12, 18, 30 ஆகிய எண்கள்
- முழு எண்கள்
- 12, 18, 30
- மீப்பெரு பொது வகுத்தி
- 6
- மீச்சிறு பொது மடங்கு
- 180
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
மீப்பெரு பொதுக் காரணி மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்குக் கணிப்பான்
இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முழு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD, GCF, HCF), மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) ஆகியவற்றை யூக்ளிட் படிமுறை விளக்கத்துடன் காணுங்கள்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 6
மீப்பெரு பொது வகுத்தி
மீப்பெரு பொது வகுத்தி: 6
- மீச்சிறு பொது மடங்கு
- 180
12, 18 மற்றும் 30 ஆகியவற்றை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகப்பெரிய எண் 6; எல்லாவற்றாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய நேர்ம எண் 180.
சதுரங்களாக யூக்ளிட் படிமுறை: 12 × 18 செவ்வகம்
யூக்ளிட் படிமுறை: a = q·b + r
| ஜோடி | a | b | ஈவு q | மீதி r |
|---|---|---|---|---|
| gcd(12, 18) | 18 | 12 | 1 | 6 |
| gcd(12, 18) | 12 | 6 | 2 | 0 |
| gcd(6, 30) | 30 | 6 | 5 | 0 |
கணக்கிடும் முறை S
gcd(12, 18)-க்கு யூக்ளிட் படிமுறை
வகுத்து மீதியை எடுத்து, வகுத்தியுடன் தொடரவும்; கடைசி பூச்சியமற்ற மீதிதான் GCD.
18 உடன் மீச்சிறு பொது மடங்கு
gcd(6, 30)-க்கு யூக்ளிட் படிமுறை
வகுத்து மீதியை எடுத்து, வகுத்தியுடன் தொடரவும்; கடைசி பூச்சியமற்ற மீதிதான் GCD.
30 உடன் மீச்சிறு பொது மடங்கு
மீப்பெரு பொதுக் காரணி மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்குக் கணிப்பான் பற்றி
ஒவ்வோர் உள்ளீட்டையும் மீதியின்றி வகுக்கும் மிகப்பெரிய முழு எண் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD; GCF அல்லது HCF என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). எல்லா உள்ளீடுகளாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய நேர்ம எண் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM). பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்த மீதியைக் கொண்டு மீண்டும் தொடரும் யூக்ளிட் படிமுறை GCD-ஐக் காண்கிறது: gcd(1071, 462) = gcd(462, 147) = gcd(147, 21) = 21. lcm(a, b) = |a × b| ÷ gcd(a, b) விதியை ஒவ்வொரு ஜோடியாகப் பயன்படுத்தி LCM கிடைக்கும்.
பின்னங்களைச் சுருக்க GCD பயன்படும்; பின்னங்களைக் கூட்டவும் சுழற்சி அட்டவணைகளை ஒத்திசைக்கவும் LCM பயன்படும். தொடக்க எண்கள் 12, 18, 30-க்கு GCD என்பது 6; LCM என்பது 180. எனவே ஒவ்வொரு 12, 18, 30 நாட்களுக்கும் நிகழ்பவை அடுத்து 180 நாட்களுக்குப் பின் ஒரே நாளில் நிகழும்.
இரண்டு எண்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிட் படிமுறையிலிருந்து Bézout சமன்பாடும் கிடைக்கும்: 21 = 1071 × (−3) + 462 × 7. எதிர்ம உள்ளீடுகளின் தனிமதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படும்; gcd(0, n) = n. பட்டியலில் 0 இருந்தால் LCM என்பது 0.
பொதுக் காரணியா, பொதுமடங்கா என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்
மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD, GCF, HCF) எல்லா உள்ளீடுகளையும் மீதியின்றி வகுக்கும் மிகப்பெரிய எண். மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) எல்லா உள்ளீடுகளாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய நேர்ம எண். ஒரே அளவுள்ள பெரிய குழுக்களாகப் பிரிக்க GCD; மீண்டும் நிகழும் செயல்கள் ஒன்றாகச் சந்திக்கும் இடத்தைக் காண LCM பயன்படும்.
