கன அல்லது நான்குபடிச் சமன்பாடு உள்ளிட்ட 6-ஆம் படி வரையிலான பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய், சிக்கலெண் மூலங்கள். மீளும் காரணிகள் துல்லியமாகப் பிரிக்கப்படும்; எண் முறையின் 30 இலக்கச் சகிப்புத்தன்மை மூலப் பிழைக்கான உறுதியான எல்லை அல்ல.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7
படி 3 கொண்ட இந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு 3 மெய்மூலங்களும் 0 மெய்யல்லாத சிக்கலெண் மூலங்களும் உள்ளன (மடங்குகளுடன் எண்ணியது).
| # | மெய்ப்பகுதி | கற்பனைப் பகுதி | மடங்கு | |p(root)| |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 0 |
Cauchy எல்லையால் அளவிட்ட 0.4 + 0.9i-இன் அடுக்குகளிலிருந்து தொடங்கி 12 சுற்றுகள் நடத்தப்பட்டன; பின்னர் Newton மேம்படுத்தல் செய்யப்பட்டது. ஒவ்வொரு திருத்தமும் 10⁻³⁰ என்ற அளவிட்ட சகிப்புத்தன்மையை அடைந்தது.
ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் p(x)-இல் பதிலிட்டால் சரியாக 0 வருவது உறுதிப்படுத்தப்பட்டது.
படி n கொண்ட பூச்சியமல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, மடங்குகளை எண்ணினால் சிக்கலெண் தொகுதியில் சரியாக n மூலங்கள் உள்ளன; இது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம். கணிப்பான் முதலில் Yun-இன் முறையால் மீளும் காரணிகளைத் துல்லியமாகப் பிரிக்கிறது. பின்னர் Durand–Kerner (Weierstrass) மீள்செயல் n ஊகங்களை ஒன்றாக மேம்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு திருத்தத்தையும் மூலத்தின் தனிமதிப்புக்கும் ஒன்றுக்கும் உள்ள பெரிய மதிப்பால் வகுத்த அளவு 10⁻³⁰-க்குக் குறைந்தால் நிற்கிறது; இது மூலப் பிழைக்கான உறுதிச்சான்றல்ல. விகிதமுறு மூலங்கள் துல்லியப் பதிலீட்டால் உறுதிப்படுத்தப்படும்.
பொறியியல், இயற்பியல், இயற்கணிதப் பயிற்சிகளில் கன மற்றும் நான்குபடிச் சமன்பாடுகள் வரலாம். முன்னிருப்பு 1, −6, 11, −6 என்பது x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3). மூலங்கள் 1, 2, 3; கூட்டுத்தொகை 6, பெருக்கல் 6. இவை Vieta வாய்பாடுகளுடன் பொருந்துகின்றன.
மிகப்பெரிய அடுக்கிலிருந்து குணகங்களை உள்ளிடவும்; இல்லாத அடுக்குகளுக்கு பூச்சியம் இடவும். x³ − 2 என்பது 1, 0, 0, −2. 1 முதல் 6 வரை படிகள் ஏற்கப்படும்.
முதலில் சமன்பாட்டை p(x) = 0 என மாற்றி, மிகப்பெரிய அடுக்கிலிருந்து மாறிலி வரை குணகங்களை எழுதுங்கள். x³ − 6x² + 11x − 6 என்பது 1, -6, 11, -6; x³ = 2 என்பது 1, 0, 0, -2. இல்லாத அடுக்குகளுக்கான பூச்சியங்களை விட்டுவிட்டால் வேறு கோவை கிடைக்கும். தமிழ் இலக்கங்களில் ௧, −௬, ௧௧, −௬ என்பதும் ஏற்கப்படும்.
1 முதல் 6 வரையிலான படிகள், அதாவது தொடக்கப் பூச்சியங்களை நீக்கியபின் 2 முதல் 7 குணகங்கள் வரை ஏற்கப்படும். (x − 1)(x − 2) போன்ற காரணிகளை நேரடியாக எழுதாமல் விரித்து 1, -3, 2 என உள்ளிடவும். பின்னங்கள், தசமங்கள், எண் கோவைகள் குணகங்களாக இருக்கலாம்; ஆனால் விகிதமுறா கோவைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தசம மதிப்புகள்தான் எண் கணக்கிற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
பூச்சியமல்லாத படி n பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு சிக்கலெண் தொகுதியில் மடங்குகளுடன் எண்ணினால் n மூலங்கள். ஒவ்வொரு மூலம் r-க்கும் (x − r) காரணி உண்டு. மடங்கு m எனில் அந்தக் காரணி m முறை வரும். முதற்குணகத்தையும் வைத்தால் p(x) = a∏(x − r)ᵐ. OpenStax பல்லுறுப்பு மூலங்கள் பாடம் காரணி, விகிதமுறு மூலம், சிக்கலெண் மூலம் ஆகிய உறவுகளை விளக்குகிறது.
