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प्रतिशत त्रुटि और अनिश्चितता प्रसार कैलकुलेटर

मापे और स्वीकृत मानों से प्रतिशत त्रुटि निकालें। योग, गुणनफल, भागफल और घातों में अनिश्चितता का प्रसार वर्गों के योग या अधिकतम सीमा से पाएँ।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7

आज़माएँ
प्रतिशत त्रुटि
%
प्रतिशत त्रुटि: 0.9174 %
अधिकतम दशमलव स्थान: 4; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
चिह्न सहित प्रतिशत त्रुटि
−0.9174%
निरपेक्ष त्रुटि
0.09

माप स्वीकृत मान से 0.9174% कम है।

चिह्न सहित प्रतिशत त्रुटि (0 = स्वीकृत मान)

5% से अधिक कम1–5% कम1–5% अधिक5% से अधिक ज़्यादा-10-5-11510स्वीकृत−0.9174%
गणना कैसे होती है S

  1. स्वीकृत मान से अंतर

    xm−xa=9.72−9.81=−0.09x_m - x_a = 9.72 - 9.81 = -0.09

  2. प्रतिशत त्रुटि

    ∣−0.09∣∣9.81∣×100=0.917431%\frac{|-0.09|}{|9.81|}\times100 = 0.917431\%

प्रतिशत त्रुटि और अनिश्चितता प्रसार कैलकुलेटर के बारे में

प्रतिशत त्रुटि किसी माप की तुलना स्वीकृत मान से करती है: |मापा गया − स्वीकृत| / |स्वीकृत| × 100। अनिश्चितता प्रसार बताता है कि इनपुट की ± अनिश्चितताएँ गणना से निकले परिणाम में कैसे पहुँचती हैं। योग और अंतर में निरपेक्ष अनिश्चितताएँ मिलती हैं; गुणनफल और भागफल में आपेक्षिक अनिश्चितताएँ मिलती हैं; घात aⁿ आपेक्षिक अनिश्चितता को |n| से गुणा करती है। स्वतंत्र यादृच्छिक त्रुटियाँ वर्ग-योग विधि से मिलती हैं (वर्गों के योग का वर्गमूल), और सबसे बुरी स्थिति वाला विकल्प उन्हें सीधे जोड़ता है।

डिफ़ॉल्ट मान में g का मापा गया मान 9.72 m/s² है और स्वीकृत मान 9.81 m/s², यानी माप 0.917% कम है। (2.0 ± 0.1) को (3.0 ± 0.2) से गुणा करने पर आपेक्षिक अनिश्चितताएँ 5% और 6.7% हैं, जो वर्ग-योग विधि से 8.3% बनती हैं, इसलिए गुणनफल 6.0 ± 0.5 लिखा जाता है।

परिणाम Taylor की पुस्तक An Introduction to Error Analysis की सलाह के अनुसार पूर्णांकित होते हैं: अनिश्चितता एक सार्थक अंक तक, या 1 से शुरू हो तो दो तक, और मान उसी दशमलव स्थान तक। सूत्र प्रथम कोटि के हैं, इसलिए मानते हैं कि हर अनिश्चितता अपने मान की तुलना में छोटी है।

प्रतिशत त्रुटि कैसे निकालें

मापे गए मान और स्वीकृत मान के अंतर को स्वीकृत मान से भाग दें: % त्रुटि = |मापा गया मान − स्वीकृत मान| ÷ |स्वीकृत मान| × 100। गुरुत्वीय त्वरण g को 9.72 m/s² मापा जाए और स्वीकृत मान 9.81 m/s² हो, तो 0.09 ÷ 9.81 × 100 = 0.917% आता है। कैलकुलेटर का डिफ़ॉल्ट यही उदाहरण है: वह प्रतिशत त्रुटि 0.917431%, चिह्न सहित प्रतिशत त्रुटि −0.917431% और निरपेक्ष त्रुटि 0.09 दिखाता है, और लिखता है कि माप स्वीकृत मान से 0.9174% नीचे है। प्रतिशत त्रुटि तभी काम की है जब तुलना के लिए कोई भरोसेमंद संदर्भ मान मौजूद हो।

इसके अलावा कैलकुलेटर अनिश्चितता प्रसार करता है: योग या अंतर a ± b, गुणनफल या भागफल a × b, a ÷ b, और घात aⁿ। हर स्थिति में परिणाम q, उसकी अनिश्चितता δq, आपेक्षिक अनिश्चितता और रिपोर्ट करने योग्य रूप "q ± δq" मिलता है।

चिह्न सहित प्रतिशत त्रुटि और सीमांत स्थितियाँ

दिशा बनाए रखने के लिए निरपेक्ष मान हटा दें: (9.72 − 9.81) ÷ 9.81 × 100 = −0.917%, जिसका अर्थ है कि माप कम आया।