காற்புள்ளி அல்லது இடைவெளியால் பிரித்து இரண்டு முதல் நூறு முழு எண்களை உள்ளிடவும். 12, 18, 30 அல்லது தமிழ் இலக்கங்களில் ௧௨, ௧௮, ௩௦ என எழுதலாம். இரண்டிற்கும் GCD 6, LCM 180. தசமப் பின்னங்கள் இந்தக் கணிப்பானிற்கு ஏற்ற உள்ளீடுகள் அல்ல.
| எண்கள் | GCD | LCM |
|---|---|---|
| 12, 18 | 6 | 36 |
| 12, 18, 30 | 6 | 180 |
| 1071, 462 | 21 | 23562 |
| 240, 46 | 2 | 5520 |
| 17, 31 | 1 | 527 |
| −12, 18 | 6 | 36 |
| 0, 5 | 5 | 0 |
யூக்ளிட் படிகளைப் படிப்பது
1071-ஐ 462-ஆல் வகுத்தால் ஈவு 2, மீதி 147. அடுத்து 462-ஐ 147-ஆல் வகுத்தால் மீதி 21. கடைசியாக 147-ஐ 21-ஆல் வகுத்தால் மீதி 0. கடைசி பூச்சியமற்ற மீதி 21 என்பதே GCD. அட்டவணையில் ஒவ்வொரு வரியும் a = q·b + r என்பதைச் சரிபார்க்க உதவும். செவ்வகத்தைச் சதுரங்களாகப் பிரிக்கும் படம் இதே மீதி முறையைக் காட்டுகிறது.
இரண்டு நேர்ம எண்களுக்கு LCM = |a × b| ÷ GCD. எனவே 12, 18-க்கு 216 ÷ 6 = 36. மூன்றாவது எண் 30 இருந்தால், ஏற்கெனவே கண்ட 36-உடன் கணக்கைத் தொடர வேண்டும்: lcm(36, 30) = 180. மூன்று எண்களின் பெருக்கற்பலனை அவற்றின் GCD-ஆல் ஒரே முறை வகுப்பது பொதுவாகச் சரியல்ல.
இரண்டு எண்களுக்கு Bézout சமன்பாடு
நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிட் படிமுறை a·x + b·y = gcd(a, b) ஆகும் முழு எண் கெழுக்கள் x, y-ஐக் கண்டறிகிறது. 240, 46-க்கு 2 = 240·(−9) + 46·47. நேரடியாகப் பெருக்கினால் −2160 + 2162 = 2. இதே GCD-ஐத் தரும் வேறு கெழுக்களும் இருக்கலாம்; கணிப்பான் ஒரு ஜோடியைக் காட்டுகிறது. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உள்ளீடுகளுக்கு இந்த வெளியீடு காலியாக இருக்கும்.
குறிகளும் பூச்சியமும்
எதிர்ம எண்களின் தனிமதிப்புகள் GCD, LCM-க்குப் பயன்படுத்தப்படுவதால் விடைகள் எதிர்மமாகாது. பூச்சியமும் பூச்சியமற்ற n-உம் இருந்தால் GCD = |n|, LCM = 0. எல்லா உள்ளீடுகளும் பூச்சியம் எனில் இந்தக் கருவி பிழை காட்டும். இது கருவியின் எல்லைநிலைத் தேர்வு; Python கணித நூலகம் gcd(0, 0)-ஐ 0 என வரையறுக்கிறது.
12 நாட்கள், 18 நாட்கள், 30 நாட்கள் இடைவெளியில் நிகழும் மூன்று செயல்கள் இன்று ஒன்றாகத் தொடங்கினால், அடுத்து 180 நாட்களில் ஒன்றாக நிகழும். தொடக்க நாட்கள் வேறுபட்டால் LCM மட்டும் போதாது; அவற்றின் தொடக்க இடைவெளிகளையும் கணக்கில் கொள்ள வேண்டும். பின்னங்களைச் சுருக்க பின்னக் கணிப்பான், பொதுக் காரணிகளின் அமைப்பைப் பார்க்க பகா காரணி பிரிப்பு உதவும்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
யூக்ளிட் எடுத்துக்காட்டு: 1071, 462
- முழு எண்கள்
- 1071, 462
- மீப்பெரு பொது வகுத்தி
- 21
- மீச்சிறு பொது மடங்கு
- 23,562
- Bézout சமன்பாடு
- 21 = 1071·(−3) + 462·7
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: Wikipedia யூக்ளிட் படிமுறை எடுத்துக்காட்டு (gcd 21); LCM, Bézout கெழுக்கள் பின்னோக்கிப் பிரதியிடுதலால் கணக்கிடப்பட்டு சரிபார்க்கப்பட்டன
240, 46-க்கு நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிட் முறை
- முழு எண்கள்
- 240 46
- மீப்பெரு பொது வகுத்தி
- 2
- மீச்சிறு பொது மடங்கு
- 5,520
- Bézout சமன்பாடு
- 2 = 240·(−9) + 46·47
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: Wikipedia நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிட் படிமுறை அட்டவணை (s = −9, t = 47)
சார்பகா எண்கள் 17, 31
- முழு எண்கள்
- 17, 31
- மீப்பெரு பொது வகுத்தி
- 1
- மீச்சிறு பொது மடங்கு
- 527
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: இரண்டும் பகா எண்கள்; எனவே gcd 1, lcm 17 × 31 = 527
கேள்விகள்
இரண்டு எண்களின் GCD-ஐ எப்படிக் காண்பது?
