Obtén lados, ángulos, área, perímetro, alturas y radios inscrito y circunscrito a partir de tres medidas, con las dos soluciones SSA posibles.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 8
El triángulo tiene lados 7, 8 y 9 cm, con ángulos 48.1897°, 58.4119° y 73.3985°; es escaleno, acutángulo y su área es 26.8328 cm².
Δ es el área y s, el semiperímetro.
Tres medidas compatibles pueden determinar un triángulo si al menos una es un lado; el caso LLA (SSA) puede tener dos soluciones. La ley de los cosenos, c² = a² + b² − 2ab cos C, resuelve tres lados (LLL/SSS) o dos lados y el ángulo comprendido (LAL/SAS). La ley de los senos, a/sin A = b/sin B = c/sin C, resuelve dos ángulos y un lado (ALA/ASA o AAL/AAS). El área se obtiene con ½ab sin C. También se calculan el perímetro, las tres alturas, el inradio y el circunradio.
Los lados iniciales de 7, 8 y 9 cm dan ángulos de 48,19°, 58,41° y 73,40°, y un área de 26,8328 cm². En topografía y construcción de cubiertas se usan estas mismas leyes para obtener longitudes que no pueden medirse directamente a partir de otras medidas accesibles.
Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos (LLA/SSA) pueden corresponder a dos triángulos, a uno o a ninguno. Con a = 6, b = 8 y A = 35°, son válidos B = 49,89° y B = 130,11°: se dibujan ambos triángulos y se comparan en una tabla.
Selecciona SSS, SAS, ASA, AAS o SSA según las medidas disponibles. Las minúsculas a, b y c son longitudes; las mayúsculas A, B y C son sus ángulos opuestos. En SAS, C es el ángulo comprendido entre a y b. Relacionar estas letras con tu dibujo evita confundir un ángulo entre lados con otro situado frente a uno de ellos. Los campos ocultos de otra modalidad no añaden medidas al caso actual.
El ejemplo inicial utiliza 7, 8 y 9 cm en SSS. Su área es aproximadamente 26.832816 cm², su perímetro 24 cm y sus ángulos aproximadamente 48.189685°, 58.411864° y 73.398450°. El lado mayor está frente al ángulo mayor, aunque no sea el lado llamado c. Lee las salidas de área, longitudes y ángulos por separado: no todas corresponden a la magnitud que aparece en el resultado principal.
SSS pide tres lados. SAS pide dos lados y el ángulo comprendido. ASA utiliza A y B con c entre sus vértices; AAS utiliza A y B con el lado a opuesto a A. SSA pide a, b y el ángulo A opuesto a a. Dos ángulos solos fijan proporciones, pero hace falta una longitud para establecer el tamaño. Esta herramienta no incorpora una modalidad exclusivamente angular.
Un equilátero tiene tres lados iguales y ángulos de 60°. Con lado x, su altura es x√3/2, su área x²√3/4 y su perímetro 3x. Selecciona SSS e introduce la misma longitud en los tres campos. Para lado 5 cm, el área es aproximadamente 10.825318 cm², la altura 4.330127 cm y el perímetro 15 cm. Las salidas decimales que contienen √3 son aproximaciones.
La tabla usa centímetros y centímetros cuadrados. Cada fila corresponde a a = b = c; las alturas respecto a los tres lados coinciden.
| Lado, cm | Altura, cm | Área, cm² | Perímetro, cm |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.866025 | 0.433013 | 3 |
| 2 | 1.732051 | 1.732051 | 6 |
| 3 | 2.598076 | 3.897114 | 9 |
| 4 | 3.464102 | 6.928203 | 12 |
| 5 | 4.330127 | 10.825318 | 15 |
| 6 | 5.196152 | 15.588457 | 18 |
| 8 | 6.928203 | 27.712813 | 24 |
| 10 | 8.660254 | 43.30127 | 30 |
| 12 | 10.392305 | 62.353829 | 36 |
Duplicar el lado duplica el perímetro y cuadruplica el área. Por eso un equilátero de lado 10 cm tiene cuatro veces el área de uno de lado 5 cm. La palabra «equilátero» basta para fijar los ángulos, pero no proporciona por sí sola una superficie numérica. Una longitud es necesaria para distinguir entre figuras semejantes de tamaños diferentes.
Si los lados iguales miden L y la base mide b, la altura biseca la base y vale h = √(L² − (b/2)²). Después, área = bh/2 y perímetro = 2L + b. En este ejemplo escribe los lados iguales en a y b del formulario y la base en c. La letra b de la fórmula descriptiva de base no debe confundirse con la etiqueta del segundo lado: consulta la salida de altura sobre c.
Con 5, 5 y 6 cm, cada media base mide 3 cm y la altura es 4 cm. El área es 12 cm², el perímetro 16 cm, los ángulos A y B son aproximadamente 53.130102° y el ángulo del vértice C es 73.739795°. Utilizar el lado inclinado de 5 cm como si fuera la altura daría un área excesiva.
| Lado igual, cm | Base, cm | Altura, cm | Área, cm² | Perímetro, cm |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 6 | 4 | 12 | 16 |
| 5 | 8 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 12 | 8 | 48 | 32 |
| 13 | 10 | 12 | 60 | 36 |
| 13 | 24 | 5 | 60 | 50 |
| 17 | 16 | 15 | 120 | 50 |
La base debe ser estrictamente menor que 2L. Una base igual a la suma de los lados iguales produce una figura plana sin área; una mayor no permite cerrarla. Saber que un triángulo es isósceles no determina su altura, área o ángulo del vértice sin otra medida compatible. Los ejemplos de la tabla tienen alturas enteras que facilitan la comprobación mediante Pitágoras.
