Calcula P(A o B), P(A y B) y P(A | B) para dos sucesos, o aplica el teorema de Bayes a un resultado de prueba, con árbol de probabilidades y diagrama de Venn.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 6
Tras observar B, la probabilidad de A pasa del 1 % al 9.17 %. En frecuencias naturales: de 10 000 casos, aproximadamente 90 cumplen A y muestran B, mientras que 891 muestran B sin cumplir A. De los 981 casos que muestran B, alrededor de 90 cumplen A.
Para dos sucesos A y B, la regla de la suma da P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B); la regla del producto, P(A y B) = P(A) × P(B | A); y la probabilidad condicional es P(A | B) = P(A y B) / P(B). El modo del teorema de Bayes invierte la condición: a partir de una probabilidad previa P(A) y las tasas de evidencia P(B | A) y P(B | no A), obtiene la probabilidad actualizada P(A | B).
El ejemplo inicial de Bayes es una prueba de cribado para una condición con prevalencia del 1 %, sensibilidad del 90 % y tasa de falsos positivos del 9 %. Un resultado positivo eleva la probabilidad del 1 % al 9,17 %, porque, entre 10 000 personas, hay 90 verdaderos positivos frente a 891 falsos positivos.
Introduce probabilidades entre 0 y 1; se admiten fracciones como 1/6. El modo de dos sucesos rechaza combinaciones imposibles, como una P(A y B) mayor que P(A) o P(B).
Cuando todos los resultados son igual de probables, se aplica la regla de Laplace: P(suceso) = casos favorables ÷ casos posibles. Sacar un número par con un dado equilibrado tiene 3 caras favorables de 6, así que P = 3/6 = 0,5. Toda probabilidad está entre 0, el suceso imposible, y 1, el suceso seguro; 0,25 equivale a un 25 % de probabilidad.
Dos sucesos se combinan con las reglas de la suma, del producto y de la probabilidad condicionada que siguen. El teorema de Bayes, P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), invierte una probabilidad condicionada: por ejemplo, pasa de la precisión de una prueba diagnóstica al significado de un resultado positivo. La calculadora se abre en ese modo y, con los valores iniciales, da P(A | B) = 0,0917, el ejemplo del cribado que se desarrolla más abajo.
Lanza dos dados y llama A a sacar un seis en el primero y B a sacar un seis en el segundo. Ambos ocurren con probabilidad 1/6 × 1/6 = 1/36, y al menos un seis con 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, alrededor de 0,306.
Con probabilidades independientes de 0,5 y 0,4, los dos sucesos ocurren juntos con probabilidad 0,2 y al menos uno con 0,7. Ninguno ocurre con 0,3, y exactamente uno con 0,5.
| Relación | P(A) | P(B) | P(A y B) | P(A o B) | P(A dado B) |
|---|---|---|---|---|---|
| Independientes | 0,5 | 0,4 | 0,2 | 0,7 | 0,5 |
| Mutuamente excluyentes | 0,3 | 0,45 | 0 | 0,75 | 0 |
| Intersección conocida | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,7 | 0,8 |
| Condicionada conocida | 0,6 | 0,5 | 0,3 | 0,8 | 0,6 |
En la última fila el dato conocido es P(B | A) = 0,5, de modo que la regla del producto da P(A y B) = 0,6 × 0,5 = 0,3.
Los sucesos independientes no alteran la probabilidad del otro, así que P(A y B) = P(A) × P(B): dos lanzamientos de moneda o dos dados. Los sucesos mutuamente excluyentes, o incompatibles, no pueden ocurrir a la vez, así que P(A y B) = 0: cara y cruz en el mismo lanzamiento.
Dos sucesos con probabilidades positivas no pueden ser ambas cosas. Si A excluye B, saber que A ha ocurrido reduce a 0 la probabilidad de B, lo contrario de la independencia.
P(A | B) y P(B | A) suelen ser distintas. En la fila de intersección conocida, P(A | B) = 0,4 ÷ 0,5 = 0,8, pero P(B | A) = 0,4 ÷ 0,6 = 0,667.
