Calcula hipotenusa, cateto desconocido, ángulos agudos, área y perímetro con dos valores, usando el teorema de Pitágoras y trigonometría.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 6
Los catetos de 3 y 4 cm forman el ángulo recto; la hipotenusa mide 5 cm, los ángulos agudos son 36.8699° y 53.1301°, y el área es 6 cm².
El circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
Un triángulo rectángulo queda determinado por dos datos independientes, siempre que al menos uno sea un lado. Con ambos catetos conocidos, el teorema de Pitágoras da la hipotenusa c = √(a² + b²). Con un lado y un ángulo agudo, se usan sin α = a/c, cos α = b/c y tan α = a/b. Los dos ángulos agudos siempre suman 90°.
Los catetos iniciales de 3 cm y 4 cm forman el triángulo 3-4-5: hipotenusa de 5 cm, área de 6 cm², perímetro de 12 cm y ángulos de 36.8699° y 53.1301°. Esta proporción sirve para comprobar una esquina: unas marcas a 3 m y 4 m del vértice sobre las dos paredes deben estar separadas por 5 m. También se calculan la altura sobre la hipotenusa (ab/c), el inradio ((a + b − c)/2) y el circunradio (c/2).
El ángulo α es opuesto al cateto a y β al cateto b. Los ángulos pueden introducirse en grados, radianes, grados centesimales o vueltas, y deben estar estrictamente entre 0° y 90°.
Elige los dos datos conocidos en el selector inicial. Con ambos catetos, introduce a, opuesto a α, y b, opuesto a β. Se obtienen hipotenusa c, ángulos agudos, área, perímetro, altura y radios. El resultado principal es el área. Si buscas el lado más largo, consulta expresamente la salida Hipotenusa c: su número tiene unidades de longitud y no debe confundirse con el valor principal en unidades cuadradas.
Para catetos de 3 cm y 4 cm, el teorema de Pitágoras da c = √(3² + 4²) = 5 cm. El área es 6 cm² y el perímetro 12 cm. El ángulo recto está frente a c; α está frente a a y β frente a b. Esa correspondencia determina qué razones de seno, coseno y tangente puedes utilizar al cambiar a un modo con lado y ángulo.
La tabla emplea longitudes en centímetros y áreas en centímetros cuadrados. Todas las ternas son exactas, de modo que sus hipotenusas son enteras. Puedes introducir los dos catetos o utilizar un cateto y la hipotenusa para recuperar el otro. Conserva el papel geométrico de cada lado al cambiar de modalidad; la misma cifra en otro campo no representa necesariamente el mismo problema.
| Cateto a, cm | Cateto b, cm | Hipotenusa c, cm | Área, cm² | Perímetro, cm |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 12 |
| 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| 6 | 8 | 10 | 24 | 24 |
| 8 | 15 | 17 | 60 | 40 |
| 7 | 24 | 25 | 84 | 56 |
Con 5 y 12, c² = 25 + 144 = 169 y c = 13. Con 8 y 15, c² = 64 + 225 = 289 y c = 17. Multiplicar todos los lados por un factor positivo conserva los ángulos. Por eso 6–8–10 tiene los mismos ángulos que 3–4–5, pero cuatro veces su área. Las áreas se escalan con el cuadrado del factor lineal.
Si conoces a y c, calcula b = √(c² − a²); si conoces b y c, calcula a de manera análoga. Con a = 5 y c = 13 se obtiene b = √(169 − 25) = 12. Aquí se restan los cuadrados. Sumarlos calcularía una hipotenusa de otro triángulo y no el cateto desconocido del problema que has introducido.
La hipotenusa debe superar al cateto positivo conocido. Si ambos fueran iguales, el cateto restante sería cero y la figura estaría degenerada. Si c fuera menor, habría un valor negativo bajo la raíz real. Esas entradas se rechazan. Un error no describe un triángulo válido de área cero ni una hipotenusa negativa. Corrige la asignación de lados antes de interpretar el dibujo.
Pitágoras exige un ángulo recto. Dos lados cualesquiera de un triángulo oblicuo no permiten obtener el tercero mediante esa suma de cuadrados. Utiliza el solucionador general de triángulos cuando conozcas otras combinaciones de lados y ángulos. Si un plano medido solo parece recto, aplicar Pitágoras supone adoptar un modelo ideal: el cálculo no demuestra que la esquina física mida exactamente noventa grados.
Las otras opciones combinan un lado con α o β. Para α, sin α = a/c, cos α = b/c y tan α = a/b. Para β se intercambian los catetos opuesto y adyacente. Identifica qué ángulo aparece en tu dibujo y qué lado es conocido. No utilices cualquier longitud disponible como si fuera la hipotenusa, porque ese cambio alteraría todas las relaciones.