भिन्न के हर में हमेशा स्वीकृत मान का परिमाण लिया जाता है। स्वीकृत मान −10 के सामने −9 मापने पर चिह्न सहित त्रुटि +10% होती है, क्योंकि पाठ्यांक संख्या के रूप में संदर्भ से ऊपर है।

स्वीकृत मान शून्य हो तो प्रतिशत त्रुटि परिभाषित नहीं होती। तब राशि की अपनी इकाई में निरपेक्ष त्रुटि |मापा गया मान − स्वीकृत मान| बताएँ; कैलकुलेटर भी इस स्थिति में यही सलाह देता है।

प्रतिशत त्रुटि अनिश्चितता नहीं है

प्रतिशत त्रुटि एक परिणाम की तुलना संदर्भ से करती है। अनिश्चितता, जिसे ± से लिखते हैं, आपका अनुमान है कि माप स्वयं कितना बदल सकता है, और यह तब भी होती है जब कोई स्वीकृत मान न हो।

सहमति परखने के लिए दोनों को साथ इस्तेमाल करें। 9.72 ± 0.12 m/s² का मान 9.81 से मेल खाता है, क्योंकि 0.09 का अंतर अनिश्चितता के भीतर है; 9.72 ± 0.05 m/s² मेल नहीं खाता।

अनिश्चितता का प्रसार कैसे करें

योग और अंतर में निरपेक्ष अनिश्चितताएँ जुड़ती हैं। गुणनफल, भागफल और घात में आपेक्षिक अनिश्चितताएँ δa/|a| जुड़ती हैं। स्वतंत्र यादृच्छिक त्रुटियों के लिए दोनों प्रकार वर्ग-योग विधि (quadrature) से मिलाए जाते हैं:

  • योग या अंतर: δq = √(δa² + δb²)। (10.0 ± 0.3) + (5.0 ± 0.4) = 15.0 ± 0.5।
  • गुणनफल या भागफल: δq/|q| = √((δa/a)² + (δb/b)²)। (2.0 ± 0.1) × (3.0 ± 0.2) में 5% और 6.7% मिलकर 6.0 का 8.3% बनते हैं, इसलिए q = 6.0 ± 0.5।
  • घात: δq/|q| = |n| × δa/|a|। (2.0 ± 0.1)³ = 8.0 ± 1.2, और वर्गमूल आपेक्षिक अनिश्चितता को आधा करता है: √(4.0 ± 0.2) = 2.00 ± 0.05।

भागफल का एक और उदाहरण कैलकुलेटर में है: (10 ± 0.5) ÷ (4 ± 0.2) में दोनों आपेक्षिक अनिश्चितताएँ 5% हैं, जो मिलकर 7.07% बनती हैं, और रिपोर्ट 2.50 ± 0.18 होती है।

पास-पास के मान घटाने पर अनिश्चितता सबसे ज़्यादा बढ़ती है। (10.0 ± 0.3) − (9.5 ± 0.4) = 0.5 ± 0.5, यानी 100% आपेक्षिक अनिश्चितता, जबकि इनपुट में केवल 3% और 4.2% की अनिश्चितता थी।

लंबे सूत्र में नियमों को एक-एक संक्रिया पर लगाएँ, जब तक हर इनपुट सूत्र में एक ही बार आता है। जब कोई इनपुट दो बार आए, तो उसकी त्रुटियाँ आपस में सहसंबद्ध होती हैं और NIST की संयोजन मार्गदर्शिका की सामान्य विधि लागू होती है।

वर्ग-योग विधि या सबसे बुरी स्थिति?

जब इनपुट की त्रुटियाँ स्वतंत्र और यादृच्छिक हों, तब वर्ग-योग विधि से जोड़ें। NIST Technical Note 1297 की संयुक्त मानक अनिश्चितता इसी मान्यता पर टिकी है, और इसका परिणाम रैखिक योग से कभी बड़ा नहीं होता।

ऐसी सीमा चाहिए जो सहसंबद्ध त्रुटियों में भी टिके, तो सीधे जोड़ें, δa + δb; उदाहरण के लिए एक ही दोषपूर्ण पैमाने से मापी गई दो लंबाइयाँ। तब योग वाला उदाहरण 15.0 ± 0.7 और गुणनफल 6.0 ± 0.7 हो जाता है। कैलकुलेटर में यह विकल्प "सबसे बुरी स्थिति" नाम से है।

रिपोर्ट किया जाने वाला परिणाम कैसे पूर्णांकित करें

अनिश्चितता को एक सार्थक अंक तक पूर्णांकित करें, और अगर उसका पहला अंक 1 हो तो दो अंक रखें; फिर मान को उसी दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करें। Taylor की पुस्तक An Introduction to Error Analysis के खंड 2.2 में यही परिपाटी दी गई है।

