Probabilidad exacta de sumas de dados, caras y rachas al lanzar monedas, extraer cartas concretas y obtener cada mano de póquer de 5 cartas, como fracción y 1 entre N.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 9
Con 2 dados de 6 caras, la suma es exactamente 7 en 6 de 36 resultados equiprobables: probabilidad del 16.67 %.
Los recuentos se obtienen por convolución de la distribución de un dado N − 1 veces, usando enteros exactos. Cada nuevo dado añade una ventana móvil de S recuentos.
Las sumas de dados se cuentan exactamente: la distribución de un dado se combina por convolución N − 1 veces, de modo que se cuentan las Sᴺ tiradas de N dados de S caras sin simularlas. La cantidad de caras al lanzar monedas sigue la distribución binomial; las rachas de caras usan la recurrencia de Feller. Las extracciones de cartas siguen la distribución hipergeométrica porque cada carta sale de la baraja. Las manos de póquer se cuentan sobre las 2 598 960 manos posibles de cinco cartas.
El ejemplo inicial, dos dados de seis caras cuya suma es 7, corresponde al total más probable: 6 de las 36 tiradas, con probabilidad 1/6. Con tres dados, una suma de al menos 11 aparece exactamente la mitad de las veces, en 108 de 216 tiradas. Una racha de 3 o más caras aparece en el 50,8 % de las secuencias de 10 lanzamientos de una moneda equilibrada.
Se suponen dados equilibrados, lanzamientos independientes y una baraja bien mezclada. Para una moneda sesgada, introduce su probabilidad de cara. Las respuestas son fracciones exactas salvo cuando los números resultan demasiado grandes. En las fórmulas, T es la suma de los dados; Wₜ cuenta las tiradas con suma t; S es el número de caras por dado; N, la cantidad de dados; X cuenta las cartas especiales; D es el tamaño de la baraja; K, la cantidad de cartas especiales; n, la cantidad extraída; y R es la mayor racha de caras.
Divide las tiradas que dan el resultado entre todas las tiradas igual de probables; N dados de S caras tienen Sᴺ resultados ordenados. Dos dados de seis caras dan 6² = 36, y seis de ellos suman 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4) y sus inversos. Por tanto, P(suma = 7) = 6/36 = 1/6, alrededor del 16,67 %. Es el resultado que muestra la calculadora con sus valores iniciales.
Las 11 sumas posibles no son igual de probables, porque cada una se obtiene con un número distinto de tiradas. Con dos dados:
Con tres dados hay 6³ = 216 tiradas, y el máximo se desplaza a 10 y 11, que se obtienen cada uno con 27 tiradas, un 12,5 %. Las sumas de 3 a 18 son simétricas respecto a 10,5, de modo que una suma de al menos 11 sale 108 veces de 216, exactamente la mitad.
Con cuatro dados, 595 de las 1296 tiradas suman entre 10 y 14, ambos incluidos: una probabilidad de 595/1296 = 0,4591. «Al menos» y «como máximo» incluyen el valor objetivo, y un intervalo incluye sus dos extremos.
El número de caras no tiene en cuenta en qué lanzamientos salen, así que sigue la fórmula binomial: P(k caras en n lanzamientos) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ (NIST).
Para una moneda que sale cara el 60 % de las veces, obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos tiene probabilidad C(5, 3) × 0,6³ × 0,4² = 10 × 0,216 × 0,16 = 0,3456.
Con una moneda equilibrada, 10 caras seguidas tienen probabilidad (1/2)¹⁰ = 1/1024, alrededor del 0,098 %. Cualquier otra secuencia concreta de 10 lanzamientos, como cara, cruz, cara, cruz y así sucesivamente, es exactamente igual de improbable.
Después de 9 caras seguidas, el décimo lanzamiento sigue teniendo un 50 % de probabilidad de cara, porque los lanzamientos son independientes. Esperar que «toque» cruz es la falacia del jugador.
Una racha de 3 caras en algún punto de 10 lanzamientos de una moneda equilibrada es mucho más probable que 3 caras en una posición fija (1/8). Aparece en 520 de las 1024 secuencias posibles, con una probabilidad de 65/128 = 50,78 %, porque la racha puede empezar en cualquiera de 8 posiciones.
Esas posiciones se solapan, así que la respuesta no es 8 × 1/8 = 1: las secuencias con rachas solapadas o repetidas se contarían varias veces. El recuento exacto usa la recurrencia de Feller para rachas de éxitos.
Las rachas se vuelven habituales en secuencias largas. En 100 lanzamientos de una moneda equilibrada, una racha de al menos 5 caras aparece con probabilidad del 81,0 %, y una de al menos 7, con probabilidad del 31,8 %. Una racha, por sí sola, es una prueba débil de que la moneda está trucada.
