Calcula nCr y nPr exactamente: combinaciones y permutaciones con o sin repetición para manos de póquer, probabilidades de lotería y códigos PIN.
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Hay 2,598,960 formas de elegir 5 de 52 elementos cuando el orden no importa. El recuento exacto tiene 7 dígitos. Si todos los resultados son equiprobables, la probabilidad de uno concreto es 3.848 × 10⁻⁷.
Calculado con aritmética entera exacta BigInt.
Supone que todos los resultados son equiprobables.
Las combinaciones cuentan las formas de elegir r elementos entre n cuando el orden no importa: C(n, r) = n!/(r!(n − r)!). Las permutaciones cuentan cada orden por separado, P(n, r) = n!/(n − r)!, por lo que P(n, r) = C(n, r) × r!. Si un elemento puede elegirse más de una vez, hay nʳ selecciones ordenadas y C(n + r − 1, r) no ordenadas, según el método de estrellas y barras. Cada resultado es un entero exacto de hasta 20 000 dígitos. En los casos límite, N representa el número de posibilidades: elegir cero elementos da N = 1; una selección imposible da N = 0.
El ejemplo inicial, 5 cartas de una baraja de 52, da 2 598 960 manos de póquer; una mano concreta tiene una probabilidad de 1 entre 2 598 960. El mismo cálculo da 13 983 816 boletos en una lotería de 6 números entre 49, 720 órdenes de podio entre 10 corredores y 10 000 PIN de cuatro dígitos.
La probabilidad de un resultado concreto supone que todos los resultados son equiprobables. Las respuestas de 22 dígitos o más se muestran en notación científica; además, se listan todos sus dígitos si tienen como máximo 300.
Una combinación cuenta grupos en los que el orden no importa: C(n, r) = n! ÷ (r!(n − r)!). Las ordenaciones, en las que el orden sí importa, se cuentan con P(n, r) = n! ÷ (n − r)!. De 10 personas salen C(10, 3) = 120 comités de tres, pero P(10, 3) = 720 formas de repartir oro, plata y bronce. Con los valores iniciales, n = 52 y r = 5, la calculadora devuelve 2 598 960 combinaciones: las manos de cinco cartas de una baraja francesa.
Ambas fórmulas suponen n elementos distintos y que cada uno se usa como máximo una vez. Cuando los elementos pueden repetirse, como las cifras de un PIN, se aplican las fórmulas con repetición que aparecen más abajo.
La calculadora sigue la notación internacional nCr y nPr, y llama «permutaciones» a las ordenaciones de r elementos tomados de n. Los manuales españoles e hispanoamericanos de combinatoria suelen distinguir tres casos:
Con repetición ocurre lo mismo: las «permutaciones con repetición» de la calculadora, nʳ, son las variaciones con repetición VR(n, r) de esos manuales. En ellos, «permutaciones con repetición» designa otra cosa: las ordenaciones de elementos que se repiten, como las letras de una palabra, que se tratan en la sección de errores frecuentes.
n! (factorial de n) multiplica todos los números enteros desde n hasta 1: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, y 8! = 40 320. Por definición, 0! = 1, porque hay exactamente una forma de ordenar ningún elemento.
Un factorial es la ordenación de los n elementos, así que n! = P(n, n). Los factoriales crecen muy deprisa: 143! tiene 248 cifras y 200! tiene 375, aproximadamente 7,89 × 10³⁷⁴.
Esa cifra supera con mucho el mayor número de doble precisión, de alrededor de 1,8 × 10³⁰⁸, por lo que los programas que guardan los números en ese formato se desbordan en 171!. La aritmética entera exacta evita ese límite.
Simplifica antes de multiplicar. En C(10, 3) = 10! ÷ (3! × 7!), el 7! anula la cola de 10! y queda (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6 = 120.
Elegir r elementos equivale a elegir los n − r que se quedan fuera, de modo que C(n, r) = C(n, n − r). C(52, 47) es igual que C(52, 5) = 2 598 960, y con el r pequeño el cálculo es más corto.
| n | r | Combinaciones nCr | Variaciones nPr |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 10 | 20 |
| 10 | 3 | 120 | 720 |
| 52 | 5 | 2598960 | 311875200 |
| 49 | 6 | 13983816 | 10068347520 |
| 8 | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 8 | 1 | 40320 |
La fila de 52 y 5 da el número de manos de póquer de cinco cartas, y la de 49 y 6, los boletos posibles de una lotería de 6 números entre 49, como la Primitiva española. Las dos últimas filas muestran el efecto de 0! = 1: hay una sola forma de no elegir nada y una sola de elegirlo todo.