1.2 की अनिश्चितता 1 से शुरू होती है, इसलिए दो अंक रहते हैं और परिणाम 8.0 ± 1.2 लिखा जाता है। 0.05 में एक अंक रहता है, इसलिए मान दो दशमलव तक लिखा जाता है: 2.00 ± 0.05। बीच के चरणों में बिना पूर्णांकित संख्याएँ आगे ले जाएँ और अंत में एक ही बार पूर्णांकन करें।

प्रसार के उदाहरण किस रूप में रिपोर्ट होते हैं

योग (वर्ग-योग) और योग (सबसे बुरी स्थिति), दोनों में (10.0 ± 0.3) + (5.0 ± 0.4) है। गुणनफल (2.0 ± 0.1) × (3.0 ± 0.2) है, और घन (2.0 ± 0.1)³ है।

स्थितिरिपोर्ट का रूप
योग, वर्ग-योग विधि15.0 ± 0.5
योग, सबसे बुरी स्थिति15.0 ± 0.7
गुणनफल6.0 ± 0.5
घन8.0 ± 1.2

आम गलतियाँ

  • ± वाले खाने में प्रतिशत भर देना। 2.0 ± 5% के लिए अनिश्चितता 0.1 है, 5 नहीं।
  • गुणनफल के लिए निरपेक्ष अनिश्चितताएँ जोड़ना। गुणनफल और भागफल में आपेक्षिक अनिश्चितताएँ ली जाती हैं।
  • प्रतिशत त्रुटि को ही अनिश्चितता बता देना। एक संदर्भ से तुलना करती है, दूसरी माप का वर्णन करती है।
  • सहसंबद्ध त्रुटियों पर वर्ग-योग विधि लगाना। इससे संयुक्त अनिश्चितता कम आँकी जा सकती है; सबसे बुरी स्थिति सुरक्षित सीमा देती है।
  • बड़ी अनिश्चितताओं पर नियम लागू करना। ये प्रथम-कोटि के सूत्र हैं, जो मानते हैं कि हर अनिश्चितता अपने मान की तुलना में छोटी है।
  • अलग-अलग इकाइयों के मानों की तुलना करना। 9.72 m से तुलना करने से पहले 981 cm को 9.81 m में बदलें।

मान और अनिश्चितता की परिपाटियाँ

  • अनिश्चितताएँ निरपेक्ष होती हैं, अपने मान की ही इकाई में।
  • घात का घातांक सटीक माना जाता है; वर्गमूल के लिए 0.5 लिखें।
  • ऋणात्मक आधार के लिए घातांक पूर्ण संख्या होना चाहिए।
  • गुणनफल, भागफल और घात में इनपुट शून्य नहीं होने चाहिए, क्योंकि आपेक्षिक अनिश्चितता मान से भाग देकर निकलती है।
  • जिन इनपुट की अनिश्चितता शून्य है, उनका परिणाम "अनिश्चितता नहीं" के साथ दिखाया जाता है, जैसे 10 − 4 = 6।

किसी परिणाम को चुने हुए सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने के लिए पूर्णांकन कैलकुलेटर का उपयोग करें। ओम का नियम कैलकुलेटर से अक्सर ऐसे गुणनफल और भागफल मिलते हैं जिनकी अनिश्चितता का प्रसार करना होता है, जैसे P = V × I।

हल किए गए उदाहरण

9.81 के सामने मापा गया g = 9.72

गणना करें
प्रतिशत त्रुटि
मापा गया मान
9.72
स्वीकृत (वास्तविक) मान
9.81
प्रतिशत त्रुटि
0.9174%
चिह्न सहित प्रतिशत त्रुटि
-0.9174%
निरपेक्ष त्रुटि
0.09

जाँच का स्रोत: |9.72 − 9.81| / 9.81 × 100 = 0.9174312

वर्ग-योग विधि से योग: (10.0 ± 0.3) + (5.0 ± 0.4)

गणना करें
योग या अंतर a ± b
संक्रिया
a + b या a × b
a
10.0
a में अनिश्चितता (±)
0.3
b
5.0
b में अनिश्चितता (±)
0.4
अनिश्चितताएँ कैसे मिलाएँ
वर्ग-योग विधि
परिणाम q
15
अनिश्चितता δq
0.5
ऐसे लिखें
15.0 ± 0.5

जाँच का स्रोत: Taylor §3.5: √(0.3² + 0.4²) = 0.5

वही योग, सबसे बुरी स्थिति

गणना करें
योग या अंतर a ± b
संक्रिया
a + b या a × b
a
10.0
a में अनिश्चितता (±)
0.3
b
5.0
b में अनिश्चितता (±)
0.4
अनिश्चितताएँ कैसे मिलाएँ
सबसे बुरी स्थिति
अनिश्चितता δq
0.7
ऐसे लिखें
15.0 ± 0.7

