Calculadora de cinemática (MRUA)

Las ecuaciones del MRUA: aceleración constante

La calculadora resuelve el movimiento rectilíneo con aceleración constante: con tres de las cinco magnitudes (desplazamiento s, velocidad inicial u, velocidad final v, aceleración a y tiempo t) obtiene las otras dos. Con los valores iniciales, un objeto que parte del reposo y acelera a 2 m/s² durante 10 s alcanza 20 m/s y recorre 100 m.

Las cinco ecuaciones que relacionan esas magnitudes son v = u + at, s = ut + ½at², v² = u² + 2as, s = ½(u + v)t y s = vt − ½at². La lección de OpenStax sobre aceleración constante deduce las cinco. Solo valen si la aceleración no cambia y el movimiento sigue una única recta.

Qué ecuación conviene usar

Cada ecuación prescinde de una magnitud. Elige la que omite el valor que ni conoces ni te piden:

• v = u + at no contiene s.
• s = ut + ½at² no contiene v.
• v² = u² + 2as no contiene t.
• s = ½(u + v)t no contiene a.
• s = vt − ½at² no contiene u.

Un coche que va a 10 m/s y acelera a 2 m/s² durante 5 s llega a 20 m/s. Si solo interesa la distancia, sin pasar por la velocidad final, s = ut + ½at² = 10 × 5 + ½ × 2 × 5² = 50 + 25 = 75 m.

Todas las filas de la tabla describen el mismo movimiento desde el reposo: u = 0, a = 2 m/s², t = 10 s, v = 20 m/s y s = 100 m. La primera columna indica las dos incógnitas; sv significa «calcular s y v a partir de u, a y t». La calculadora llega al mismo par de resultados sea cual sea la combinación de datos elegida.

Velocidad, distancia y tiempo

Con velocidad constante, distancia = velocidad × tiempo; de ahí salen velocidad = distancia ÷ tiempo y tiempo = distancia ÷ velocidad. Recorrer 100 m a 5 m/s lleva 100 ÷ 5 = 20 s. Es el movimiento rectilíneo uniforme, el caso particular con a = 0, y la calculadora lo resuelve si se introduce una aceleración nula: con s = 100 m, u = 5 m/s y a = 0 da t = 20 s y v = 5 m/s.

La rapidez media de un viaje es la distancia total dividida por el tiempo total, no la media de las velocidades. Ir 60 km a 30 km/h y volver a 60 km/h lleva 2 h + 1 h = 3 h para 120 km: una media de 40 km/h, no de 45.

Fórmulas de la velocidad

La velocidad es una rapidez con dirección y sentido. Con aceleración constante, la velocidad final es v = u + at, o v² = u² + 2as si se desconoce el tiempo. Un ciclista que va a 4 m/s y acelera a 0,5 m/s² durante 6 s llega a 4 + 0,5 × 6 = 7 m/s.

La velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo y, con aceleración constante, coincide con (u + v)/2. Quien da una vuelta de 400 m a la pista en 80 s lleva una rapidez media de 5 m/s, pero su velocidad media es cero, porque la vuelta termina donde empezó.

Signos y sentido del movimiento

Elige un sentido positivo y mantenlo para todas las magnitudes. Con el eje hacia arriba, una piedra que se suelta desde el reposo tiene a = −9,80665 m/s², el valor estándar de g. Tras caer 20 m está en s = −20 m y se mueve a v = −19,81 m/s, 2,02 s después de soltarla.

Un coche que frena de 10 m/s hasta detenerse en 50 m tiene a = (0² − 10²) ÷ (2 × 50) = −1 m/s² y se para al cabo de t = 2 × 50 ÷ (10 + 0) = 10 s. El signo menos indica que la aceleración apunta en contra del movimiento. Es uno de los ejemplos de la calculadora: con el par «a y t» y los datos s = 50 m, u = 10 m/s y v = 0 devuelve t = 10 s y a = −1 m/s².

Una aceleración negativa solo frena a un objeto mientras se mueve en el sentido positivo. Si parte a −5 m/s con a = −2 m/s², a los 3 s su velocidad es −11 m/s: está acelerando.

Dos soluciones para el tiempo

Cuando la incógnita es el tiempo, s = ut + ½at² es una ecuación de segundo grado en t. Una pelota lanzada hacia arriba a 20 m/s con a = −10 m/s² está 15 m por encima del punto de partida en t = 1 s, subiendo a 10 m/s, y de nuevo en t = 3 s, bajando a −10 m/s.

Las dos raíces corresponden a sucesos reales, así que se toma la que pide el enunciado. Con a = −9,81 m/s², el ejemplo de la calculadora da 0,990719 s y 3,08675 s, y muestra ambos instantes junto a la velocidad en cada uno. Una raíz negativa queda antes del inicio y se descarta. Un discriminante negativo significa que el objeto nunca alcanza ese desplazamiento, y la calculadora lo indica con un mensaje de error en lugar de un número.

Errores frecuentes

• Mezclar km/h y m/s. Divide los km/h entre 3,6 antes de usar las ecuaciones en unidades SI: 36 km/h son 10 m/s y 72 km/h son 20 m/s.
• Usar las ecuaciones del MRUA con aceleración variable. Un paracaidista que se acerca a la velocidad límite, o un coche cuya aceleración disminuye con la velocidad, requiere otro modelo.
• Confundir desplazamiento y distancia. Tras un viaje de ida y vuelta s vale cero, pero la distancia recorrida no.
• Cambiar el valor de g a mitad del problema. Usa el que da el enunciado (9,8, 9,81 o 9,80665 m/s²) y mantenlo hasta el final.

Formato de los datos y unidades

• Elige las dos incógnitas en el desplegable e introduce las otras tres magnitudes.
• Cada magnitud admite su propia unidad, como km/h, mph, ft/s, minutos o g₀ para la gravedad estándar. Los resultados salen en unidades SI: m, m/s, m/s² y s.
• El desplazamiento y las velocidades llevan signo. El tiempo no puede ser negativo y debe ser mayor que cero cuando una ecuación divide por él.

Para lanzamientos con ángulo, usa la calculadora de tiro parabólico. Para obtener la aceleración a partir de fuerzas y fricción, la calculadora de fuerza, fricción y plano inclinado; para resolver con energías, la calculadora de trabajo, energía y potencia.