Inversa de la matriz 3 × 3 inicial
- Calcular
- Inversa de A
- Matriz A
- 2 1 1 1 3 2 1 0 0
- Resultado
- [0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
- det A
- -1
Fuente de comprobación: determinante por desarrollo de cofactores = −1
Calculadora de matrices
Determinante, inversa, rango y forma escalonada reducida de una matriz de hasta 6 × 6, con cada operación de fila, además de transpuesta, producto y suma en fracciones exactas.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 8
Resultado
[0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
Resultado: [0, 0, 1; −2, 1, 3; 3, −1, −5]
- det A
- −1
- rango A
- 3
- traza A
- 5
A es invertible (det A = −1); la inversa deshace la transformación de A, por lo que A × A⁻¹ es la matriz identidad.
A⁻¹
A⁻¹
| Columna 1 | Columna 2 | Columna 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Cómo se calcula S
Escribir [A | I]
Columna 1
Columna 2
Columna 3
La mitad derecha es la inversa
Comprobación: A × A⁻¹ = I.
Acerca de Calculadora de matrices
La calculadora trabaja con matrices de hasta 6 × 6 usando fracciones exactas. La inversa y la forma escalonada reducida se obtienen por Gauss–Jordan: se reduce [A | I] por filas hasta que la mitad izquierda es la identidad; entonces la mitad derecha es A⁻¹. El determinante es el producto de los pivotes de la eliminación hacia delante, con un cambio de signo por cada intercambio de filas; el rango es el número de pivotes; y los elementos de un producto son (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ.
Los usos habituales incluyen cursos de álgebra lineal, transformaciones de gráficos 3D y sistemas de ecuaciones. La matriz inicial [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0] tiene determinante −1, por lo que es invertible; su inversa [0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5] tiene elementos enteros.
Escribe una fila por línea, con elementos separados por espacios o comas; las fracciones como 1/2 se mantienen exactas. Para decimales utiliza un punto, ya que la coma separa elementos. Una matriz cuadrada con determinante 0 es singular: no tiene inversa y su rango es menor que su tamaño.
Calcular con matrices numéricas y fracciones exactas
Elige la operación e introduce Matriz A y, cuando corresponda, Matriz B. Separa las filas mediante saltos de línea o puntos y coma, y las entradas de cada fila con espacios o comas. Las fracciones como 1/2 permanecen exactas. Se admiten matrices de hasta 6 × 6. Las operaciones disponibles incluyen determinante, inversa, rango, forma escalonada reducida, transposición, multiplicación, suma y resta.
El resultado escribe una matriz como [fila; fila]. Las salidas adicionales incluyen determinante, rango y traza de A cuando corresponden. Para una matriz rectangular no se muestran determinante ni traza. Una tabla permite consultar las entradas de resultados matriciales; los pasos de eliminación muestran las operaciones por filas y el dibujo destaca la matriz o sus pivotes. La matriz inicial tiene determinante −1 y una inversa con entradas enteras.
Multiplicación y orden de las matrices
Cada entrada de AB se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los productos. El número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B. Una matriz 2 × 3 por otra 3 × 2 produce una 2 × 2. En cambio, para sumar o restar, ambas matrices deben tener exactamente las mismas dimensiones. Entonces se opera entre entradas de posiciones correspondientes.
Con A = [1 2; 3 4] y B = [5 6; 7 8], la primera entrada de AB es 1×5 + 2×7 = 19. El producto completo es [19 22; 43 50]. Si inviertes el orden, BA es [23 34; 31 46]. Ambos existen en este ejemplo, pero son distintos. En otras dimensiones, incluso podría existir solo uno de los dos productos. Mantén el orden indicado por el ejercicio.
