अर्ध-आयु और रेडियोधर्मी क्षय कैलकुलेटर

अर्ध-आयु सूत्र से रेडियोधर्मी क्षय कैसे निकालें

हर बीती अर्ध-आयु के लिए आरंभिक मात्रा को ½ से गुणा करें: N = N₀ × 2^(−t/t½)। कार्बन-14 की अर्ध-आयु 5,700 वर्ष है, इसलिए 100 g 5,700 वर्ष बाद 50 g और 11,400 वर्ष बाद 25 g रह जाता है। कैलकुलेटर का डिफ़ॉल्ट यही पहला उदाहरण है: 100 इकाई कार्बन-14, 5,700 वर्ष का बीता समय, उत्तर 50 इकाई शेष, यानी शेष अंश 50% और ठीक एक अर्ध-आयु। यह नियम किसी भी एक समस्थानिक पर लागू होता है, चाहे मात्रा ग्राम में हो, परमाणुओं की संख्या में या बेकरेल (Bq) में।

कैलकुलेटर चार में से कोई भी एक राशि निकालता है: शेष मात्रा N, आरंभिक मात्रा N₀, बीता समय t या अर्ध-आयु t½। साथ में वह शेष अंश, बीती अर्ध-आयु की संख्या, क्षय स्थिरांक λ और माध्य आयु τ भी दिखाता है।

हर अर्ध-आयु के बाद कितना बचता है

हर अर्ध-आयु जो बचा है उसे आधा कर देती है, इसलिए n अर्ध-आयु के बाद शेष अंश (½)ⁿ होता है:

• 1 अर्ध-आयु: 50%
• 2 अर्ध-आयु: 25%
• 3 अर्ध-आयु: 12.5%
• 4 अर्ध-आयु: 6.25%
• 5 अर्ध-आयु: 3.125%
• 10 अर्ध-आयु: 0.098%

घातांक पूर्णांक होना ज़रूरी नहीं है। आयोडीन-131 की अर्ध-आयु 8.0252 दिन है, इसलिए 30 दिन = 30 ÷ 8.0252 = 3.738 अर्ध-आयु, और 2^(−3.738) खुराक का 7.49% छोड़ता है। कैलकुलेटर इस उदाहरण में 100 में से 7.49346 इकाई शेष दिखाता है।

समय, आरंभिक मात्रा या अर्ध-आयु कैसे निकालें

लघुगणक लेकर सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:

• बीता समय: t = t½ × ln(N₀/N) ÷ ln 2। जिस नमूने में उसका 10% कार्बन-14 बचा है, उसकी आयु 5,700 × ln 10 ÷ ln 2 = 18,935 वर्ष है।
• आरंभिक मात्रा: N₀ = N × 2^(t/t½)। 10 घंटे की अर्ध-आयु पर अगर 20 घंटे बाद 10 इकाई बची हैं, तो शुरुआत में 40 इकाई थीं।
• अर्ध-आयु: t½ = t × ln 2 ÷ ln(N₀/N)। जो मात्रा 10 दिनों में 100 से घटकर 25 इकाई रह जाए, उसकी अर्ध-आयु 5 दिन है।

हाथ से गणना करते समय अर्ध-आयु और बीते समय को एक ही इकाई में रखें। दोनों मात्राओं की इकाई केवल आपस में समान होनी चाहिए, क्योंकि सूत्र उनका अनुपात लेता है।

गिनती-दर से अर्ध-आयु मापने का एक उदाहरण कैलकुलेटर में दिया गया है: 30 मिनट में गिनती 1000 से 125 पर आ जाए तो N₀/N = 8 = 2³, यानी तीन अर्ध-आयु बीतीं और t½ = 10 मिनट, जिसे कैलकुलेटर 0.006944 दिन के रूप में भी लिखता है।

क्षय स्थिरांक और माध्य आयु

क्षय स्थिरांक λ = ln 2 ÷ t½ वह प्रायिकता है जिससे कोई एक नाभिक प्रति इकाई समय में क्षय होता है। इसी वक्र को N = N₀e^(−λt) भी लिखा जा सकता है। कार्बन-14 के लिए λ = 3.85 × 10⁻¹² प्रति सेकंड है।

सक्रियता, यानी बेकरेल में क्षय की दर, A = λN है। यह नाभिकों की संख्या के ही अनुपात में घटती है, इसीलिए गाइगर काउंटर की गिनती-दर को मात्रा की जगह इस्तेमाल किया जा सकता है।

माध्य आयु τ = 1/λ = t½ ÷ ln 2 लगभग 1.4427 अर्ध-आयु के बराबर है। यह किसी नाभिक के बचे रहने का औसत समय है; एक माध्य आयु के बाद नमूने का 36.8% बचता है, जबकि एक अर्ध-आयु के बाद 50%। कार्बन-14 के लिए कैलकुलेटर माध्य आयु 8223.36 वर्ष बताता है।

OpenStax का रेडियोधर्मी क्षय अध्याय इन संबंधों को व्युत्पन्न करता है।

आम समस्थानिकों की अर्ध-आयु

ये मूल्यांकित अर्ध-आयु ब्रुकहेवन नेशनल लैबोरेटरी के NNDC NuDat 3 से ली गई हैं:

