8^(2/3)
- கணக்கிட வேண்டியது
- அடுக்கு xʸ
- அடிமானம் x
- 8
- அடுக்கு y
- 2/3
- முடிவு
- 4
- துல்லிய வடிவம்
- 4
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: கையால் ∛8 = 2, 2² = 4
அடுக்கு மற்றும் மூலக் கணிப்பான்
பின்ன, எதிர்ம அடுக்குகள் உட்பட எந்த அடுக்கிற்கும் ஓர் எண்ணை உயர்த்துங்கள்; அல்லது அதன் வர்க்கமூலம், கனமூலம், n-ஆம் மூலத்தைக் காணுங்கள். 5√2 போன்ற சுருக்கிய துல்லிய வடிவமும் கிடைக்கும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 9
முடிவு
முடிவு: 6.349604207873
- துல்லிய வடிவம்
- 4∛4
16-இன் 2/3 அடுக்கு என்பது 4∛4 ≈ 6.34960420787.
y = t^(2/3)
கணக்கிடும் முறை S
பின்ன அடுக்கை மூலமாக எழுதுதல்
பகுதி 3 மூலத்தின் படி; தொகுதி 2 அடுக்கு.
முதலில் அடுக்கிற்கு உயர்த்துதல்
முழு கனங்கள் காரணிகளை வெளியே எடுத்தல்
தசம மதிப்பு
அடுக்கு மற்றும் மூலக் கணிப்பான் பற்றி
அடிமானத்தை அதனாலேயே எத்தனை முறை பெருக்க வேண்டும் என்பதை அடுக்கு குறிக்கிறது: 2⁵ = 32. முழு எண்களுக்கு அப்பாலும் விதிகள் பொருந்தும். எதிர்ம அடுக்கு தலைகீழியைக் குறிக்கும் (2⁻³ = 1/8); பின்ன அடுக்கு m/k ஒரு மூலத்தைக் குறிக்கும்: x^(m/k) = (ᵏ√x)^m. எனவே 8^(2/3) = (∛8)² = 4. முழு அடுக்குக் காரணிகளை வெளியே எடுத்தால் மூலம் சுருங்கும்: √50 = √(25 × 2) = 5√2.
இயற்கணிதப் பயிற்சிகள், மூலங்களைச் சுருக்குதல், பின்ன அடுக்குகள் கொண்ட சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றிற்கு இது பயன்படும். தொடக்கக் கணக்கு 16^(2/3) = ∛256 = 4∛4 ≈ 6.3496. மேலும் 54 = 27 × 2 என்பதால் 54-இன் கனமூலம் 3∛2.
துல்லிய வடிவம் கிடைக்கும்போது விடை பின்னமாகவோ சுருக்கிய மூலமாகவோ காட்டப்படும்; தசம மதிப்பு 12 இடங்கள் வரை காட்டப்படும். எதிர்ம எண்களின் ஒற்றைப் படி மூலங்கள் மெய்யெண்கள்: (−8)^(1/3) = −2. எதிர்ம எண்களின் இரட்டைப் படி மூலங்களுக்கு மெய்யெண் மதிப்பு இல்லை. இங்கு 0⁰ என்பது 1 எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
அடுக்கா, மூலமா என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்
அடுக்கு முறையில் அடிமானம் x, அடுக்கு y ஆகியவற்றை உள்ளிடவும். மூலம் முறையில் எண் x, மூலத்தின் படி n ஆகியவற்றை உள்ளிடவும்; n என்பது 2 முதல் 1000 வரையிலான முழு எண். வர்க்கமூலத்திற்கு 2, கனமூலத்திற்கு 3. தமிழ் இலக்கங்களிலும் எழுதலாம்: ௮-இன் ௨/௩ அடுக்கு 4.
