Calcula los productos escalar y vectorial de dos vectores en 2D o 3D, sus módulos, el ángulo entre ellos y la proyección de uno sobre el otro, con un dibujo.
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a · b = 32, por lo que la relación entre los vectores es: separados por 12.9332°; el paralelogramo que forman tiene un área de 7.34847.
Equivale a arccos(a·b / |a||b|), pero conserva la precisión cuando los vectores son casi paralelos.
El producto escalar multiplica las componentes correspondientes y las suma: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. El producto vectorial de dos vectores 3D es perpendicular a ambos, y su módulo es el área del paralelogramo que forman. El ángulo se calcula como θ = atan2(|a × b|, a · b), equivalente a arccos(a · b / |a||b|), pero preciso incluso con vectores casi paralelos. La proyección de a sobre b es (a · b / |b|²) b.
Los usos habituales incluyen física (trabajo y momento de una fuerza), gráficos 3D y álgebra lineal. Los vectores iniciales a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6) dan a · b = 32, a × b = (−3, 6, −3) y un ángulo aproximado de 12.93°.
Un producto escalar igual a 0 indica perpendicularidad; un producto vectorial nulo indica que los vectores son paralelos o que uno es nulo. En modo 2D, ambos están en el plano xy y su producto vectorial apunta en la dirección z: (3, 4) × (4, −3) = (0, 0, −25).
La calculadora trabaja con dos vectores numéricos, a y b, en dos o tres dimensiones. Devuelve el producto escalar, el producto vectorial, sus módulos, el ángulo y la proyección de a sobre b. Elige primero las dimensiones y después escribe cada componente en su campo. En 2D, los campos z quedan ocultos y ambas componentes z se consideran cero. En 3D, introduce x, y y z para cada vector.
Los valores iniciales son a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6). Su producto escalar es 32 y su producto vectorial es (−3, 6, −3). El primero es un número; el segundo, un vector. Lee el nombre de cada salida antes de copiarla, ya que no todas representan componentes de una misma respuesta. Las letras a y b también fijan el orden de la proyección y del producto vectorial.
Una expresión como 3i + 4j se introduce en 2D con x = 3 e y = 4. No pegues todo el vector entre paréntesis en un único campo de componente. Estos campos aceptan números o expresiones numéricas compatibles. Si las componentes representan medidas, conviértelas previamente a un sistema de unidades coherente. La calculadora no añade unidades físicas ni realiza conversiones al multiplicar las componentes.
| Dimensiones | a | b | Producto escalar | Producto vectorial |
|---|---|---|---|---|
| 3D | (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | 32 | (−3, 6, −3) |
| 2D | (3, 4) | (4, −3) | 0 | (0, 0, −25) |
| 2D | (1, 0) | (−2, 0) | −2 | (0, 0, 0) |
| 3D | (1, 2, 3) | (2, 4, 6) | 28 | (0, 0, 0) |
Para obtener el producto escalar se multiplican las componentes correspondientes y se suman los productos. En el ejemplo inicial: 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32. Intercambiar a y b conserva ese número. En la segunda fila, 3×4 + 4×(−3) = 0. Como ninguno de los dos vectores es nulo, ese cero indica perpendicularidad. El capítulo de producto escalar de OpenStax desarrolla su interpretación geométrica.
Para tres componentes, a × b = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx). Los subíndices señalan las componentes x, y y z. Con los valores iniciales se obtiene (12 − 15, 12 − 6, 5 − 8), es decir, (−3, 6, −3). Si inviertes el orden, cambia el signo: b × a = (3, −6, 3). Su dirección sigue la regla de la mano derecha.
El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo generado por a y b. La mitad es el área del triángulo correspondiente. En 2D, la herramienta sigue mostrando tres componentes porque sitúa ambos vectores en el plano xy. Solo la componente z puede ser distinta de cero. Para (3, 4) y (4, −3) es −25, mientras que el módulo es 25. El signo expresa orientación; el área permanece no negativa.
Un producto vectorial nulo puede significar vectores paralelos en el mismo sentido, vectores de sentidos opuestos o la presencia de un vector nulo. Ese resultado por sí solo no distingue los tres casos. Revisa las componentes y los módulos para interpretar cuál corresponde. La explicación de producto vectorial de OpenStax relaciona esta operación con la dirección perpendicular y el área de una superficie.
El ángulo entre dos vectores no nulos está entre 0° y 180°. Un producto escalar positivo corresponde a un ángulo agudo; uno negativo, a un ángulo obtuso; uno cero, a 90°. Para las entradas iniciales, el ángulo es aproximadamente 12.93315449°. La página presenta tanto grados como radianes. Comprueba la etiqueta de unidad si el resultado se va a utilizar después en una función trigonométrica o en otro ejercicio.