• कार्बन-14: 5,700 वर्ष (रेडियोकार्बन काल-निर्धारण)
• ट्रिटियम (H-3): 12.32 वर्ष (घड़ी के डायल, संलयन ईंधन)
• कोबाल्ट-60: 1,925.28 दिन (विकिरण चिकित्सा, रोगाणुनाशन)
• स्ट्रॉन्शियम-90: 28.79 वर्ष (विखंडन उत्पाद)
• सीज़ियम-137: 30.08 वर्ष (विखंडन उत्पाद)
• आयोडीन-131: 8.0252 दिन (थायरॉइड चिकित्सा)
• टेक्नीशियम-99m: 6.0067 घंटे (चिकित्सीय इमेजिंग)
• रेडॉन-222: 3.8235 दिन (भवनों के भीतर रेडॉन)
• रेडियम-226: 1,600 वर्ष (पुराना दीप्तिशील पेंट)
• प्लूटोनियम-239: 24,110 वर्ष (रिएक्टर ईंधन)
• पोटैशियम-40: 1.248 अरब वर्ष (पोटैशियम-आर्गन काल-निर्धारण)
• यूरेनियम-238: 4.468 अरब वर्ष (यूरेनियम-लेड काल-निर्धारण)

छोटी अर्ध-आयु वाला समस्थानिक जल्दी साफ़ हो जाता है: इमेजिंग की खुराक के एक दिन बाद टेक्नीशियम-99m का 6.27% ही बचता है। सीज़ियम-137 लंबे समय तक टिका रहता है: एक सदी बाद भी नमूने का 9.98% मौजूद रहता है।

प्रकाशित रेडियोकार्बन आयु अलग क्यों होती है

प्रकाशित रेडियोकार्बन आयु परंपरा के अनुसार 5,568 वर्ष की लिबी अर्ध-आयु से निकाली जाती है और फिर अंशांकित की जाती है। जब 25% कार्बन-14 बचा हो, तो 5,700 वर्ष वाला मान 11,400 वर्ष देता है और लिबी मान 11,136 वर्ष।

पुरानी पाठ्यपुस्तकें 5,730 वर्ष लेती हैं, जिससे वही नमूना 11,460 वर्ष पुराना निकलता है। कोई भी आयु बताते समय यह भी लिखें कि कौन-सी अर्ध-आयु ली गई।

कार्बन-14 और मापे गए नमूने के क्षय परिणाम

डिफ़ॉल्ट स्थिति 5,700 वर्ष बाद कार्बन-14 की 100 इकाई है, और दो अर्ध-आयु वही नमूना 11,400 वर्ष बाद है। बीता समय वाली पंक्ति वह आयु बताती है जब 100 में से 25 इकाई बची हों, और मापी गई अर्ध-आयु वाली पंक्ति में 100 इकाई दस दिनों में घटकर 25 रह जाती हैं।

आम गलतियाँ

• हर अर्ध-आयु में एक निश्चित मात्रा घटाना। 100 में से 50 इकाई क्षय होने के बाद अगली अर्ध-आयु 25 इकाई हटाती है, फिर से 50 नहीं।
• समय की इकाइयाँ मिलाना। आयोडीन-131 के तीस दिन के क्षय के बाद खुराक का 7.49% बचता है; तीस वर्ष बाद लगभग कुछ नहीं बचता।
• पृष्ठभूमि गिनती शामिल कर लेना। दो गिनती-दरों का अनुपात लेने से पहले संसूचक की पृष्ठभूमि गिनती घटा दें।
• क्षय शृंखला को अनदेखा करना। सूत्र केवल एक जनक समस्थानिक का हिसाब रखता है। उदाहरण के लिए, रेडॉन-222 ऐसे संतति नाभिकों में बदलता है जो स्वयं रेडियोधर्मी हैं।
• यह मानना कि नमूना तय समय पर पूरी तरह ख़त्म हो जाएगा। सूत्र में मात्रा शून्य के पास पहुँचती है, पर शून्य नहीं होती; दस अर्ध-आयु के बाद लगभग हज़ारवाँ भाग बचता है, जो किसी प्रबल स्रोत में अब भी मापा जा सकता है।

मात्रा और समय की परिपाटियाँ

• दोनों मात्राएँ किसी भी इकाई में हो सकती हैं, जैसे ग्राम, परमाणु, बेकरेल या प्रतिशत, बशर्ते दोनों में एक ही इकाई हो।
• अर्ध-आयु और बीता समय सेकंड, मिनट, घंटे, दिन और वर्ष में अलग-अलग दिए जा सकते हैं।
• एक वर्ष 365.2425 दिन का औसत ग्रेगोरियन वर्ष माना जाता है।
• जब आपका समस्थानिक सूची में न हो या प्रश्न में अर्ध-आयु का कोई और मान दिया हो, तो कस्टम अर्ध-आयु चुनें।

आधा होने का यही नियम बताता है कि कैफ़ीन शरीर से कैसे निकलता है; कैफ़ीन अर्ध-आयु कैलकुलेटर इसे हर खुराक पर लागू करता है। दूर स्थित पिंडों से आने वाले प्रकाश का यात्रा-समय खगोलशास्त्र कैलकुलेटर से निकालें।