முழு எண்கள், தசமங்கள், 27/8 போன்ற பின்னங்கள், கணிதக் கோவைகள் ஏற்கப்படுகின்றன. எதிர்ம அடிமானத்தைத் தெளிவாக உள்ளிடவும். −2^2 என்ற கோவையில் அடுக்கு முதலில் செயல்படும்; (-2)^2 என்பது எதிர்ம எண்ணையே வர்க்கப்படுத்தும். தனி அடிமானப் புலத்தில் -2, அடுக்கில் 2 கொடுத்தால் 4 கிடைக்கும்.
| செயல் | துல்லிய வடிவம் | தசம மதிப்பு |
|---|---|---|
| 8^(2/3) | 4 | 4 |
| 2^(−3) | 1/8 | 0.125 |
| (27/8)^(2/3) | 9/4 | 2.25 |
| √50 | 5√2 | ≈ 7.071067811865 |
| ∛54 | 3∛2 | ≈ 3.779763149685 |
| (−8)^(1/3) | −2 | −2 |
| −32-இன் ஐந்தாம் மூலம் | −2 | −2 |
பின்ன அடுக்கை மூலமாக மாற்றுதல்
சுருக்கிய பின்னம் m/k-இல் பகுதி k மூலத்தின் படி; தொகுதி m அடுக்கு. 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. அடிமானம் நேர்மமாக இருந்தால் முதலில் அடுக்கிற்கு உயர்த்தி மூலத்தை எடுத்தாலும் இதே மதிப்பு கிடைக்கும். தசமம் 0.5 என்பது 1/2; எனவே 2^0.5 = √2. ஆனால் 0.333 என்பது துல்லியமாக 1/3 அல்ல; கனமூலத்திற்கு 1/3 என உள்ளிடவும்.
எதிர்ம அடுக்கு தலைகீழியைக் குறிக்கும்: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. பூச்சியத்தின் எதிர்ம அடுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை. 0⁰-க்கு இந்தக் கணிப்பான் 1 என்ற இயற்கணித வழக்கைப் பயன்படுத்தி எச்சரிக்கையும் காட்டும்; எல்லை மதிப்புக் கணக்கில் அதே குறியீடு தேராச் சார்பு வடிவமாக இருக்கலாம்.
மூலத்தைச் சுருக்குதல்
√50-இல் 50 = 25 × 2; எனவே √50 = 5√2. ∛54-இல் 54 = 27 × 2; எனவே ∛54 = 3∛2. பின்னத்திற்கு (27/8)^(2/3) = (3/2)² = 9/4. துல்லிய வடிவத்தையும் தசம அணுகுமதிப்பையும் தனித்தனியாகப் படிக்கவும்; √2-இன் தசம இலக்கங்களை நிறுத்தி எழுதியது துல்லியமான சமம் அல்ல.
துல்லிய வடிவம் மிகப்பெரியதாக இருந்தாலோ விகிதமுறா உள்ளீடு இருந்தாலோ தசம விடை மட்டும் வரலாம். பெரிய மீதிக் காரணிகளை முழுமையாகத் தேடாதபோது படிகளில் எச்சரிக்கை வரும்; காட்டப்படும் மூலம் மேலும் சுருக்கக்கூடியதாக இருக்கலாம். துல்லிய வடிவப் புலம் காலியாக இருப்பது விடையே இல்லை என்பதைக் குறிக்காது.
எதிர்ம எண்களின் மெய்யெண் மூலங்கள்
ஒற்றைப் படி மூலங்கள் எதிர்ம எண்களுக்கும் உண்டு: (−2)³ = −8, எனவே ∛(−8) = −2. சுருக்கிய பின்ன அடுக்கின் பகுதி இரட்டை எண் எனில் எதிர்ம அடிமானத்திற்கு மெய்யெண் விடை இல்லை. √(−4) போன்றவற்றிற்கு கலப்பெண் கணிப்பான் தேவை. முதன்மை வர்க்கமூலம் எப்போதும் எதிர்மமற்றது; √9 என்பது 3. x² = 9 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ±3 என்பது வேறு கேள்வி.
OpenStax-இன் விகிதமுறு அடுக்குகள் விளக்கம் மூலங்களையும் பின்ன அடுக்குகளையும் இணைக்கிறது. தெரியாத அடுக்கைக் காண மடக்கைக் கணிப்பான், மூலக்குறிக்குள் காரணிகளைப் பார்க்க பகா காரணி பிரிப்பு உதவும்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
54-இன் கனமூலம்
- கணக்கிட வேண்டியது
- மூலம் ⁿ√x
- எண் x
- 54
- மூலத்தின் படி n
- 3
- முடிவு
- 3.779763149685
- துல்லிய வடிவம்
- 3∛2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: 54 = 27 × 2
2^−3
- கணக்கிட வேண்டியது
- அடுக்கு xʸ
- அடிமானம் x
- 2
- அடுக்கு y
- -3
- முடிவு
- 0.125
- துல்லிய வடிவம்
- 1/8
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
எதிர்ம அடிமானம், ஒற்றைப் படி மூலம்: (−8)^(1/3)
- கணக்கிட வேண்டியது
- அடுக்கு xʸ
- அடிமானம் x
- -8
- அடுக்கு y
- 1/3
- முடிவு
- -2
- துல்லிய வடிவம்
- −2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: (−2)³ = −8; இது மெய்யெண் கனமூலம்
கேள்விகள்
பின்ன அடுக்கு என்றால் என்ன?
