(3 + 4i)(1 − 2i)
- கணிதச் செயல்
- z₁ × z₂ பெருக்கல்
- z₁
- 3 + 4i
- z₂
- 1 - 2i
- முடிவு
- 11 − 2i
- மெய்ப்பகுதி
- 11
- கற்பனைப் பகுதி
- -2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i
கலப்பு எண் கணிப்பான்
சிக்கலெண்களைக் கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும், வகுக்கவும்; அடுக்குகள், n-ஆம் மூலங்கள், a + bi-இன் துருவ வடிவம் ஆகியவற்றை Argand வரைபடத்துடன் காணவும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7
முடிவு
11 − 2i
முடிவு: 11 − 2i
- மெய்ப்பகுதி
- 11
- கற்பனைப் பகுதி
- −2
- மட்டு |z|
- 11.1803398875
- முதன்மைக் கோணம்
- −10.3048464688
- துருவ வடிவம்
- 11.18034 ∠ −10.304846°
z₁ × z₂ = 11 − 2i; துருவ வடிவில் இது 11.18034 ∠ −10.304846°.
Argand வரைபடம்: zᵣ விடையைக் குறிக்கும் (முறிந்த கோடு: அலகு வட்டம்)
கணக்கிடும் முறை S
i² = −1 பயன்படுத்தி விரித்துப் பெருக்கவும்
விடையின் துருவ வடிவம்
கலப்பு எண் கணிப்பான் பற்றி
z = a + bi என்ற சிக்கலெண்ணில் a மெய்ப்பகுதி, b கற்பனைப் பகுதி; i² = −1. செவ்வக வடிவில் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் செய்யலாம்; வகுக்கும்போது தொகுதியையும் பகுதியையும் வகுத்தலெண்ணின் இணைச் சிக்கலெண்ணால் பெருக்கலாம். அடுக்குகளுக்கும் மூலங்களுக்கும் z = r(cos θ + i sin θ) என்ற துருவ வடிவம் பயன்படும்: De Moivre வாய்பாடு r-ஐ n-ஆம் அடுக்கிற்கு உயர்த்தி θ-ஐ n-ஆல் பெருக்குகிறது.
மின் பொறியியலில் AC மின்மறுப்புக்கும் கட்டச் சுட்டிகளுக்கும் சிக்கலெண்கள் பயன்படுகின்றன; இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாகவும் வருகின்றன. இயல்புநிலைப் பெருக்கல் (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i; அதன் மட்டு √125 ≈ 11.1803.
உள்ளீடு செவ்வக வடிவிலோ (3 + 4i; i-க்குப் பதில் j-யும் ஏற்கப்படும்), துருவ வடிவிலோ (2∠90) இருக்கலாம். கோணங்கள் பாகை, ரேடியன் அல்லது கிரேடியன் அமைப்பைப் பின்பற்றுகின்றன; முதன்மைக் கோணம் −180° முதல் 180° வரை காட்டப்படும். Argand வரைபடம் ஒவ்வோர் எண்ணையும் ஆதியிலிருந்து செல்லும் அம்பாகக் காட்டுகிறது.
சிக்கலெண்ணை உள்ளிடுவதும் செயலைத் தேர்ந்தெடுப்பதும்
3 + 4i, -2i, 1/2 + 3/4i போன்ற செவ்வக வடிவில் எழுதலாம்; கற்பனை அலகு i-க்குப் பதில் j-யும் ஏற்கப்படும். தமிழ் இலக்கங்களில் ௩ + ௪i என்றும் எழுதலாம். மெய்ப்பகுதியையும் கற்பனைப் பகுதியையும் கூட்டும்போது தனித்தனியாகக் கையாளவும். பெருக்கலில் i² = −1 பயன்படுத்தவும்: (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i.
வகுத்தலில் வகுத்தலெண்ணின் இணைச் சிக்கலெண்ணால் மேலேயும் கீழேயும் பெருக்கவும். (3 + 4i)/(1 − 2i)-க்கு இணைச் சிக்கலெண் 1 + 2i; தொகுதி −5 + 10i, பகுதி 5; விடை −1 + 2i. இதை (1 − 2i)-ஆல் மீண்டும் பெருக்கினால் 3 + 4i கிடைக்க வேண்டும். பூச்சியத்தால் வகுத்தல் ஏற்கப்படாது. OpenStax சிக்கலெண் பாடம் இந்த விதிகளை விளக்குகிறது.
