Calculadora de semivida: cantidad restante, cantidad inicial, tiempo transcurrido o semivida a partir de N = N₀·2^(−t/t½), con valores predefinidos para el carbono-14 y otros isótopos.
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Carbono-14: tras 1 semivida (5 700 años) queda el 50 %, 50 de 100.
El material radiactivo se desintegra de forma exponencial: tras cada semivida t½ queda la mitad de los núcleos que había, así que N = N₀·2^(−t/t½), o N₀e^(−λt) con la constante de desintegración λ = ln 2/t½. Introduce tres de estos valores (cantidad inicial, cantidad restante, tiempo transcurrido y semivida) para obtener el cuarto, junto con la fracción restante, el número de semividas y la vida media 1/λ.
El valor predeterminado, 100 g de carbono-14 tras 5700 años, deja 50 g: una semivida. La datación por radiocarbono aplica la misma ecuación al revés, así que una muestra con el 25 % del carbono-14 de un tejido vivo tiene dos semividas, es decir, 11 400 años. Al cabo de 30 días queda el 7,49 % de una dosis de yodo-131.
Las semividas proceden de la base de datos NuDat 3 del NNDC. Las cantidades pueden ir en cualquier unidad (gramos, átomos, becquerelios o porcentaje) siempre que ambas usen la misma. Las edades de radiocarbono publicadas usan por convenio la semivida de Libby de 5568 años y después se calibran, por lo que difieren de este cálculo directo.
Se multiplica la cantidad inicial por ½ por cada semivida que pasa: N = N₀ × 2^(−t/t½). El carbono-14 tiene una semivida de 5700 años, así que el valor predeterminado de la calculadora, 100 g, se queda en 50 g al cabo de 5700 años y en 25 g al cabo de 11 400 años. La fórmula sirve para cualquier isótopo aislado, en gramos, átomos o becquerelios.
La calculadora despeja cualquiera de las cuatro magnitudes (cantidad restante, cantidad inicial, tiempo transcurrido o semivida) a partir de las otras tres. También da la fracción restante, el número de semividas transcurridas, la constante de desintegración y la vida media, e incluye semividas predefinidas para doce isótopos.
Cada semivida reduce a la mitad lo que queda, así que la fracción restante tras n semividas es (½)ⁿ:
El exponente puede ser cualquier número. El yodo-131 tiene una semivida de 8,0252 días, así que 30 días son 30 ÷ 8,0252 = 3,738 semividas, y 2^(−3,738) deja el 7,49 % de una dosis.
La fórmula se reordena con logaritmos:
Si calculas a mano, expresa la semivida y el tiempo transcurrido en la misma unidad. Las dos cantidades solo tienen que compartir unidad entre sí, porque la fórmula usa su cociente. La calculadora rechaza una cantidad restante igual o mayor que la inicial, ya que la desintegración solo la reduce.
La constante de desintegración λ = ln 2 ÷ t½ es la probabilidad por unidad de tiempo de que un núcleo dado se desintegre. La misma curva puede escribirse N = N₀e^(−λt). Para el carbono-14, λ = 3,85 × 10⁻¹² por segundo.
La actividad, el ritmo de desintegración en becquerelios, es A = λN. Disminuye en la misma proporción que el número de núcleos, y por eso la tasa de recuento de un contador Geiger puede sustituir a la cantidad.
La vida media τ = 1/λ = t½ ÷ ln 2 equivale a unas 1,4427 semividas. Es el tiempo promedio que sobrevive un núcleo; tras una vida media queda el 36,8 % de la muestra, frente al 50 % tras una semivida. Para el carbono-14 son 8223 años. En español conviene no confundir los dos términos: la semivida es el tiempo en que se desintegra la mitad, y la vida media es ese promedio.
El capítulo de desintegración de OpenStax deduce estas relaciones.
Estas semividas evaluadas proceden de NuDat 3 del NNDC, en el Laboratorio Nacional de Brookhaven:
Una semivida corta desaparece deprisa: un día después de una dosis para diagnóstico por imagen queda el 6,27 % del tecnecio-99m. El cesio-137 persiste: al cabo de un siglo sigue presente el 9,98 % de una muestra.
Las edades de radiocarbono publicadas usan por convenio la semivida de Libby, 5568 años, y después se calibran. Con el 25 % del carbono-14 restante, el valor de 5700 años da 11 400 años y el de Libby, 11 136 años.
Los libros de texto antiguos usan 5730 años, con lo que la misma muestra tendría 11 460 años. Indica siempre la semivida junto a cualquier edad que publiques.
El valor predeterminado son 100 unidades de carbono-14 al cabo de 5700 años, y dos semividas es la misma muestra al cabo de 11 400 años. El tiempo transcurrido busca la edad cuando quedan 25 de 100 unidades, y la semivida medida usa 100 unidades que bajan a 25 en diez días.
| Escenario | Resultado seleccionado |
|---|---|
| Predeterminado | quedan 50 unidades |
| Dos semividas | quedan 25 unidades |
| Tiempo transcurrido | 11400 años |
| Semivida medida | 5 días |
La misma regla de reducción a la mitad describe cómo elimina el cuerpo la cafeína, y la calculadora de semivida de la cafeína la aplica a cada dosis. Para la luz de objetos lejanos, la calculadora de astronomía calcula los tiempos de recorrido.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: definición de semivida (t½ = 5700 y, NNDC)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: dos semividas: 2 × 5700 y
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 100 × 2^(−30/8.0252) = 7.4934578
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: t½ = 30 ln2 / ln 8 = 10 min = 0.0069444 d
t½ = t·ln 2/ln(N₀/N), a partir de una cantidad inicial N₀ y de la cantidad N que queda tras el tiempo t. Si una tasa de recuento baja de 1000 a 125 en 30 minutos, N₀/N = 8 = 2³, así que han pasado tres semividas y t½ = 10 minutos. El logaritmo sirve para cualquier cociente: bajar de 1000 a 300 en 30 minutos da t½ = 17,3 minutos.
El 12,5 %. Cada semivida reduce a la mitad lo que queda: el 50 % tras una, el 25 % tras dos, el 12,5 % tras tres y el 6,25 % tras cuatro. Tras n semividas la fracción restante es (1/2)ⁿ, así que bajar al 1 % lleva 6,64 semividas y bajar por debajo del 0,1 % lleva 10 (queda el 0,098 %).
5700 años según los datos nucleares evaluados que publica el NNDC; los libros de texto antiguos dan 5730 años. La datación por radiocarbono alcanza unos 50 000 años, cerca de nueve semividas, tras las cuales queda menos del 0,3 % del carbono-14 original, demasiado poco para medirlo con fiabilidad.
La vida media τ es el tiempo promedio que sobrevive un núcleo antes de desintegrarse: τ = 1/λ = t½/ln 2 ≈ 1,443 t½. Para el carbono-14 son 5700/0,693 = 8223 años. Tras una vida media queda 1/e, es decir, el 36,8 % de la muestra, frente al 50 % tras una semivida.
λ = ln 2/t½, la probabilidad por unidad de tiempo de que un núcleo dado se desintegre. Relaciona la cantidad con la actividad mediante A = λN, en becquerelios cuando N cuenta átomos y λ va por segundo. La λ del carbono-14 es 3,85 × 10⁻¹² por segundo, así que 1 g de carbono-14 puro, 4,3 × 10²² átomos, tiene una actividad de unos 1,66 × 10¹¹ Bq.
Esta calculadora incluye 8 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.