Al extraer n cartas de una baraja de D que contiene K cartas especiales, P(exactamente k especiales) = C(K, k) × C(D − K, n − k) ÷ C(D, n), la distribución hipergeométrica. Una carta de una baraja francesa completa es un as con probabilidad 4/52 = 1/13, alrededor del 7,69 %.
Para al menos un as en una mano de 5 cartas, se resta la probabilidad de ninguno: 1 − C(48, 5)/C(52, 5) = 18472/54145 = 34,12 %. Exactamente dos ases tienen probabilidad del 3,99 %, y al menos un corazón (K = 13), del 77,85 %.
Cada as extraído reduce la probabilidad de que la siguiente carta sea un as. Tratar las cinco cartas como extracciones independientes con p = 1/13 da un 32,98 %, no un 34,12 %.
De las 2 598 960 manos posibles de cinco cartas, 4 son escaleras reales (1 entre 649 740), 624 son póqueres (1 entre 4165) y 3744 son fulls (alrededor de 1 entre 694). Una pareja aparece en el 42,26 % de los repartos, y el 50,12 % de las manos no tiene nada mejor que carta alta.
Cada mano cuenta en una sola categoría. Las escaleras reales se separan de las demás escaleras de color, y las escaleras de color se excluyen de los colores y de las escaleras.
Son frecuencias de las cinco primeras cartas repartidas, sin comodines, sin descartes y sin cartas comunitarias. No son la probabilidad de ganar una mano contra otros jugadores (Grinstead y Snell explican el recuento).
| Escenario | Probabilidad |
|---|---|
| Predeterminado | 0,166666667 |
| Tres dados, suma alta | 0,500000000 |
| Cuatro dados, intervalo | 0,459104938 |
| Racha con moneda equilibrada | 0,507812500 |
| As en cinco cartas | 0,341158002 |
| Escalera real | 0,000001539 |
«Predeterminado» son dos dados que suman 7, y «Tres dados, suma alta», una suma de al menos 11 con tres dados. «Cuatro dados, intervalo» es una suma de 10 a 14 con cuatro dados, y «Racha con moneda equilibrada», al menos 3 caras seguidas en 10 lanzamientos. Las dos últimas filas son la mano con algún as y una escalera real.
Para otras preguntas binomiales e hipergeométricas, usa la calculadora de distribuciones binomial y de Poisson. Cuando los resultados llevan asociado un premio, la calculadora de valor esperado da el resultado medio por jugada.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 6 de las 36 tiradas ordenadas dan 7 (tabla habitual de dos dados)
Fuente de comprobación: 108 tienen suma ≥ 11 (simetría alrededor de 10,5)
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: 520 contienen tres caras seguidas (HHH)
7: la producen 6 de las 36 tiradas equiprobables, 1+6, 2+5, 3+4 y sus órdenes inversos. Su probabilidad es 1/6, o 16,67 %. Los extremos 2 y 12 requieren una tirada concreta cada uno: 1/36, o 2,78 %. Con tres dados, los máximos están en 10 y 11, cada uno con 27 de 216 tiradas, o 12,5 %.
1 entre 1024 con una moneda equilibrada, porque cada lanzamiento reduce a la mitad la probabilidad: (1/2)¹⁰ = 1/1024, aproximadamente 0,098 %. Después de 9 caras seguidas, la probabilidad de cara en el décimo lanzamiento sigue siendo del 50 %: los lanzamientos son independientes. Pensar que «ya toca» cruz es la falacia del jugador. Cualquier otra secuencia concreta de 10 lanzamientos, como cara-cruz alternadas, tiene la misma probabilidad.
De las 2 598 960 manos de cinco cartas, 4 son escaleras reales (1 entre 649 740), 624 son póquer (1 entre 4165) y 3744 son full (aproximadamente 1 entre 694). Una pareja aparece en el 42,26 % de los repartos, y el 50,12 % no tiene nada mejor que carta alta. Son los recuentos de las primeras cinco cartas repartidas, sin descartes ni cartas comunitarias.
4/52 = 1/13, aproximadamente 7,69 %, al extraer una carta de una baraja completa de 52. Para al menos un as en una mano de 5 cartas, resta de 1 la probabilidad de no sacar ninguno: 1 − C(48, 5)/C(52, 5) = 34,12 %. Las cartas extraídas sin reemplazo siguen la distribución hipergeométrica; sacar un as reduce la probabilidad de que la siguiente carta también lo sea.
Suele ser mayor de lo que se espera. En 10 lanzamientos de una moneda equilibrada hay una probabilidad de 65/128 = 50,78 % de al menos una racha de 3 o más caras: puede comenzar en cualquiera de las 8 posiciones desde el lanzamiento 1 hasta el 8. Las secuencias largas contienen rachas, y una racha por sí sola aporta poca evidencia de que la moneda esté sesgada.
Esta calculadora incluye 9 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.