Calculadora del coeficiente de correlación: r de Pearson o correlación por rangos de Spearman para datos pareados, con r², estadístico t y valor p bilateral.
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r = 0.9816. Intensidad: Fuerte positiva; asociación: lineal. r² = 0.9636: una recta de mínimos cuadrados con intercepto explica el 96.36 % de la variación observada en y. La prueba t de Pearson da p = 4.86 × 10⁻⁷ para 10 pares independientes bajo los supuestos de su modelo nulo. La correlación por sí sola no establece causalidad.
Supone pares independientes y una distribución aproximadamente normal bivariada.
La r de Pearson mide cuánto se aproximan los pares de valores a una recta: r = Sxy/√(Sxx·Syy), la suma de productos cruzados de las desviaciones respecto a ambas medias dividida entre la raíz del producto de las dos sumas de cuadrados. Va de −1, una recta descendente perfecta, a +1, una ascendente perfecta, pasando por 0. La ρ de Spearman es la r de Pearson de los rangos: mide tendencias monótonas crecientes o decrecientes y es menos sensible a valores atípicos. El valor p se obtiene con t = r√((n − 2)/(1 − r²)) y n − 2 grados de libertad. Para Pearson, la prueba de referencia supone pares independientes de una población normal bivariada bajo correlación nula. Para Spearman es una aproximación, no una prueba exacta de permutación.
El ejemplo inicial empareja horas de estudio y notas de 10 estudiantes: r = 0,9816, r² = 0,9636 y p = 4,9 × 10⁻⁷, una asociación positiva fuerte.
Una correlación cercana a 0 solo indica poca asociación lineal en los datos: y = x² para x de −3 a 3 tiene r = 0 exactamente, pese a su relación curva.
El coeficiente de correlación de Pearson es r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy): Sxy suma los productos cruzados de las desviaciones respecto a las dos medias, y Sxx y Syy suman las desviaciones al cuadrado. Para las horas de estudio y las notas de 10 estudiantes, r = 0,9816, una asociación lineal positiva fuerte.
Los datos emparejan las horas 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 y 8 con las notas 52, 55, 61, 58, 66, 70, 68, 75, 79 y 84. El cálculo a mano:
El valor de r va de −1, una recta descendente perfecta, pasando por 0, hasta +1, una recta ascendente perfecta. El signo da el sentido de la relación y el valor absoluto indica cuánto se ciñen los puntos a una recta.
Para una recta ajustada por mínimos cuadrados, r² es la proporción de la variación de y que explica la recta. Aquí r² = 0,9636, de modo que la recta explica el 96,4 % de la dispersión de las notas. Un r de 0,7 da r² = 0,49, es decir, el 49 %: la correlación «parece» alta, pero deja sin explicar más de la mitad de la variación.
Cohen (1988) calificó r = 0,1 de pequeño, 0,3 de mediano y 0,5 de grande, y la etiqueta de intensidad de la calculadora sigue esos cortes. Son convenciones aproximadas de las ciencias del comportamiento; lo que se considera fuerte depende del campo.
Se transforma r en t = r × √((n − 2) ÷ (1 − r²)) y se compara con una distribución t de Student con n − 2 grados de libertad. El ejemplo da t = 14,56 con 8 grados de libertad y un valor p bilateral de 4,9 × 10⁻⁷.
La significación depende mucho de n. Con 1000 pares, r = 0,07 ya da p = 0,027, aunque explica menos del 0,5 % de la variación. Un valor p pequeño indica que la correlación probablemente no es cero, no que sea grande.
El contraste de Pearson supone pares independientes extraídos de una población normal bivariante cuando la correlación verdadera es cero (SciPy).
El coeficiente ρ de Spearman aplica la fórmula de Pearson a los rangos de cada variable, así que mide cualquier tendencia que suba o baje de forma sostenida, sea recta o curva. Para y = x³ con x de 1 a 10, Spearman da exactamente 1 y Pearson, 0,928.
Los empates reciben la media de los rangos que ocupan. Los valores x = 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 tienen los rangos 1; 2,5; 2,5; 4; 5; 6,5; 6,5 y 8. Emparejados con y = 3, 1, 4, 4, 5, 9, 2, 6, dan ρ = 0,5758.
El valor p de ese ejemplo, 0,1353, sale de la misma fórmula t, que para Spearman es una aproximación. Con 500 pares o menos, una prueba de permutaciones da un resultado más exacto (SciPy); la calculadora lo advierte en ese caso.
Spearman también conviene para datos ordinales, como valoraciones de 1 a 5, y resiste mejor los valores atípicos. El r de Pearson es el que corresponde a la recta de mínimos cuadrados.