| Operación | A | B | Resultado |
|---|---|---|---|
| Multiplicar | [1, 2; 3, 4] | [5, 6; 7, 8] | [19, 22; 43, 50] |
| Multiplicar | [5, 6; 7, 8] | [1, 2; 3, 4] | [23, 34; 31, 46] |
| Inversa | [4, 7; 2, 6] | — | [3/5, −7/10; −1/5, 2/5] |
| Transponer | [1, 2, 3; 4, 5, 6] | — | [1, 4; 2, 5; 3, 6] |
| Restar | [1/2, 1; 0, 2] | [1/3, 1; 1, 0] | [1/6, 0; −1, 2] |
| Sumar | [1, 2; 3, 4] | [5, 6; 7, 8] | [6, 8; 10, 12] |
La transposición intercambia filas y columnas: una matriz 2 × 3 pasa a ser 3 × 2. No es la misma operación que invertir una matriz. Si necesitas continuar con un resultado racional exacto, copia las fracciones del resultado en vez de sustituirlas por decimales redondeados. También conserva la separación entre filas al reutilizarlo; una lista plana de entradas no mantiene por sí sola la forma de la matriz.
Inversa de una matriz de dos por dos
Para A = [a b; c d], el determinante es ad − bc. Si es distinto de cero, A⁻¹ = [d −b; −c a]/(ad − bc). Para [4 7; 2 6], el determinante vale 10 y la inversa es [3/5 −7/10; −1/5 2/5]. Multiplicar la matriz original por esa inversa devuelve la identidad [1 0; 0 1]. Esa identidad es una comprobación directa del resultado.
El material del MIT sobre determinantes e inversas explica la relación con los cofactores. La herramienta calcula inversas reduciendo por filas la matriz ampliada [A | I]. Si el determinante es cero, A es singular y no tiene inversa. Solicitar una inversa de una matriz singular o rectangular produce un error; su rango o su forma escalonada reducida pueden seguir siendo calculables.
Menores y cofactores
Para calcular Cᵢⱼ, elimina la fila i y la columna j, calcula el determinante de la matriz menor y multiplícalo por (−1)ⁱ⁺ʲ. Los signos alternan como un tablero que comienza con más arriba a la izquierda. El menor es una matriz; el cofactor es el número obtenido de su determinante con signo. La matriz de cofactores reúne esos números en sus posiciones originales; su transpuesta es la adjunta.
La tabla usa A = [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0]. Introduce cada menor mediante la operación de determinante y aplica después el signo indicado. La herramienta calcula el determinante que le suministras; no deduce de qué posición de una matriz mayor salió ese menor. Por eso el cálculo de cofactores requiere estos pasos explícitos y no corresponde a un selector separado del menú.
| Posición (i,j) | Menor | Determinante del menor | Signo | Cofactor |
|---|---|---|---|---|
| 1,1 | [3, 2; 0, 0] | 0 | + | 0 |
| 1,2 | [1, 2; 1, 0] | −2 | − | 2 |
| 1,3 | [1, 3; 1, 0] | −3 | + | −3 |
| 2,1 | [1, 1; 0, 0] | 0 | − | 0 |
| 2,2 | [2, 1; 1, 0] | −1 | + | −1 |
| 2,3 | [2, 1; 1, 0] | −1 | − | 1 |
| 3,1 | [1, 1; 3, 2] | −1 | + | −1 |
| 3,2 | [2, 1; 1, 2] | 3 | − | −3 |
| 3,3 | [2, 1; 1, 3] | 5 | + | 5 |
La matriz de cofactores es [0 2 −3; 0 −1 1; −1 −3 5]. Al transponerla y dividir entre det A = −1, se obtiene [0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5], que coincide con la inversa directa. Confundir la matriz de cofactores con su transpuesta alteraría esa relación. Comprueba tanto los signos alternos como la orientación de las filas antes de dividir por el determinante.
Traza, rango y sistemas ampliados
La traza suma la diagonal de una matriz cuadrada. En el ejemplo es 2 + 3 + 0 = 5. Se devuelve como salida adicional sin necesitar un selector propio. El rango cuenta filas o columnas independientes y no puede superar la menor dimensión. La forma escalonada reducida, también conocida como RREF, permite localizar los pivotes y las filas que dependen de otras.
