Calcula el valor esperado E[X], la varianza y la desviación estándar de una apuesta, juego o decisión a partir de sus resultados y probabilidades o pesos.
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A lo largo de muchas repeticiones, este caso pierde 1.5 por repetición en promedio. La desviación estándar por repetición es 11.3; mide la dispersión y no garantiza un intervalo de resultados. El valor esperado es una media a largo plazo. Los resultados con probabilidad positiva van de −5 a 95. La probabilidad de obtener una ganancia es del 20 %.
| Resultado | Probabilidad | x × p | (x − E)² × p |
|---|---|---|---|
| −5 | 0,8 | −4 | 9,8 |
| 5 | 0,15 | 0,75 | 6,3375 |
| 20 | 0,04 | 0,8 | 18,49 |
| 95 | 0,01 | 0,95 | 93,1225 |
El valor esperado es la media de los resultados ponderada por sus probabilidades, E[X] = Σ xᵢpᵢ: el resultado medio por repetición de una apuesta, un juego o una decisión cuando se repite muchas veces. La varianza, Σ(xᵢ − E[X])²pᵢ, y su raíz cuadrada, la desviación estándar, miden cuánto se dispersan los resultados individuales alrededor de esa media. Si se introducen frecuencias o pesos relativos, se normalizan como probabilidades antes de calcular las sumas.
El ejemplo inicial es un boleto de rasca y gana de 5 dólares: pierde el importe pagado con probabilidad 0,8 y da ganancias netas de 5, 20 o 95 dólares con probabilidades 0,15, 0,04 y 0,01. Su valor esperado es de −1,50 dólares por boleto, aunque el 20 % de los boletos generan una ganancia.
Introduce cada resultado como ganancia neta: premio menos importe pagado. Perder una apuesta de 5 dólares equivale a −5; recibir un premio de 100 dólares con un boleto de 5 equivale a 95. Las probabilidades deben sumar 1; si no, selecciona frecuencias o pesos. En las listas, usa el punto decimal; las comas separan valores.
Multiplica cada resultado por su probabilidad y suma los productos: E[X] = Σ xᵢpᵢ. Un rasca y gana de 5 € que pierde lo apostado con probabilidad 0,8 y gana un neto de 5 €, 20 € o 95 € con probabilidades 0,15, 0,04 y 0,01 tiene E = −4 + 0,75 + 0,8 + 0,95 = −1,50 € por boleto. Es el ejemplo con el que se abre la calculadora.
El cálculo a mano:
De media, el boleto devuelve un −30 % de su precio, así que con 100 boletos se espera perder 150 €. Para un dado equilibrado de seis caras, E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ÷ 6 = 3,5.
El valor esperado es la media por jugada a largo plazo, y puede que ni siquiera sea un resultado posible: ningún dado muestra 3,5. El resultado más probable del rasca y gana es perder los 5 €, algo que ocurre el 80 % de las veces.
Aun así, el 20 % de los boletos acaba con ganancia, porque 0,15 + 0,04 + 0,01 = 0,2. En un reparto de premios tan asimétrico, unos pocos premios grandes elevan la media por encima del resultado típico. Un resultado de 0, en el que no se gana ni se pierde, no cuenta como ganancia ni como pérdida.
La dispersión alrededor de la media es Var(X) = Σ (xᵢ − E[X])² pᵢ, y la desviación típica (o estándar) es su raíz cuadrada. Para el rasca y gana, los cuatro términos son 9,8; 6,3375; 18,49 y 93,1225, así que la varianza vale 127,75 y la desviación típica, 11,30 €.
Es la varianza de una distribución dada, no de una muestra, de modo que no lleva la corrección n − 1. Se expresa en unidades al cuadrado, aquí euros al cuadrado, mientras que la desviación típica vuelve a estar en euros.
Con muchas jugadas independientes, el total esperado crece con el número de jugadas y la desviación típica, con su raíz cuadrada. Con 100 boletos, el total esperado es −150 € y la desviación típica, 11,30 × √100 = 113 €; por eso algunos compradores de 100 boletos siguen terminando con ganancia.
Una apuesta a un número de la ruleta, un pleno, paga 35 a 1. En una ruleta americana de 38 casillas, el valor esperado por cada euro apostado es 35 × 1/38 − 1 × 37/38 = −2/38 = −0,0526 €, una ventaja de la banca del 5,26 %.