Multiplica r números contando hacia abajo desde n. Un podio con 10 corredores tiene 10 opciones para el oro, 9 para la plata y 8 para el bronce: 10 × 9 × 8 = 720.
Los mismos tres medallistas pueden colocarse en el podio de 3! = 6 maneras, y por eso 720 = 6 × 120. En general, P(n, r) = C(n, r) × r!.
Pregúntate si intercambiar dos de los elementos elegidos produce un resultado distinto.
Los cargos convierten un grupo en una ordenación. Elegir a tres de diez personas como presidente, secretario y tesorero da P(10, 3) = 720, no 120. Un candado «de combinación» es en realidad de variación, porque 1-2-3 y 3-2-1 son claves distintas.
Cuando un elemento puede elegirse otra vez, las elecciones ordenadas son nʳ: cada una de las r posiciones tiene n opciones. Un PIN de cuatro cifras admite 10⁴ = 10 000 códigos, de 0000 a 9999.
Las elecciones sin orden y con repetición son C(n + r − 1, r), el recuento de «estrellas y barras». Tres bolas de helado de cinco sabores, con repetición permitida, dan C(7, 3) = 35 tarrinas; chocolate, chocolate y vainilla cuenta una sola vez, se apilen como se apilen.
| n | r | Sin orden, con repetición | Con orden, con repetición |
|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 35 | 125 |
| 10 | 4 | 715 | 10000 |
| 3 | 2 | 6 | 9 |
| 1 | 5 | 1 | 1 |
Con un solo tipo de elemento todas las elecciones son iguales, de modo que n = 1 y r = 5 da un único resultado en ambas columnas.
Si todos los resultados son igual de probables, la probabilidad de uno concreto es 1 ÷ recuento. Un único boleto de una lotería de 6 entre 49 gana con probabilidad de 1 entre 13 983 816. Para el valor inicial, la calculadora muestra que una mano concreta de cinco cartas tiene probabilidad 0,000000384769.
Para un suceso formado por varios resultados, divide los casos favorables entre los posibles. De las 2 598 960 manos posibles, 4 son escaleras reales, así que la probabilidad de recibir una es de 1 entre 649 740.
Para uniones, intersecciones y probabilidades condicionadas, usa la calculadora de probabilidad. Para sumas de dados y extracciones de cartas, usa la calculadora de dados, monedas y cartas.
El capítulo de OpenStax sobre principios de conteo desarrolla con más ejemplos el principio multiplicativo, las permutaciones y las combinaciones.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: C(52,5) = 2 598 960
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 10 × 9 × 8 = 720
Fuente de comprobación: 1/13983816 = 7,15112e-8
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Una permutación cuenta las ordenaciones; una combinación, solo los elementos elegidos. Entre 10 corredores hay P(10, 3) = 720 formas de asignar oro, plata y bronce, pero solo C(10, 3) = 120 grupos distintos de tres: cada grupo admite 3! = 6 órdenes. Usa permutaciones para clasificaciones, asientos y contraseñas; combinaciones para manos de cartas, comités y boletos de lotería.
Hay C(52, 5) = 2 598 960 manos de cinco cartas de una baraja estándar de 52, contando cada conjunto una sola vez sin importar el orden de reparto. Solo 4 son escaleras reales, así que la probabilidad de recibir una es 4 entre 2 598 960, o 1 entre 649 740. Si se cuenta el orden de reparto, se obtiene P(52, 5) = 311 875 200.
Multiplica el número de combinaciones de cada conjunto sorteado. Un sorteo de 6 números entre 49 tiene C(49, 6) = 13 983 816 boletos posibles. Powerball extrae 5 bolas blancas de 69 y 1 roja de 26: C(69, 5) × 26 = 11 238 513 × 26, por lo que la probabilidad del premio mayor es 1 entre 292 201 338. En estos juegos no importa el orden, de ahí que se usen combinaciones.
Hay 10⁴ = 10 000 PIN de cuatro dígitos, desde 0000 hasta 9999, porque cada una de las 4 posiciones admite cualquiera de los 10 dígitos. En sentido estricto, son selecciones ordenadas con repetición: 1234 y 4321 son códigos distintos. Por eso, un «candado de combinación» en realidad distingue permutaciones. Un PIN de 6 dígitos tiene 10⁶ = 1 000 000 de posibilidades.
Por definición, 0! = 1: hay exactamente una forma de ordenar cero elementos, la ordenación vacía. Esta convención mantiene la coherencia de las fórmulas: C(n, 0) = n!/(0! × n!) = 1 y C(n, n) = 1. También coincide con la función gamma, donde 0! = Γ(1) = 1, y con la recurrencia n! = n × (n − 1)! para n = 1.
Esta calculadora incluye 9 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.