón: no hay interés devengado y el precio limpio coincide con el precio total.
Duración de Macaulay
Dmac=P⋅21t=1∑20(1+y)tt⋅CFt=7.894997years
Duración modificada
Dmod=1+yDmac=1.037.894997=7.665046
Convexidad
C=P(1+y)2221t=1∑20(1+y)tt(t+1)CFt=71.785398
Convexidad de Fabozzi en años². Un cambio del rendimiento se aproxima mediante −D_mod × Δy + ½ C × Δy², expresando Δy como valor decimal.
Acerca de Calculadora de bonos: precio, rendimiento y duración
El precio de un bono suma el valor actual de sus cupones y nominal, descontados al rendimiento por periodo. Con pagos semestrales, un cupón anual del 5% sobre 1000 paga 25 cada seis meses y la tasa anual se divide entre dos según la convención equivalente de bono. Resolver la misma ecuación para la tasa permite calcular el rendimiento desde un precio. La duración pondera los plazos por sus valores actuales; la duración modificada y la convexidad describen la sensibilidad del precio.
Con los valores iniciales, un bono a diez años, nominal 1000, cupón del 5% y pagos semestrales vale 925,61 al descontar a un rendimiento anual del 6%. Cotiza por debajo del nominal porque el cupón es menor que el rendimiento. La duración de Macaulay es de 7,895 años y la modificada de 7,665; un aumento de 0,01 puntos porcentuales del rendimiento reduce el precio aproximadamente en 0,71.
Se supone liquidación en una fecha de cupón, sin interés devengado. No se modelan riesgo de impago, amortización anticipada o impuestos.
Calcula un precio o un rendimiento con el mismo calendario de cupones
La calculadora de bonos tiene dos modos. Puedes calcular el precio a partir del rendimiento al vencimiento, o buscar el rendimiento que corresponde a un precio de mercado. Ambos modos descuentan los cupones y el principal según el número de pagos por año que introduces.
El ejemplo inicial utiliza un valor nominal de 1000, cupón anual del 5%, vencimiento a diez años y dos cupones por año. Con un rendimiento al vencimiento del 6% anual, el precio calculado es aproximadamente 925,61. Cada cupón semestral es de 25, y el principal de 1000 se devuelve junto al último cupón.
El precio queda por debajo del nominal porque el cupón del 5% es menor que el rendimiento del 6% utilizado para descontar. Esa relación describe los pagos del modelo. La página no descarga una cotización ni evalúa si el emisor podrá cumplir sus obligaciones.
Introduce tasas anuales y una frecuencia compatible con el plazo
El valor nominal es la cantidad que el modelo devuelve al vencimiento. El cupón anual, como porcentaje de ese nominal, determina los pagos de intereses. Un cupón del 5% sobre 1000 equivale a 50 al año, repartidos entre los pagos seleccionados.
La frecuencia puede ser anual, semestral, trimestral o mensual: uno, dos, cuatro o doce pagos por año. Escribe los años restantes hasta el vencimiento de manera que el número de periodos resulte entero. Por ejemplo, 2,5 años con pagos semestrales representan cinco periodos; con pagos anuales, ese mismo plazo no describe un número entero de cupones y genera un error.
En el modo de precio a partir del rendimiento, introduce el rendimiento anual indicado por el modelo. La página lo divide por el número de cupones para obtener la tasa por periodo. Con rendimiento anual del 6% y frecuencia semestral, el descuento es del 3% por semestre.
En el modo inverso, introduce un precio de mercado positivo en las mismas unidades que el nominal. El cálculo busca la tasa que reproduce ese precio. No hay campos de fecha de liquidación, interés devengado, comisiones o impuestos. No pegues un precio por cada 100 de nominal como si fuera el importe de un bono de nominal 1000: primero conserva una escala coherente.
El precio como porcentaje del nominal ayuda a revisar esa escala. Un precio de 925,61 para nominal 1000 equivale aproximadamente al 92,561%. La moneda seleccionada identifica los importes mostrados; no modifica el calendario ni convierte una cotización de otro mercado.