El r de Pearson trabaja con los valores mismos, de modo que un punto erróneo puede dominar al resto. Si la última nota del ejemplo se hubiera escrito como 30 en lugar de 84, r caería de 0,982 a 0,051 y parecería despreciable.
Spearman con esos mismos datos da 0,427, todavía una tendencia positiva moderada. Representa los datos antes de fiarte de cualquiera de los dos números: un diagrama de dispersión muestra los atípicos, las curvas y los grupos que un único coeficiente oculta.
r mide solo la asociación lineal. Para x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 e y = x², r vale exactamente 0, aunque cada y queda determinada por su x. La curva sube hacia los dos lados y las dos mitades se compensan.
Una correlación muestra que dos variables varían juntas, no por qué. Una tercera variable puede influir en ambas: el calor aumenta a la vez la venta de helados y los ahogamientos.
La causa también puede ir en sentido contrario, o el patrón puede deberse al azar: si se contrastan 20 pares de variables sin relación con α = 0,05, cabe esperar que uno de ellos parezca significativo.
| Escenario | Coeficiente | Valor p bilateral |
|---|---|---|
| Predeterminado | 0,981638 | 4,864640E-7 |
| Negativa | -0,891042 | 0,017161 |
| Empates en Spearman | 0,575768 | 0,135297 |
| Correlación nula | 0,000000 | 1,000000 |
| Spearman con cubos | 1,000000 | 0,000000 |
«Predeterminado» es el ejemplo de las horas de estudio y «Empates en Spearman», el de los rangos empatados. «Negativa» empareja x = 10, 20, 30, 40, 50, 60 con y = 8,1; 7,4; 7,9; 6,2; 5,8 y 6. «Correlación nula» es el ejemplo de y = x², y «Spearman con cubos» empareja x de 1 a 5 con sus cubos.
Con ρ = ±1, el estadístico t es infinito y el valor p se muestra como 0. En Spearman, ese 0 procede de la aproximación; un valor p exacto por permutaciones nunca es 0, porque la ordenación observada siempre cuenta como uno de los casos posibles.
Para ajustar la recta y hacer predicciones, usa la calculadora de regresión. Para revisar antes la dispersión y la asimetría de cada variable, usa la calculadora de estadística descriptiva.
Fuente de comprobación: p mediante la expresión cerrada de la acumulada t de Student con grados de libertad enteros (Abramowitz y Stegun 26.7.4)
Fuente de comprobación: p = 2·(1 − F_t(|t|; 4)) mediante la expresión cerrada A&S 26.7.4
Fuente de comprobación: empates promediados a mano (rangos x: 1, 2.5, 2.5, 4, 5, 6.5, 6.5, 8), r de Pearson de los rangos con fracciones (Sxy = 95/4, Sxx = 41, Syy = 83/2), p mediante la acumulada t A&S 26.7.4
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: y = 2x + 1 exactamente, por lo que r = 1 por definición; el valor p de esta prueba basada en t alcanza su límite de 0
Una asociación lineal positiva bastante fuerte: al aumentar x, y tiende a aumentar. r² = 0,49 indica que una recta con intercepto explica el 49 % de la variación observada en y. Cohen (1988) llamó pequeños, medianos y grandes a r = 0,1, 0,3 y 0,5, y el resultado de intensidad usa esos umbrales. Son convenciones orientativas de las ciencias del comportamiento; lo que se considera fuerte depende del campo.
La r de Pearson mide asociación lineal con los valores originales; la ρ de Spearman aplica la misma fórmula a sus rangos y mide tendencias monótonas. Para y = x³ con x de 1 a 10, Spearman da exactamente 1 y Pearson, 0,928. Spearman es menos sensible a valores atípicos y sirve para datos ordinales, como valoraciones. La r de Pearson es la asociada a la recta de mínimos cuadrados.
No. Una correlación muestra que dos variables cambian conjuntamente, pero no explica por qué. Una tercera variable puede influir en ambas: el calor eleva tanto las ventas de helado como los ahogamientos. La dirección causal también puede ser la inversa, o la asociación puede aparecer por azar: al contrastar 20 pares no relacionados con α = 0,05, se espera alrededor de un resultado significativo. Establecer causalidad requiere un experimento aleatorizado o un diseño causal cuidadoso.
Transforma r en t = r√((n − 2)/(1 − r²)) y compárala con una distribución t de n − 2 grados de libertad, bajo los supuestos de la prueba. Los datos iniciales dan r = 0,9816 con n = 10: t = 14,56, 8 grados de libertad y p = 4,9 × 10⁻⁷. La significación depende mucho de n: con 1000 pares, r = 0,07 ya da p = 0,027, aunque explica menos del 0,5 % de la variación.
Esta calculadora incluye 4 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.