| செயல் | z₁ | z₂ அல்லது n | விடை |
|---|---|---|---|
| கூட்டல் | 3 + 4i | 1 − 2i | 4 + 2i |
| கழித்தல் | 3 + 4i | 1 − 2i | 2 + 6i |
| பெருக்கல் | 3 + 4i | 1 − 2i | 11 − 2i |
| வகுத்தல் | 3 + 4i | 1 − 2i | −1 + 2i |
| பெருக்கல் | 1/2 + 3/4i | 2 | 1 + 1.5i |
| அடுக்கு | 1 + i | 8 | 16 |
| எதிர்மறை அடுக்கு | 1 + i | −1 | 0.5 − 0.5i |
| வர்க்கமூலங்கள் | −4 | 2 | 2i, −2i |
துருவ வடிவில் கோண அலகு முக்கியம்
z = a + bi எனில் மட்டு r = √(a² + b²), முதன்மைக் கோணம் θ = atan2(b, a). 3 + 4i-க்கு r = 5, θ ≈ 53.130102°. −3 − 4i-க்கும் மட்டு 5; ஆனால் கோணம் சுமார் −126.869898°. arctan(b/a) மட்டும் இந்தக் காற்பகுதி வேறுபாட்டைக் கண்டறியாது.
2∠90, 2cis90, 2@90 ஆகிய துருவ உள்ளீடுகள் அமைப்பிலுள்ள கோண அலகைப் பயன்படுத்தும். பாகை முறையில் அவை 2i; ரேடியன் முறையில் அதே 90 வேறு கோணம். 2∠90° அல்லது 2∠90deg பாகையைத் தெளிவாகக் குறிப்பிடும்; 2∠(pi/2)rad ரேடியனைக் குறிப்பிடும். கிரேடியன் முறையில் ஒரு முழுச் சுற்று 400 gon. அடுக்குக்குறி வடிவான re^(iθ)-இல் θ எப்போதும் ரேடியன்களில் இருக்க வேண்டும்.
முதன்மைக் கோணம் (−180°, 180°] இடைவெளிக்குச் சமமான தேர்ந்தெடுத்த அலகில் காட்டப்படும். பூச்சியத்திற்குக் கோணம் இல்லை; திரையில் காட்டப்படும் 0 கணித வரையறையல்ல, இடநிரப்பி. உள்ளீட்டின் மட்டு எதிர்மறையாக இருந்தால் உருவாகும் புள்ளியின் மட்டு நேர்மறையாகவும் கோணம் அதற்கேற்ப மாற்றப்பட்டும் வரும்.
ஒரே முதன்மை மதிப்பும் எல்லா மூலங்களும்
முழு எண் n-க்கு De Moivre வாய்பாடு zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). (1 + i)⁸ = 16; (1 + i)⁻¹ = 0.5 − 0.5i. முழு எண்ணல்லாத அடுக்கிற்கு இந்தக் கணிப்பான் முதன்மைக் கோணத்திலிருந்து ஒரே மதிப்பைத் தரும்: (−4)^0.5 = 2i. ஆனால் “n-ஆம் மூலங்கள்” செயலில் n = 2 எனில் 2i, −2i இரண்டும் கிடைக்கும்.
பூச்சியமற்ற எண்ணின் n-ஆம் மூலங்கள் r^(1/n)[cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n)], k = 0,…,n−1. 8-இன் கனமூலங்கள் 2, −1 + √3i, −1 − √3i; அவை 120° இடைவெளியில் அமையும். OpenStax துருவ வடிவப் பாடம் மூலங்களையும் அடுக்குகளையும் விளக்குகிறது. பூச்சியத்திற்கு ஒரே வேறுபட்ட மூலம் 0; கணிப்பான் அதை n முறை பட்டியலிடலாம். 0⁰, பூச்சியத்தின் எதிர்மறை அடுக்குகள் ஏற்கப்படாது.
முடிவையும் வரைபடத்தையும் வாசித்தல்
மூலங்களைக் காண n என்பது 1 முதல் 360 வரையிலான முழு எண். எட்டுக்கும் அதிகமான மூலங்களுக்கு முதன்மை விடை முதல் நான்கையும் மொத்த எண்ணிக்கையையும் சுருக்கமாகக் காட்டும்; புள்ளிகளாக அதிகபட்சம் முதல் 36 காட்டப்படும். மெய்ப்பகுதி, கற்பனைப் பகுதி, மட்டு, கோணம் ஆகிய துணை விடைகள் முதல் மூலத்திற்குரியவை. எல்லா மூலங்களின் கூட்டுத் தரவாக அவற்றைப் படிக்க வேண்டாம்.