| குணகங்கள், பெரிய அடுக்கு முதலில் | மூலங்கள் | படி | மெய்மூல எண்ணிக்கை, மடங்குகளுடன் |
|---|---|---|---|
| 2, -3 | 3/2 | 1 | 1 |
| 1, 0, 1 | ±i | 2 | 0 |
| 1, -6, 11, -6 | 1, 2, 3 | 3 | 3 |
| 1, -1, -3, 5, -2 | −2, 1 (×3) | 4 | 4 |
| 1, 0, 0, 0, -1 | −1, 1, ±i | 4 | 2 |
| 1, 0, 0 | 0 (×2) | 2 | 2 |
| 1, 0, 2, 0, 1 | ±i (×2) | 4 | 0 |
| 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1 | −1, 1, −0.5 ± 0.8660254038i, 0.5 ± 0.8660254038i | 6 | 2 |
முன்னிருப்பில் p(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0. மூலங்கள் 1, 2, 3 என்பதால் p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). 2x − 3-ஐக் காரணியாக எழுதும்போது 2(x − 3/2) என முதற்குணகம் 2-ஐ வைத்திருக்க வேண்டும்.
(x − 1)³(x + 2)-இல் இரண்டு வெவ்வேறு மூலங்கள் மட்டுமே இருந்தாலும் மெய்மூல எண்ணிக்கை நான்கு. x² + 1 = (x − i)(x + i)-க்கு மெய்மூலங்கள் இல்லை. உண்மைக் குணகங்களுக்கு மெய்யல்லாத மூலங்கள் இணைச் சிக்கலெண்களாக வருகின்றன. முதன்மைப் பட்டியல் ± மூலம் அந்த இணையைச் சுருக்கிக் காட்டும்; அட்டவணையில் இரண்டும் தனி வரிகளாக இருக்கும்.
மெய் x-க்கு p(x) வரைபடத்தில் மெய்மூலங்கள் மட்டும் x-அச்சில் இருக்கும். ஒற்றை மடங்கில் வளைவு அச்சைக் கடக்கும்; இரட்டை போன்ற இரட்டைப்படை மடங்கில் தொட்டுத் திரும்பும். மற்ற படம் சிக்கலெண் தளம்: Re கிடைமட்ட மெய் அச்சு, Im செங்குத்துக் கற்பனை அச்சு. முறிந்த கோட்டு வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்று. அட்டவணையின் வரிசை எண்ணைப் பயன்படுத்தி xₖ, zₖ குறிகளைப் படியுங்கள்; அவை தனித்த மூலங்களின் அடையாளங்கள்.
Yun முறையில் முதலில் மீளும் காரணிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. இங்குள்ள துல்லியம் கணக்கில் எடுத்த குணகங்களுக்குரியது; அளவீட்டுப் பிழையையோ விகிதமுறா உள்ளீட்டின் அணுகுமதிப்பையோ அது நீக்காது. மீதமுள்ள எளிய மூலங்களுக்கு Durand–Kerner முறை ஒரே நேரத்தில் ஊகங்களை மேம்படுத்துகிறது; பின்னர் Newton படிகள் செய்யப்படும். விகிதமுறு மூலமாக ஊகிக்கப்படும் பின்னம் அசல் கோவையில் துல்லியமாகப் பதிலிடப்பட்ட பின்னரே அந்த வடிவத்தில் காட்டப்படும்.
நிறுத்தச் சோதனை ஒவ்வொரு திருத்தத்தையும் max(1, |z|)-ஆல் வகுத்து 10⁻³⁰-உடன் ஒப்பிடுகிறது. |z| சிறியபோது இது சார்புப் பிழைச் சோதனை மட்டுமல்ல. காட்சி பொதுவாக இதைவிடக் குறைவான இலக்கங்களுக்கு முழுமைப்படுத்தப்படும். இந்தச் செயலாக்கத்திற்கு எல்லா உள்ளீடுகளிலும் ஒருங்குதல் என்ற உறுதி வழங்கப்படவில்லை. தொடர்புடைய Weierstrass ஆய்வு ஒரே நேரப் புதுப்பிப்புள்ள Jacobi வடிவத்தின் ஒருங்காமையை ஆராய்கிறது; இங்கு ஊகங்கள் ஒவ்வொன்றாகப் புதுப்பிக்கப்படுகின்றன, எனவே அந்த முடிவை அப்படியே இந்தச் செயலாக்கத்தின் சான்றாகக் கருத வேண்டாம். சுற்று வரம்பு முதலில் வந்தால் எச்சரிக்கை வரும்; அணுகுமதிப்பின் கடைசி இலக்கங்களை உறுதியாகக் கருத வேண்டாம்.
அட்டவணையின் |p(root)| என்பது காட்டிய மூலத்தைப் பதிலிட்ட மீதப்பிழை. அது சிறியதாக இருப்பது மட்டும் மூலப் பிழைக்கான மேல்எல்லை அல்ல. எல்லாக் குணகங்களையும் ஒரே காரணியால் பெருக்கினால் மூலங்கள் மாறாமல் மீதப்பிழை அளவு மாறும். அருகருகான அல்லது ஏறத்தாழ மீளும் மூலங்கள் சிறிய குணக மாற்றத்திற்கும் அதிகம் நகரலாம்.