Sigue el descuento de cupones y principal
Cada cupón se divide por (1 + rendimiento por periodo)^t, donde t indica cuántos periodos faltan para su pago. El nominal se descuenta hasta el último periodo. El precio es la suma de esos valores actuales.
En el ejemplo inicial hay veinte cupones semestrales. Sus valores actuales suman aproximadamente 371,94 y el valor actual del nominal es 553,68. La suma calculada con precisión completa se redondea a 925,61; sumar únicamente importes visibles ya redondeados puede producir una diferencia de un céntimo.
La siguiente tabla conserva nominal 1000, cupón del 5%, plazo de diez años y pagos semestrales. Solo cambia el rendimiento anual.
Rendimiento anual (%)
Precio calculado
4
1081,76
6
925,61
7
857,88
Con rendimiento del 5%, igual al cupón, el precio sería 1000. Un rendimiento menor aumenta el valor actual de los pagos y produce una prima sobre el nominal. Un rendimiento mayor reduce su valor actual y produce un descuento. Esta comparación mantiene los pagos fijos; no intenta explicar cualquier movimiento observado en un mercado real.
Distingue los tres rendimientos mostrados
El rendimiento al vencimiento resume la tasa de descuento que iguala los pagos modelados con el precio. La salida anual equivalente de bono multiplica la tasa por periodo por el número de pagos anuales. La rentabilidad anual efectiva aplica capitalización: (1 + tasa por periodo)^frecuencia − 1.
Por eso, una tasa nominal anual del 6% con dos periodos del 3% corresponde a una tasa efectiva del 6,09%. Son convenciones de presentación diferentes, no dos precios distintos. Identifica la convención antes de comparar el resultado con otra calculadora o un documento del emisor.
El rendimiento corriente divide el cupón anual por el precio. En el ejemplo, 50 dividido entre 925,61 da aproximadamente un 5,4018%. Esa medida no incorpora por sí sola el aumento del precio hasta el nominal ni el calendario completo. El rendimiento al vencimiento y el rendimiento corriente responden a preguntas distintas.
Interpreta duración, convexidad y DV01 como sensibilidades
La duración de Macaulay pondera el tiempo de cada pago por su valor actual. En el ejemplo inicial es aproximadamente 7,895 años. No significa que el bono venza en esa fecha: el vencimiento sigue siendo de diez años.
La duración modificada, aproximadamente 7,665, mide la sensibilidad local del precio al rendimiento. Un aumento de un punto porcentual, desde el 6% al 7%, sugiere una caída aproximada del 7,665% usando solo esa medida. El cambio exacto del precio, de 925,61 a 857,88, es una caída del 7,32%. La convexidad ayuda a describir la curvatura que explica parte de la diferencia.
DV01 expresa el cambio aproximado del precio para un punto básico, que equivale a 0,01 puntos porcentuales. Con el ejemplo, un pequeño aumento desde el 6% al 6,01% sugiere una reducción de unos 0,71 en las unidades de precio utilizadas. No confundas un punto básico con un punto porcentual: sus magnitudes difieren por un factor de cien.
Estas sensibilidades son aproximaciones alrededor del rendimiento calculado. Para un cambio grande, recalcula el precio con la nueva tasa y compara ambos resultados. La calculadora de valor temporal del dinero permite revisar otros calendarios de descuento.
Conserva los límites del modelo al guardar el resultado
La liquidación se supone en una fecha de cupón, por lo que no se añade interés devengado. No se modelan impago, amortización anticipada, opciones incorporadas, tipos variables o impuestos. Un bono real puede necesitar un calendario y una convención de días más detallados.
La tabla muestra cada cupón, el principal final y sus valores actuales. Descárgala para revisar el cálculo junto a frecuencia, nominal, plazo y tasas. Si aparece un aviso de búsqueda aproximada o rendimiento negativo, consérvalo también. La documentación de duración de Microsoft incluye fechas y bases de cómputo que esta página no solicita; sus ejemplos solo son comparables cuando las convenciones coinciden.
