Calculadora de derivadas numéricas

Calcular una derivada en un punto

Introduce la función f(x), el punto x y el orden de derivada: primera o segunda. La calculadora devuelve un valor numérico en ese punto. También presenta f(x₀), una recta tangente cuando corresponde y una estimación del error numérico. El ejemplo inicial es x^2 * sin(x) en x = 1: su pendiente es aproximadamente 2.22324427548. La tangente pasa por el punto (1, sin 1) de la curva.

Las fórmulas de esta guía son referencias algebraicas; la salida del formulario es un número. Para comprobar una fórmula, introduce la función original y compara con la fórmula de derivada evaluada en el mismo punto. Cambiar x₀ permite hacer otra comprobación sin cambiar la fórmula. La coincidencia en varios puntos ayuda a detectar errores, pero no demuestra una identidad en todo el dominio de las dos expresiones.

Definición y reglas de derivación

La primera derivada es el límite f′(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)]/h, cuando existe ese límite bilateral finito. Describe el cambio instantáneo respecto de x. Una constante tiene derivada cero; x tiene derivada uno. Para x³, la regla de la potencia produce 3x² y en x = 2 la pendiente es 12. Una tasa instantánea no es el cambio promedio sobre un intervalo completo.

Para funciones derivables, la regla del producto es (fg)′ = f′g + fg′. La del cociente es (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², donde g no se anula. La regla de la cadena deriva la función exterior en el valor interior y multiplica por la derivada interior. Así, sin(2x) tiene derivada 2cos(2x). Olvidar ese factor 2 cambia la pendiente, aunque se recuerde correctamente la derivada básica del seno.

Las reglas de diferenciación de OpenStax desarrollan estos métodos. Escribe paréntesis alrededor del argumento completo y conserva los nombres del analizador, como sin, cos o exp. sin(2*x) y 2*sin(x) son funciones distintas. El formulario admite x como única variable libre, de modo que debes renombrar de manera coherente la variable si el ejercicio original emplea otra letra.

Derivadas habituales y sus dominios

Los argumentos trigonométricos se expresan en radianes. Las fórmulas de tangente, secante y cotangente requieren que sus denominadores no sean cero. Arcoseno y arcocoseno tienen derivadas finitas en −1 < x < 1; los extremos necesitan otro análisis. atan(x) representa la función inversa de la tangente, mientras que cot(x) representa su recíproco. Inversa funcional y recíproco no significan la misma operación.

En ln(sec(x)), el logaritmo real requiere sec(x) > 0. La fórmula de xˣ indicada utiliza x > 0 y procede de la diferenciación logarítmica: xˣ(ln x + 1). La regla para un exponente constante no puede aplicarse sin más porque aquí también varía el exponente. El capítulo de derivadas exponenciales y logarítmicas explica esas reglas. La raíz cuadrada tiene derivada 1/(2√x) para x > 0; en cero no existe una derivada bilateral finita.

Conservar signos y exponentes

La entrada exp(2*x) significa e^(2x) y su derivada es 2e^(2x). Para exp(-2*x) la derivada es −2e^(−2x). Si se ha perdido el signo de potencia en una transcripción, no se puede reconstruir la función únicamente a partir del resultado numérico. La función lineal 2ex tendría pendiente 2e, diferente de ambas expresiones exponenciales. Consulta la notación original antes de decidir qué escribir.

Utiliza x^2 para un cuadrado, sqrt(x) para una raíz cuadrada y x^(1/2) para un exponente fraccionario. Una barra, un signo o un paréntesis omitido puede cambiar el problema. También debes separar el punto de evaluación de la expresión: pedir la derivada de x³ en 2 mantiene x como variable de la función y coloca 2 en el campo del punto, en lugar de reemplazar la función por una constante.

Ejemplos de primera y segunda derivada

La tabla especifica función, punto y orden. La segunda derivada mide el cambio de la pendiente; no es el cuadrado de la primera. Para ln x es −1/x² y vale −0.25 en x = 2. Al elegir segunda derivada, se omite la recta tangente porque ese resultado no representa su pendiente. Los puntos decimales se conservan para que las entradas sean fáciles de reproducir.

Para la primera derivada, la recta tangente es y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Con x³ en x = 2 resulta y = 12x − 16. Esa recta aproxima la curva cerca del punto, sin coincidir con ella en todo el intervalo. El control avanzado de semiancho cambia el entorno dibujado; no cambia la función ni el punto donde se calcula la pendiente.

Precisión, esquinas y recuperación de errores

El método combina diferencias centrales con pasos progresivamente menores mediante extrapolación de Richardson. La estimación de error informa sobre la convergencia numérica; no es una cota rigurosa universal ni la incertidumbre de unas medidas físicas. El objetivo de unas veinte cifras significativas no garantiza alcanzarlas para toda función. La presentación redondea por separado, y las advertencias explican cuándo la aproximación no alcanza el objetivo previsto.

También se comparan pendientes laterales. Para abs(x) en cero, la pendiente izquierda es −1 y la derecha +1: no existe derivada, y promediarlas para obtener cero sería incorrecto. 1/x es indefinida en cero y sqrt(x) carece allí de derivada bilateral finita. Una función mal escrita, una variable adicional o un semiancho no positivo provoca un error. Corrige el campo o restablece las entradas iniciales para recuperar el ejemplo válido.

Para acumular un cambio con signo en un intervalo, utiliza la calculadora de integrales definidas. La pendiente puntual y una integral responden a preguntas diferentes. Los enlaces guardados conservan función, punto y orden, lo que permite reproducir un caso. Mantener esa información junto al resultado es más útil que copiar una cifra aislada sin indicar dónde se evaluó ni qué derivada se solicitó.