La intersección también tiene límites. No puede superar ninguna de las dos probabilidades y debe valer al menos P(A) + P(B) − 1. Con 0,6 y 0,5 queda entre 0,1 y 0,5, de modo que un dato P(A y B) = 0,7 es imposible y la calculadora lo rechaza.
El teorema de Bayes actualiza una probabilidad a priori con la evidencia. Su denominador es la probabilidad total de la evidencia: P(B) = P(B | A) P(A) + P(B | no A) P(no A).
Considera una enfermedad que afecta al 1 % de las personas, una prueba que detecta el 90 % de los casos y una tasa de falsos positivos del 9 %, el ejemplo de cribado que usan Gigerenzer y colaboradores (2007). De cada 10 000 personas:
La sensibilidad del 90 % no es la probabilidad de que un positivo sea correcto, porque el grupo grande de personas sanas aporta la mayoría de los positivos.
| P(A) a priori | P(B dado A) | P(B dado no A) | P(B) | P(A dado B) actualizada |
|---|---|---|---|---|
| 0,01 | 0,9 | 0,09 | 0,0981 | 0,0917431193 |
| 0,1 | 0,9 | 0,09 | 0,171 | 0,5263157895 |
| 0,5 | 0,8 | 0,2 | 0,5 | 0,8 |
| 0 | 0,9 | 0,09 | 0,09 | 0 |
Con una probabilidad a priori del 10 %, el positivo de la misma prueba significa un 52,6 % de probabilidad: la respuesta depende de la prevalencia tanto como de la precisión. Una probabilidad a priori de 0 sigue siendo 0 sea cual sea la evidencia. Si la evidencia no puede ocurrir nunca, P(B) = 0 y la actualización no está definida.
Para sumas de dados, rachas de monedas y extracciones de cartas, la calculadora de dados, monedas y cartas resuelve los sucesos directamente. Para contar antes los resultados, usa la calculadora de permutaciones y combinaciones.
OpenStax explica la terminología de la probabilidad y las reglas de la suma y del producto. El capítulo 4 de Introduction to Probability, de Grinstead y Snell, desarrolla la probabilidad condicionada y la fórmula de Bayes.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: ejemplo de mamografía de Gigerenzer et al. (2007): aproximadamente 1 de cada 10 positivos tiene la enfermedad
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: P(A)P(B) = 0,2; regla de la suma: 0,5 + 0,4 − 0,2
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: por definición, P(A ∩ B) = 0; la unión es la suma directa
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Suma las dos probabilidades y resta la intersección: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Para sucesos independientes con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,4, la intersección es 0,5 × 0,4 = 0,2, por lo que P(A o B) = 0,7. Si son mutuamente excluyentes, la intersección es 0 y basta sumar: 0,3 + 0,45 = 0,75.
Los sucesos independientes no alteran la probabilidad del otro, por lo que P(A y B) = P(A) × P(B). Los mutuamente excluyentes no pueden ocurrir a la vez, así que P(A y B) = 0. Dos sucesos con probabilidades distintas de cero no pueden cumplir ambas condiciones: si A excluye B, saber que ocurrió A reduce la probabilidad de B a 0. Dos lanzamientos de moneda son independientes; cara y cruz en un mismo lanzamiento son mutuamente excluyentes.
Porque los falsos positivos de un grupo grande sin la condición pueden superar los verdaderos positivos del pequeño grupo que sí la tiene. Con una prevalencia del 1 %, sensibilidad del 90 % y tasa de falsos positivos del 9 %, solo el 9,17 % de los resultados positivos son verdaderos. Con una prevalencia del 10 %, la misma prueba da 0,09 / (0,09 + 0,081) = 52,6 %. Esta probabilidad es el valor predictivo positivo de la prueba y depende tanto de la prevalencia como de sus tasas de acierto y error.
Resta de 1 la probabilidad de que nunca ocurra: P(al menos una vez) = 1 − (1 − p)ⁿ, para n intentos independientes con probabilidad p cada uno. La probabilidad de obtener al menos un seis en 4 tiradas de dado es 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, aproximadamente 0,5177, algo más del 50 %. Con p = 0,01, hacen falta 69 intentos para superar el 50 %.
Esta calculadora incluye 6 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.