La ruleta europea tiene 37 casillas, así que el valor es (35 − 36) ÷ 37 = −1/37, una ventaja del 2,70 %. Casi todas las demás apuestas de la ruleta americana tienen la misma ventaja del 5,26 %. El ejemplo de la ruleta americana de la calculadora usa los resultados 35 y −1 con probabilidades 1/38 y 37/38.
Recibir 50 € seguros y tener un 50 % de probabilidad de ganar 100 € tienen el mismo valor esperado, 50, pero sus desviaciones típicas son 0 y 50. Cuál conviene depende del riesgo que se pueda asumir.
Un seguro tiene valor esperado negativo para quien lo contrata y, sin embargo, es racional cuando elimina una pérdida que esa persona no podría absorber. La teoría de la utilidad esperada (von Neumann y Morgenstern, 1944) formaliza ese equilibrio.
| Escenario | Valor esperado | Desviación típica |
|---|---|---|
| Predeterminado | -1,500000 | 11,302655 |
| Dado equilibrado | 3,500000 | 1,707825 |
| Cincuenta seguros | 50,000000 | 0,000000 |
| Cincuenta con riesgo | 50,000000 | 50,000000 |
| Peso cero | 5,000000 | 0,000000 |
«Predeterminado» es el rasca y gana, y «Dado equilibrado», los valores de 1 a 6 con pesos iguales. «Cincuenta seguros» es 50 con probabilidad 1, y «Cincuenta con riesgo», 0 o 100 con un 50 % cada uno.
«Peso cero» indica −100, 5 y 500 con probabilidades 0, 1 y 0. Los resultados con probabilidad cero no pueden ocurrir, de modo que el peor y el mejor resultado valen ambos 5.
NIST expone qué condiciones debe cumplir una distribución de probabilidad, y el capítulo 6 de Grinstead y Snell desarrolla la esperanza y la varianza.
Para convertir la cuota de una casa de apuestas en la probabilidad que implica, usa el conversor de cuotas. Para obtener las probabilidades de los resultados con un modelo binomial o de Poisson, usa la calculadora de distribuciones binomial y de Poisson.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: cálculo manual: −4 + 0,75 + 0,8 + 0,95 = −1,5
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: ventaja de la casa al apostar a un solo número: −2/38 = −5,26 % (tablas habituales de ruleta)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: E = 7/2 y Var = 35/12 para un dado equilibrado
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: un único resultado con probabilidad 1 no tiene dispersión
Multiplica cada resultado por su probabilidad y suma los productos: E[X] = Σ xᵢpᵢ. Para un dado equilibrado de seis caras, E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. En el boleto inicial, −5 × 0,8 + 5 × 0,15 + 20 × 0,04 + 95 × 0,01 = −1,5: una pérdida media de 1,50 dólares por boleto de 5 dólares.
La apuesta pierde dinero por repetición, en promedio. El boleto con valor esperado de −1,50 dólares tiene una rentabilidad media del −30 % sobre su precio de 5 dólares; se espera que 100 boletos pierdan 150 dólares en total. Los resultados individuales varían: con una desviación estándar de 11,30 por boleto, el total de 100 boletos independientes tiene una desviación estándar de 11,30 × √100 = 113. Por eso, algunos compradores de 100 boletos todavía pueden terminar con ganancias.
Es del 5,26 % en la ruleta estadounidense con doble cero y del 2,70 % en la europea con un solo cero. Apostar a un único número paga una ganancia de 35 por cada unidad apostada. Con 38 casillas, el valor esperado por unidad apostada es (35 − 37)/38 = −2/38 = −0,0526; con 37 casillas, (35 − 36)/37 = −1/37 = −0,0270. Casi todas las demás apuestas de la ruleta estadounidense tienen la misma ventaja de la casa del 5,26 %.
No. Es una media a largo plazo y puede no coincidir con ningún resultado posible: el valor esperado de un dado es 3,5, aunque ninguna tirada da ese número. El valor esperado del boleto es −1,5, pero el resultado más probable es perder los 5 dólares completos, lo que ocurre el 80 % de las veces. En una distribución asimétrica como esta, unos pocos premios grandes elevan la media por encima del resultado habitual.
No siempre, porque el valor esperado no refleja el riesgo. Recibir 50 dólares con certeza y tener un 50 % de probabilidad de recibir 100 dólares tienen el mismo valor esperado, 50, pero desviaciones estándar de 0 y 50. Un seguro tiene valor esperado negativo para quien lo compra y aun así puede ser razonable si evita una pérdida que no podría asumir. La teoría de la utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern (1944) formaliza esta elección entre riesgo y rendimiento.
Esta calculadora incluye 4 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.