Ejemplos resueltos
Bono a diez años, cupón del 5% semestral y rendimiento del 6%
Qué calcular
Precio a partir del rendimiento
Valor nominal
1000
Tasa anual del cupón
5%
Años hasta el vencimiento
10 años
Cupones por año
Semestral
Rendimiento anual al vencimiento
6%
Precio
925,61
Duración de Macaulay
7,894997 años
Duración modificada
7,665046 años
Convexidad
71,785398 años²
Rendimiento corriente
5,401828%
Fuente de comprobación: convexidad de Fabozzi Σt(t+1)PV/((1+y)²·P·f²); rendimiento corriente 50/925,6126 = 5,4018278%.
Ejemplo DURATION de Microsoft
Qué calcular
Precio a partir del rendimiento
Valor nominal
100
Tasa anual del cupón
8%
Años hasta el vencimiento
29,5 años
Cupones por año
Semestral
Rendimiento anual al vencimiento
9%
Duración de Macaulay
10,919145 años
Duración modificada
10,448943 años
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Ejemplo MDURATION de Microsoft
Qué calcular
Precio a partir del rendimiento
Valor nominal
100
Tasa anual del cupón
8%
Años hasta el vencimiento
8 años
Cupones por año
Semestral
Rendimiento anual al vencimiento
9%
Duración modificada
5,73567 años
Precio
94,38
Fuente de comprobación: Comprobación: ejemplo MDURATION de Microsoft, desde 2008-01-01 hasta 2016-01-01, con liquidación en fecha de cupón: 5,73567
Bono a la par: cupón y rendimiento coinciden
Qué calcular
Precio a partir del rendimiento
Valor nominal
1000
Tasa anual del cupón
6%
Años hasta el vencimiento
10 años
Cupones por año
Semestral
Rendimiento anual al vencimiento
6%
Precio
1 000,00
Precio como porcentaje del nominal
100%
Fuente de comprobación: Comprobación: un bono cuyo cupón y rendimiento coinciden se valora a la par, por definición.
Preguntas
¿Cómo se calcula el precio de un bono?
Descuenta cada cupón y el nominal a la tasa por periodo y suma sus valores. Un bono a diez años que paga 25 cada semestre, al 6% anual equivalente al 3% por semestre, tiene unos cupones valorados en 371,94 y un nominal valorado en 1000 ÷ 1,03^20 = 553,68. Con precisión completa, el total se redondea a 925,61. PV(3%, 20, -25, -1000) de Excel reproduce el precio.
¿Qué diferencia hay entre rendimiento al vencimiento y rendimiento corriente?
El rendimiento corriente divide el cupón anual por el precio. El rendimiento al vencimiento también tiene en cuenta el nominal final y el calendario de pagos. Con cupón anual de 50 y precio de 925,61, el rendimiento corriente es aproximadamente 5,40%, mientras que el rendimiento al vencimiento del modelo es del 6%, pues incluye la devolución del nominal de 1000.
¿Por qué baja el precio de un bono cuando suben los rendimientos?
Con pagos fijos, una tasa mayor reduce sus valores actuales. El bono inicial vale 1081,76 al 4%, 1000 al 5%, 925,61 al 6% y 857,88 al 7%. Si rendimiento y cupón coinciden, el precio es el nominal; con mayor rendimiento queda por debajo del nominal, y con menor rendimiento queda por encima.
¿Qué indica la duración de un bono?
La duración modificada aproxima la sensibilidad del precio a un cambio pequeño del rendimiento. Con duración de 7,665, subir del 6% al 7% sugiere una caída aproximada del 7,67%; el cálculo exacto pasa de 925,61 a 857,88, una caída del 7,32%. La convexidad describe parte de esa curvatura. La duración de Macaulay, 7,895 años, pondera el tiempo de los flujos por su valor actual.
¿Con qué frecuencia pagan intereses los Treasury Notes y Bonds estadounidenses?
Cada seis meses. TreasuryDirect describe notas con plazos de 2, 3, 5, 7 y 10 años, y bonos de 20 y 30 años, ambos con intereses semestrales. La página utiliza dos cupones anuales inicialmente; selecciona otra frecuencia si el instrumento que modelas paga de forma anual, trimestral o mensual.
Fabozzi — Bond Markets, Analysis, and Strategies, ch. 2 and 4 (pricing, duration, convexity)
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