Con c = 10 cm y α = 30°, a = 10 sin 30° = 5 cm, y b = 10 cos 30° = 5√3 cm, aproximadamente 8.660254 cm. El otro ángulo es β = 60°. Con a = 7 cm y α = 45°, los catetos son iguales y c = 7√2 cm. Estos casos especiales permiten comprobar el resultado sin depender exclusivamente de una lectura redondeada de la gráfica.
Los campos angulares admiten grados, radianes, grados centesimales y vueltas. Su valor debe corresponder a un ángulo estrictamente entre 0° y 90°. El ángulo recto ya forma parte fija del triángulo y no puede ocupar también la posición de α o β. Una entrada de pi/6 radianes representa el mismo ángulo agudo que 30°, siempre que la unidad seleccionada sea realmente radianes.
Los campos de longitud admiten unidades compatibles y el selector de resultados establece su unidad base. Un triángulo de catetos 6 in y 8 in tiene hipotenusa 10 in = 25.4 cm. Su área es 24 in² = 154.8384 cm². La conversión de área utiliza 2.54², no 2.54 una sola vez. Mantén las unidades junto a cada número para distinguir la transformación de una longitud de la de una superficie.
La altura sobre la hipotenusa es ab/c. En 3–4–5 vale 2.4 cm. Utilizar c por esa altura y dividir entre dos devuelve la misma área de 6 cm² que ab/2. Son dos bases distintas del mismo triángulo con sus respectivas alturas perpendiculares. Una altura no tiene por qué coincidir con un lado: en este caso parte del vértice del ángulo recto y cae sobre c.
El inradio es (a + b − c)/2, que da 1 cm; el circunradio es c/2, que da 2.5 cm. El primero corresponde al círculo tangente a los tres lados y el segundo al que pasa por los tres vértices. No son medidas intercambiables. La posición del circuncentro de un triángulo rectángulo está en el punto medio de la hipotenusa, coherente con que su radio sea la mitad de ella.
El dibujo ayuda a relacionar etiquetas y datos, pero no es una escala física. Para comprobar una esquina con medidas 3–4–5, la precisión depende de cómo se tomen y sitúen las marcas. El resultado de la página no certifica una construcción. Conserva suficientes cifras en los cálculos intermedios y redondea el resultado final según la precisión útil de las medidas, no según todos los decimales disponibles.
Comprueba que c sea el lado mayor y que α + β = 90°. Para radicales independientes, consulta la calculadora de raíces. Si los catetos proceden de diferencias entre coordenadas, utiliza geometría analítica. Allí la distancia corresponde a la hipotenusa formada por las separaciones horizontal y vertical, con las hipótesis de un plano cartesiano y una escala coherente entre ejes.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: terna 3-4-5; h = 3·4/5; r = (3 + 4 − 5)/2
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: terna 5-12-13
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: el lado opuesto a 30° mide la mitad de la hipotenusa
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tan 45° = 1, por lo que b = a
Eleva al cuadrado los catetos, suma y extrae la raíz cuadrada: c = √(a² + b²). Con catetos 3 y 4 resulta √25 = 5; con 6 y 8 pulgadas, la hipotenusa mide 10 pulgadas. Si conoces un cateto y su ángulo opuesto, divide entre el seno: c = a / sin α. Un cateto de 5 cm opuesto a 30° corresponde a una hipotenusa de 10 cm.
Para un cateto desconocido, resta los cuadrados: b = √(c² − a²). Con hipotenusa 13 y cateto 5 se obtiene √(169 − 25) = 12. La hipotenusa debe superar a ambos catetos. Con un lado y un ángulo, usa las razones trigonométricas: opuesto = hipotenusa × sin α y adyacente = hipotenusa × cos α.
En un triángulo 30-60-90, los lados están en proporción 1 : √3 : 2: el lado opuesto a 30° mide la mitad de la hipotenusa. Con hipotenusa 10, los catetos miden 5 y aproximadamente 8.6603. En un triángulo 45-45-90, los catetos son iguales y la hipotenusa mide √2 ≈ 1.4142 veces cada cateto: con catetos 7, mide aproximadamente 9.8995.
Es una regla mnemotécnica inglesa para las tres razones de un triángulo rectángulo: seno = opuesto/hipotenusa, coseno = adyacente/hipotenusa y tangente = opuesto/adyacente. En el triángulo 3-4-5, el ángulo opuesto al lado 3 tiene seno 0.6, coseno 0.8 y tangente 0.75; las funciones inversas devuelven el mismo ángulo, aproximadamente 36.87°.
Desde el vértice, marca 3 unidades en un lado y 4 en el otro. La distancia entre marcas es exactamente 5 si el ángulo es de 90°. Una diagonal mayor indica un ángulo más abierto: 5.05 m con lados de 3 m y 4 m corresponde a unos 91.2°; con 4.95 m, a unos 88.8°. Usar múltiplos como 6-8-10 o 9-12-15 ayuda a comprobar superficies grandes.
Esta calculadora incluye 6 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.