Vieta ஒப்பீடுகளில் மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை −aₙ₋₁/aₙ, பெருக்கல் (−1)ⁿa₀/aₙ. இவை பயனுள்ள ஒட்டுமொத்தச் சரிபார்ப்புகள்; ஒவ்வொரு மூலத்தின் துல்லியத்துக்கும் தனித்த சான்றல்ல. ஐந்துபடிக்கு எல்லா சமன்பாடுகளையும் மூலக்குறிகளால் தீர்க்கும் பொதுவான வாய்பாடு இல்லை; எண் கணக்கீடு பயன்படலாம். மிகப்பெரிய அல்லது மிகச்சிறிய குணகங்கள் நிராகரிக்கப்படலாம்; உள்ளீடு ஏற்கப்படுவது மட்டும் வெற்றியான ஒருங்குதலுக்கு உறுதி அல்ல.
மாறிலிப் பல்லுறுப்புக்கு மூலப் பட்டியல் இல்லை; பூச்சியப் பல்லுறுப்பில் ஒவ்வொரு x-உம் மூலம். இவை பிழை விளக்கத்துடன் நிற்கும். இருபடிக்கு வாய்பாட்டுத் தீர்வியும், சிக்கலெண் கணக்குகளுக்கு சிக்கலெண் கணிப்பானும், பல நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு தொகுப்புத் தீர்வியும் உதவும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (x − 1)(x − 2)(x − 3)-ஐக் கையால் விரித்தல்
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: ஒன்றின் நான்காம் மூலங்கள்: ±1, ±i
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (x − 1)³(x + 2) = x⁴ − x³ − 3x² + 5x − 2
சிக்கலெண் மூலங்களையும் மடங்குகளையும் எண்ணினால் அதன் படிக்குச் சமமான எண்ணிக்கை; இது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம். x⁴ − 1-க்கு −1, 1, i, −i என்ற நான்கு மூலங்கள். மெய்மூலங்கள் குறைவாக இருக்கலாம்: x³ − 2-க்கு ∛2 ≈ 1.259921 என்ற ஒரு மெய்மூலமும் இரண்டு சிக்கலெண் மூலங்களும் உள்ளன. (x − 1)³(x + 2)-இல் x = 1-இன் மடங்கு 3 என்பதால் அதை மூன்று முறை எண்ண வேண்டும்.
முதலில் விகிதமுறு மூலத்தைத் தேடலாம். முழு எண் குணகங்களுக்கு p/q ஒரு விகிதமுறு மூலம் எனில், p மாறிலிக் குணகத்தையும் q முதற்குணகத்தையும் வகுக்க வேண்டும். x³ − 6x² + 11x − 6-இல் 6-இன் காரணிகளை முயன்றால் x = 1 கிடைக்கும். (x − 1)-ஆல் வகுத்தால் x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). விகிதமுறு மூலம் இல்லாதபோது Cardano வாய்பாடு அல்லது எண் முறை பயன்படுத்தலாம்.
5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட படிகளுக்கு மூலக்குறிகளை மட்டும் பயன்படுத்தும் பொதுவான வாய்பாடு இல்லை. Abel 1824-இல் வெளியிட்ட Abel–Ruffini முடிவு இதைக் காட்டுகிறது; எந்தச் சமன்பாடுகளை அவ்வாறு தீர்க்கலாம் என்பதை Galois கோட்பாடு விளக்குகிறது. x⁵ − x − 1 என்பது மூலக்குறிகளால் தீர்க்க முடியாத ஒரு வழக்கமான எடுத்துக்காட்டு. எண் முறைகளால் அணுகலாம்; அதன் ஒரே மெய்மூலம் சுமார் 1.167304.
அவை மூலங்களையும் குணகங்களையும் இணைக்கின்றன. aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀-க்கு மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை −aₙ₋₁/aₙ; பெருக்கல் (−1)ⁿa₀/aₙ. x³ − 6x² + 11x − 6-இன் மூலங்கள் 1, 2, 3; கூட்டுத்தொகை 6, பெருக்கல் 6. இவை −(−6)/1 மற்றும் (−1)³ × (−6)/1 உடன் பொருந்தும். கண்டறிந்த மூலங்களை ஒப்பிடக் கணிப்பான் இரண்டையும் காட்டும்.
எல்லாக் குணகங்களும் மெய்யாக இருந்தால், p(z) = 0-இன் இணைச்சிக்கலெண் p(z̄) = 0 ஆகும். ஆகவே மூலத்தின் இணையும் மூலமே. x³ − 2-இல் மெய்மூலத்துடன் −0.629961 ± 1.091124i என்ற இணை உள்ளது. இதனால் மெய்க் குணகங்கள் கொண்ட ஒற்றைப்படிப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு குறைந்தது ஒரு மெய்மூலம் இருக்கும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.