Para un sistema lineal, coloca las constantes en la última columna. [1 1 3; 1 −1 1] se reduce a [1 0 2; 0 1 1], que representa x = 2 e y = 1. En cambio, [1 1 3; 2 2 6] se reduce a [1 1 3; 0 0 0], compatible con infinitas soluciones x + y = 3. Una fila [0 0 1] representa una contradicción.
La calculadora matricial no distingue automáticamente un bloque de coeficientes de una columna de constantes ni asigna nombres de incógnitas. Interpreta la disposición ampliada o utiliza el solucionador de sistemas lineales. Las fracciones exactas evitan redondear un pivote pequeño a cero; las entradas irracionales se representan mediante sus valores decimales calculados y generan una advertencia. Corrige filas incompletas, dimensiones incompatibles o tamaños excesivos antes de utilizar cualquier resultado.
Ejemplos resueltos
Inversa de [4 7; 2 6]
- Calcular
- Inversa de A
- Matriz A
- 4 7 2 6
- Resultado
- [3/5, −7/10; −1/5, 2/5]
- det A
- 10
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: (1/(ad − bc))·[d −b; −c a] = (1/10)·[6 −7; −2 4]
Determinante de la matriz 3 × 3 inicial
- Calcular
- Determinante de A
- Matriz A
- 2 1 1 1 3 2 1 0 0
- Resultado
- −1
- det A
- -1
- traza A
- 5
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: desarrollo de cofactores: 2·0 − 1·(0 − 2) + 1·(0 − 3) = −1
Rango de una matriz singular (caso límite)
- Calcular
- Rango de A
- Matriz A
- 1 2 3 2 4 6 1 1 1
- Resultado
- 2
- rango A
- 2
- det A
- 0
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: fila 2 = 2 × fila 1
Preguntas
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?
Escribe A junto a la matriz identidad, [A | I], y realiza operaciones por filas hasta convertir la mitad izquierda en I; la derecha será A⁻¹. Para una matriz 2 × 2 [a b; c d] hay un atajo: A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × [d −b; −c a]. Para [4 7; 2 6], ad − bc = 24 − 14 = 10, por lo que A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5].
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3 × 3?
Desarrolla por una fila o columna: multiplica cada elemento por el determinante de su menor 2 × 2 y alterna los signos. Para [2 1 1; 1 3 2; 1 0 0], la última fila es la más rápida porque tiene dos ceros: det = 1 × (1 × 2 − 1 × 3) = −1. En matrices mayores, la reducción por filas obtiene el mismo resultado con muchas menos operaciones.
¿Cuándo no tiene inversa una matriz?
Cuando su determinante es 0, lo que sucede exactamente si una fila o columna es combinación de las otras. En [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1], la fila 2 es el doble de la fila 1, por lo que el rango es 2 en lugar de 3 y el determinante es 0. La matriz se llama singular, y un sistema Ax = b construido con ella no tiene solución o tiene infinitas.
¿Cómo se multiplican dos matrices?
Cada elemento de AB es la suma de los productos de una fila de A por una columna de B: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ. Para [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8], el elemento superior izquierdo es 1 × 5 + 2 × 7 = 19 y el producto es [19 22; 43 50]. A debe tener tantas columnas como filas tenga B, y el orden importa: aquí BA = [23 34; 31 46].
¿Qué es la forma escalonada reducida por filas?
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (RREF) si cada fila no nula empieza con un 1, ese 1 es el único elemento no nulo de su columna, los unos iniciales avanzan hacia la derecha al bajar y las filas nulas quedan al final. Cada matriz tiene una única RREF, y su número de unos iniciales es el rango. En una matriz ampliada se lee la solución: [1 0 0 −8; 0 1 0 1; 0 0 1 −2] indica x = −8, y = 1, z = −2.
Acerca de esta calculadora
Fuentes
- Wikipedia — Gaussian elimination (row reduction and the RREF example)
- Wolfram MathWorld — Matrix Inverse
- G. Strang, Introduction to Linear Algebra (5th ed.), chapters 2–3
Verificado con las referencias
Esta calculadora incluye 8 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.