El cálculo utiliza atan2 con el módulo del producto vectorial y el producto escalar. Esta forma equivale a la relación habitual del coseno y reduce ciertos problemas numéricos cuando los vectores son casi paralelos. El dibujo sirve como orientación visual. Una perspectiva oblicua de un caso tridimensional puede hacer que el ángulo dibujado parezca distinto al ángulo real en el espacio, por lo que debes tomar el valor numérico como referencia.
Si alguno de los vectores es nulo, no tiene dirección y el ángulo queda sin definir. En ese caso las salidas angulares se omiten y aparece una advertencia. No interpretes un ángulo ausente como cero grados. Dos vectores no nulos paralelos del mismo sentido sí forman 0°; si apuntan en sentidos contrarios forman 180°. Son situaciones geométricas diferentes de un vector cuyas tres componentes valen cero.
La proyección escalar es (a·b)/|b|. La proyección vectorial es ((a·b)/|b|²)b. Ambas proyectan a sobre la dirección marcada por b; intercambiar las entradas cambia la pregunta. Una proyección escalar negativa indica una componente orientada en sentido contrario al de b. No representa una longitud negativa: el signo conserva información de orientación que el módulo no contiene.
Para a = (2, 3) y b = (4, 0), la proyección escalar es 2 y la vectorial es (2, 0). El componente paralelo a b carece de coordenada y porque b se sitúa en el eje x. Puedes comprobar el resultado verificando que la proyección es paralela a b y que a menos su proyección es perpendicular a b. Aquí, ese resto es (0, 3), cuyo producto escalar con (4, 0) vale cero.
El texto de las componentes se redondea a siete cifras significativas; otras salidas numéricas pueden usar su propia precisión de presentación. Por eso una identidad comprobada con componentes ya redondeadas puede cumplirse solo aproximadamente. Conserva suficientes cifras si continúas el cálculo. Proyectar sobre b = 0 no está definido y se omite. Si a = 0 y b no es nulo, la proyección sí es el vector cero, aunque el ángulo siga sin estar definido.
Este formulario admite dos o tres componentes por vector. No proporciona un campo de producto interior en dimensión arbitraria ni calcula derivadas de campos vectoriales. Tampoco presenta una salida independiente de distancia entre puntos. Puedes formar previamente un vector restando coordenadas, pero debes dejar claro ese paso para interpretar qué significan las componentes obtenidas. Un punto y un vector de desplazamiento utilizan coordenadas semejantes sin representar necesariamente el mismo objeto geométrico.
Utiliza la calculadora de matrices para operaciones matriciales, la calculadora de geometría analítica para problemas con puntos y la calculadora de números complejos para representaciones rectangulares y polares. Antes de informar un resultado, confirma el orden de a y b, las dimensiones seleccionadas, las unidades originales y la presencia de advertencias. Esos datos dan sentido a una cifra que, aislada, podría corresponder a varias operaciones distintas.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: cálculo manual
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 3·4 + 4·(−3) = 0; 3·(−3) − 4·4 = −25
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: b = 2a, por lo que a × b = 0 y θ = 0
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: a·b/|b| = 8/4; ángulo atan2(3, 2) = 56.3099324740202…°
Multiplica las componentes correspondientes y suma: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Para (1, 2, 3) · (4, 5, 6), el resultado es 4 + 10 + 18 = 32. El producto escalar también es |a||b| cos θ: es positivo si el ángulo es menor que 90°, vale 0 a 90° y es negativo para ángulos mayores; por ejemplo, (1, 0) · (−2, 0) = −2.
Para a = (a₁, a₂, a₃) y b = (b₁, b₂, b₃), a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). Para (1, 2, 3) × (4, 5, 6), se obtiene (12 − 15, 12 − 6, 5 − 8) = (−3, 6, −3). El resultado es perpendicular a ambos vectores, sigue la regla de la mano derecha y cambia de signo al invertir el orden: b × a = (3, −6, 3).
Usa cos θ = (a · b)/(|a||b|). Para (1, 2, 3) y (4, 5, 6), cos θ = 32/(√14 × √77) ≈ 0.974632, por lo que θ ≈ 12.93°. Cerca de 0° o 180°, la fórmula con arccos pierde precisión; por eso la calculadora usa θ = atan2(|a × b|, a · b), la forma equivalente que William Kahan recomienda en sus notas sobre errores de redondeo en coma flotante.
Los dos vectores son perpendiculares (ortogonales), siempre que ninguno sea nulo. (3, 4) · (4, −3) = 12 − 12 = 0, por lo que forman exactamente 90°. En física, la misma prueba muestra que una fuerza perpendicular al movimiento no realiza trabajo, ya que el trabajo es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento.
La proyección escalar de a sobre b es la longitud con signo de a en la dirección de b: a · b / |b|. La proyección vectorial es esa longitud multiplicada por el vector unitario de b: (a · b / |b|²) b. Al proyectar (2, 3) sobre (4, 0), la proyección escalar es 8/4 = 2 y la vectorial es (2, 0). Una proyección escalar negativa indica que a apunta parcialmente en sentido contrario a b.
Esta calculadora incluye 5 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.