Todo triángulo plano no degenerado cumple A + B + C = 180°. Con A = 40° y B = 60°, C = 80°. Selecciona ASA con c = 10 cm para fijar además la escala. Con tres lados se utiliza la ley de cosenos, por ejemplo cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). La identidad de Pitágoras no sustituye a esa ley en un triángulo arbitrario.
Para el área desde tres lados, la fórmula de Herón usa el semiperímetro s = (a + b + c)/2 y Δ = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Con dos lados y su ángulo comprendido, Δ = ab sin C/2. Si solo conoces base y altura perpendicular, utiliza el modo correspondiente de área y perímetro; ese par de datos no coincide con las modalidades de este solucionador.
| Modo | Medidas introducidas | Lado c, cm | Área, cm² | Soluciones |
|---|---|---|---|---|
| SSS | a=7, b=8, c=9 | 9 | 26.832816 | 1 |
| SAS | a=5, b=7, C=49° | 5.298667 | 13.207418 | 1 |
| ASA | A=40°, B=60°, c=10 | 10 | 28.262897 | 1 |
| AAS | A=30°, B=45°, a=10 | 19.318517 | 68.30127 | 1 |
| SSA | A=35°, a=6, b=8 | 10.419047 | 23.904479 | 2 |
Con A agudo, compara a con h = b sin A. Si a < h, no existe triángulo; si a = h, existe uno rectángulo; si h < a < b, pueden existir dos; si a ≥ b, queda uno. Con A recto u obtuso, a debe superar b. Son condiciones sobre el lado opuesto al ángulo conocido y no sobre el campo que parezca mayor por su posición en pantalla.
Para a = 6 cm, b = 8 cm y A = 35° hay dos triángulos válidos. La página muestra el número de soluciones, dos dibujos, las salidas del segundo triángulo y una tabla comparativa. El área principal pertenece al primero. Conserva ambos resultados mientras el enunciado no aporte otro dato que permita escoger uno.
| Triángulo | Ángulo B, ° | Ángulo C, ° | Lado c, cm | Área, cm² |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 49.886408 | 95.113592 | 10.419047 | 23.904479 |
| 2 | 130.113592 | 14.886408 | 2.687386 | 6.165685 |
Al volver a una modalidad de solución única desaparecen las salidas del segundo triángulo y su comparación. Una entrada incompatible produce un error; no significa que exista un triángulo válido con área cero. Para un caso cuyo ángulo recto ya conoces, el calculador de triángulos rectángulos ofrece campos más directos.
Las longitudes admiten unidades compatibles y el selector de resultados fija las unidades de lados, alturas, perímetros y radios. El área utiliza su cuadrado. Con lados 3 in, 4 in y 5 in, el perímetro mostrado en centímetros es 30.48 cm y el área 38.7096 cm². Los campos angulares admiten grados, radianes, grados centesimales y vueltas; las salidas A, B y C se muestran en grados.
Los lados deben ser positivos y, en SSS, cada uno menor que la suma de los otros dos. Los ángulos conocidos deben estar estrictamente entre 0° y 180° y, si se suministran dos, sumar menos de 180°. El inradio corresponde al círculo inscrito y el circunradio al círculo que pasa por los vértices. Una altura es perpendicular a su lado. Redondea según la precisión de las medidas, conservando suficientes cifras durante los pasos intermedios.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: triángulo rectángulo, área ½·3·4, r = (3 + 4 − 5)/2 y R = hipotenusa/2
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: ley de los senos, a = 10·sin40/sin80
Con dos lados y el ángulo comprendido, usa la ley de los cosenos: c² = a² + b² − 2ab cos C. Para a = 5, b = 7 y C = 49°, c = √(74 − 70 cos 49°) ≈ 5,2987. Con dos ángulos y cualquier lado, usa la ley de los senos: a/sin A = b/sin B. Si C = 90°, el término del coseno se anula y se obtiene el teorema de Pitágoras.
Es el caso LLA (SSA): dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos pueden formar dos triángulos diferentes. Para A agudo, calcula h = b sin A. Si a < h, no hay triángulo; si a = h, hay uno rectángulo; si h < a < b, hay dos; y si a ≥ b, hay uno. Para a = 6, b = 8 y A = 35°, h = 4,589, y B puede ser 49,89° o 130,11°.
Despeja en la ley de los cosenos: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc), y de forma análoga para B y C. Con lados 7, 8 y 9, cos A = (64 + 81 − 49)/144 ≈ 0,6667, de donde A ≈ 48,19°. Se obtienen igualmente B ≈ 58,41° y C ≈ 73,40°; suman 180°. El mayor ángulo siempre se opone al lado más largo.
Multiplica la mitad de dos lados por el seno del ángulo comprendido: área = ½ab sin C. Con lados 7 y 8 y C = 73,40°, se obtiene ½ × 7 × 8 × 0,9583 ≈ 26,83. Si solo se conocen los tres lados, la fórmula de Herón da el mismo resultado: el semiperímetro es 12 y √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83.
Compara el cuadrado del lado mayor c con la suma de los cuadrados de los otros dos. Si c² < a² + b², es acutángulo; si son iguales, rectángulo; si c² es mayor, obtusángulo. Con 7, 8 y 9, 81 < 113: acutángulo. Con 3, 4 y 5, 25 = 25: rectángulo. Con 4, 5 y 8, 64 > 41: obtusángulo.
Esta calculadora incluye 8 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.