जाँच का स्रोत: Taylor §3.3: δa + δb = 0.7

गुणनफल (2.0 ± 0.1) × (3.0 ± 0.2)

गणना करें
गुणनफल या भागफल a × b, a ÷ b
संक्रिया
a + b या a × b
a
2.0
a में अनिश्चितता (±)
0.1
b
3.0
b में अनिश्चितता (±)
0.2
अनिश्चितताएँ कैसे मिलाएँ
वर्ग-योग विधि
परिणाम q
6
अनिश्चितता δq
0.5
ऐसे लिखें
6.0 ± 0.5

जाँच का स्रोत: 6 × √(0.05² + 0.0667²) = 6 × 0.083333 = 0.5

सवाल

प्रतिशत त्रुटि कैसे निकालें?

प्रतिशत त्रुटि = |मापा गया − स्वीकृत| / |स्वीकृत| × 100। स्वीकृत 9.81 m/s² के सामने g को 9.72 m/s² मापने पर 0.09/9.81 × 100 = 0.917% आता है। जब दिशा मायने रखे, तब चिह्न रखें: −0.917% बताता है कि माप कम आया। स्वीकृत मान 0 हो तो सूत्र काम नहीं करता; तब निरपेक्ष त्रुटि बताएँ।

गुणा या भाग करते समय अनिश्चितता कैसे आगे ले जाएँ?

आपेक्षिक अनिश्चितताओं को वर्ग-योग विधि से मिलाएँ: δq/|q| = √((δa/a)² + (δb/b)²)। (2.0 ± 0.1) × (3.0 ± 0.2) में आपेक्षिक अनिश्चितताएँ 5% और 6.7% हैं, जिनसे 6.0 का 8.3% मिलता है, इसलिए q = 6.0 ± 0.5। भाग में भी यही नियम है: (10 ± 0.5) ÷ (4 ± 0.2) = 2.50 ± 0.18।

योग या अंतर में अनिश्चितताएँ कैसे मिलाएँ?

निरपेक्ष अनिश्चितताएँ मिलाएँ: त्रुटियाँ स्वतंत्र और यादृच्छिक हों तो δq = √(δa² + δb²), और सबसे बुरी स्थिति की सीमा के लिए δa + δb। (10.0 ± 0.3) + (5.0 ± 0.4) वर्ग-योग विधि से 15.0 ± 0.5 है, और सबसे बुरी स्थिति में 15.0 ± 0.7। अंतर में भी यही नियम है, इसलिए दो पास-पास के मानों के अंतर में आपेक्षिक अनिश्चितता बड़ी हो सकती है।

अनिश्चितताओं को वर्ग-योग विधि से कब जोड़ें?

जब इनपुट की त्रुटियाँ स्वतंत्र और यादृच्छिक हों; NIST Technical Note 1297 और GUM में संयुक्त मानक अनिश्चितता इसी धारणा पर टिकी है। वर्ग-योग कभी सीधे योग से अधिक नहीं होता: 0.3 और 0.4 मिलकर 0.7 नहीं, 0.5 बनते हैं। जब त्रुटियाँ आपस में जुड़ी हो सकती हों, जैसे गलत अंशांकित एक ही उपकरण से लिए गए दो पाठ्यांक, तब सबसे बुरी स्थिति वाला सीधा योग लें।

अनिश्चितता में कितने सार्थक अंक होने चाहिए?

Taylor की An Introduction to Error Analysis (§2.2) के अनुसार एक, या पहला अंक 1 हो तो दो; फिर मान को उसी दशमलव स्थान तक पूर्णांकित किया जाता है। इसलिए 0.1768 का 0.18 होता है और परिणाम 2.50 ± 0.18 लिखा जाता है, जबकि 0.52 का 0.5 होता है और परिणाम 6.0 ± 0.5। 6.0 ± 0.5234 लिखना माप से अधिक परिशुद्धता का दावा करता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

% error=∣xm−xa∣∣xa∣×100;δ(a±b)=δa2+δb2;δ(ab)∣ab∣=(δaa)2+(δbb)2;δ(an)∣an∣=∣n∣δa∣a∣\%\,\text{error} = \frac{|x_m - x_a|}{|x_a|}\times100;\quad \delta(a\pm b) = \sqrt{\delta a^2 + \delta b^2};\quad \frac{\delta(ab)}{|ab|} = \sqrt{\Big(\frac{\delta a}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{\delta b}{b}\Big)^2};\quad \frac{\delta(a^n)}{|a^n|} = |n|\frac{\delta a}{|a|}

स्रोत

  1. Taylor, An Introduction to Error Analysis (2nd ed., 1997), ch. 2–3 (rules for reporting and propagating uncertainties)
  2. NIST Technical Note 1297 — Guidelines for evaluating and expressing the uncertainty of NIST measurement results

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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