Argand வரைபடத்தில் Re மெய் அச்சு, Im கற்பனை அச்சு; முறிந்த வட்டம் அலகு வட்டம். விடை அம்பு zᵣ. எண் கணக்கில் 50 குறிப்பிடத்தக்க இலக்கங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டாலும் உரை விடை குறைவான இலக்கங்களுடன் காட்டப்படும்; பின்ன உள்ளீடு எப்போதும் பின்ன வடிவிலேயே அச்சிடப்படாது. மிகச் சிறிய பகுதி, max(1, மெய்ப்பகுதியின் தனிமதிப்பு, கற்பனைப் பகுதியின் தனிமதிப்பு)-இன் 10⁻⁴⁰ பங்கிற்குக் கீழே இருந்தால் பூச்சியமாக மாற்றப்படலாம். அதனால் மிகச் சிறிய உண்மையான உறுப்புகளை உறுதிப்படுத்த உரை அல்லது வரைபடம் மட்டும் போதாது.
பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களுக்கு பல்லுறுப்புக்கோவை மூலக் கணிப்பான், இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இருபடிச் சமன்பாட்டுத் தீர்வி பயன்படும்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)
- கணிதச் செயல்
- z₁ ÷ z₂ வகுத்தல்
- z₁
- 3 + 4i
- z₂
- 1 - 2i
- முடிவு
- −1 + 2i
- மெய்ப்பகுதி
- -1
- கற்பனைப் பகுதி
- 2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
3 + 4i-இன் துருவ வடிவம்
- கணிதச் செயல்
- துருவ வடிவிற்கு மாற்று
- z₁
- 3 + 4i
- மட்டு |z|
- 5
- முதன்மைக் கோணம்
- 53.1301023542
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
(1 + i)⁸
- கணிதச் செயல்
- z₁ⁿ அடுக்கு
- z₁
- 1 + i
- n
- 8
- முடிவு
- 16
- மெய்ப்பகுதி
- 16
- கற்பனைப் பகுதி
- 0
சரிபார்ப்பின் மூலம்: (√2)⁸ = 16, கோணம் 8 × 45° = 360°
கேள்விகள்
சிக்கலெண்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
அடைப்புக்குறிகளை விரித்து i²-க்குப் பதில் −1 இடவும்: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. (3 + 4i)(1 − 2i)-க்கு (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i. துருவ வடிவில் மட்டுகளைப் பெருக்கிக் கோணங்களைக் கூட்டலாம்: 5∠53.13° × 2.236∠−63.43° = 11.18∠−10.30° என்பது தோராயமான மதிப்பு.
சிக்கலெண்களை எவ்வாறு வகுப்பது?
தொகுதியையும் பகுதியையும் வகுத்தலெண்ணின் இணைச் சிக்கலெண்ணால் பெருக்கினால் பகுதி மெய்யெண்ணாகிறது. (3 + 4i)/(1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i)/(1² + 2²) = (3 + 6i + 4i + 8i²)/5 = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i. 0 + 0i-ஆல் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை.
சிக்கலெண்ணைத் துருவ வடிவிற்கு எவ்வாறு மாற்றுவது?
மட்டு r = √(a² + b²); சரியான காற்பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் கோணம் θ = atan2(b, a). 3 + 4i-க்கு r = √(9 + 16) = 5, θ ≈ 53.130°; ஆகவே 3 + 4i = 5∠53.130° என்பது தோராயமான வடிவம். மெய்ப்பகுதி எதிர்மறையாக இருந்தால் arctan(b/a) மட்டும் தவறான கோணத்தைத் தரும்: −3 − 4i-இன் முதன்மைக் கோணம் சுமார் −126.870°; 53.130° அல்ல.
De Moivre தேற்றம் என்றால் என்ன?
z = r(cos θ + i sin θ), முழு எண் n எனில் zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). (1 + i)⁸-க்கு r = √2, θ = 45°; எனவே (√2)⁸ = 16, கோணம் 8 × 45° = 360°, அதாவது மெய்யெண் 16. இதே முறையில் சம இடைவெளியுள்ள n-ஆம் மூலங்களைக் காணலாம்: 8-இன் கனமூலங்கள் 2 மற்றும் −1 ± 1.732051i என்ற தோராய மதிப்புகள்; இடைவெளி 120°.
−1-இன் வர்க்கமூலம் என்ன?
i² = −1 என வரையறுக்கப்பட்ட கற்பனை அலகு i ஒரு மூலம்; −i மற்றொரு மூலம். ஒவ்வோர் எதிர்மறை மெய்யெண்ணுக்கும் இரு கற்பனை வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன: −4-இன் மூலங்கள் ±2i; √ குறிக்கும் முதன்மை மூலம் 2i, அதன் கோணம் 90°. i-இன் அடுக்குகள் நான்கு படிகளுக்கு ஒருமுறை மீள்கின்றன: i, −1, −i, 1, பின்னர் மீண்டும் i.
இந்தக் கணிப்பான் பற்றி
ஆதாரங்கள்
ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.