யூக்ளிட் படிமுறையில் பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்து மீதியை எடுக்கவும். வகுத்தி, மீதி ஆகியவற்றுடன் மீதி 0 ஆகும் வரை தொடரவும்; கடைசி பூச்சியமற்ற மீதிதான் GCD. 1071, 462-க்கு: 1071 = 2 × 462 + 147, 462 = 3 × 147 + 21, 147 = 7 × 21 + 0. எனவே GCD என்பது 21. Lamé தேற்றப்படி சிறிய எண்ணின் ஒவ்வோர் இலக்கத்திற்கும் ஐந்து படிகளுக்கு மேல் தேவைப்படாது.
இரண்டு எண்களின் LCM-ஐ எப்படிக் காண்பது?
அவற்றின் பெருக்கற்பலனை GCD-ஆல் வகுக்கவும்: lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b). 12, 18-க்கு gcd = 6; எனவே lcm = 216 ÷ 6 = 36. மேலும் எண்கள் இருந்தால் ஜோடியாகத் தொடரவும்: lcm(36, 30) = 1,080 ÷ 6 = 180. ஆகவே 12, 18, 30-இன் LCM என்பது 180. மடங்குகளைப் பட்டியலிட்டாலும் (12, 24, 36 …) இதே விடை கிடைக்கும்; பெரிய எண்களுக்கு அது மெதுவாக இருக்கும்.
GCD, GCF, HCF இவற்றிற்கு என்ன வேறுபாடு?
இவை ஒரே எண்ணின் மூன்று பெயர்கள்: greatest common divisor (GCD), greatest common factor (GCF), highest common factor (HCF) அனைத்தும் மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் குறிக்கும். பள்ளிகளில் GCF, HCF ஆகிய பெயர்கள் வழக்கம்; அமெரிக்காவில் GCF, இங்கிலாந்து மற்றும் இந்தியாவில் HCF அதிகம் பயன்படும். எண் கோட்பாட்டிலும் Python-இன் math.gcd போன்ற நிரலாக்கத்திலும் GCD பயன்படும். எந்தப் பெயரிலும் gcd(12, 18) = 6.
GCD, LCM இவற்றிற்கு என்ன தொடர்பு?
இரண்டு நேர்ம முழு எண்களுக்கு gcd(a, b) × lcm(a, b) = a × b. 12, 18-க்கு 6 × 36 = 216 = 12 × 18. பகா காரணிகளில் GCD பொதுவான ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் குறைந்த அடுக்கையும் LCM எல்லாப் பகா எண்களின் அதிக அடுக்கையும் எடுக்கும்: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². எனவே GCD = 2 × 3 = 6; LCM = 2² × 3² = 36. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு இந்தப் பெருக்கல் விதி பொருந்தாது.
இரண்டு எண்கள் சார்பகா எண்கள் என்றால் என்ன?
அவற்றின் GCD என்பது 1; பொதுப் பகா காரணி இல்லை. அவற்றின் LCM அவற்றின் பெருக்கற்பலனே. 17, 31 சார்பகா எண்கள்; LCM = 17 × 31 = 527. 8, 15 இரண்டுமே பகா எண்கள் அல்ல என்றாலும் சார்பகா எண்கள். தொகுதியும் பகுதியும் சார்பகாவாக இருந்தால்தான் பின்னம் முழுமையாகச் சுருங்கியிருக்கும்.
இந்தக் கணிப்பான் பற்றி
ஆதாரங்கள்
- Euclid, Elements, Book VII, Propositions 1–2
- Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 2, §4.5.2 (Euclid's algorithm)
- Wikipedia — Extended Euclidean algorithm (worked example 240, 46)
ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 6 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.