பகுதி மூலத்தையும் தொகுதி அடுக்கையும் குறிக்கும்: x^(m/k) = (ᵏ√x)^m. எனவே 8^(2/3) என்பதில் 8-இன் கனமூலமான 2-ஐ வர்க்கப்படுத்தினால் 4 கிடைக்கும்; 16^(1/2) = √16 = 4. தசம அடுக்கைப் பின்னமாக எழுதினாலும் இதே விதி பொருந்தும்: 2^0.5 = 2^(1/2) = √2 ≈ 1.41421.
எதிர்ம அடுக்கு என்றால் என்ன?
எதிர்ம அடுக்கு, நேர்ம அடுக்கின் தலைகீழியைக் குறிக்கிறது: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. எனவே 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0.125; 10⁻² = 0.01. அடுக்குகளை வகுக்கும் விதியிலிருந்து இது வருகிறது: 2³ ÷ 2⁶ = 2³⁻⁶ = 2⁻³. விடையின் குறியை அடிமானமும் அடுக்கும் தீர்மானிக்கின்றன. பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்கிற்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை; அது பூச்சியத்தால் வகுப்பதைக் குறிக்கும்.
வர்க்கமூலத்தை எப்படிச் சுருக்குவது?
எண்ணை மிகப்பெரிய முழு வர்க்கக் காரணியாகவும் மீதியாகவும் பிரித்து, வர்க்கக் காரணியின் மூலத்தை வெளியே எடுக்கவும். 50 = 25 × 2 என்பதால் √50 = 5√2 ≈ 7.0711. உயர் மூலங்களுக்கும் முழுக் கனங்கள், நான்காம் அடுக்குகள் போன்றவற்றைக் கொண்டு இதே முறை பொருந்தும்: 54 = 27 × 2 என்பதால் ∛54 = 3∛2. √2 அல்லது ∛4 போல, மூலக்குறிக்குள் அத்தகைய காரணி எதுவும் மீதமில்லாதபோது சுருக்கம் முடியும்.
0-இன் 0-ஆம் அடுக்கு ஏன் 1?
வழக்கப்படி 0 உட்பட எல்லா x-க்கும் x⁰ = 1 எனக் கொள்ளலாம். அப்போது ஈருறுப்புத் தேற்றம், eˣ = Σ xⁿ/n! போன்ற அடுக்குத் தொடர்கள் x = 0-இலும் சரியாக அமையும்; Knuth-இன் Concrete Mathematics (§5.1) இந்த வரையறையை ஆதரிக்கிறது. ஆனால் எல்லை மதிப்புகளில் 0⁰ ஒரு தேராச் சார்பு வடிவம்: x, y இரண்டும் 0-ஐ அணுகும்போது xʸ வெவ்வேறு மதிப்புகளை அணுகலாம்.
எதிர்ம எண்ணின் வர்க்கமூலத்தைக் காண முடியுமா?
மெய்யெண்களில் முடியாது; எந்த மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் −4 ஆகாது. ஒற்றைப் படி மூலங்கள் வேறுபடும்: எதிர்ம எண்ணின் கனம் எதிர்மமாகவே இருக்கும்; ∛(−8) = −2, மேலும் −32-இன் ஐந்தாம் மூலம் −2. எதிர்ம எண்களின் இரட்டைப் படி மூலங்கள் கலப்பெண்களில்தான் அமையும்: √(−4) = 2i. அவற்றைக் கலப்பெண் கணிப்பானில் கணக்கிடலாம்.
இந்தக் கணிப்பான் பற்றி
ஆதாரங்கள்
ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 9 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.