இருபடிச் சூத்திரத்தால் ax² + bx + c = 0 ஐத் தீர்க்கவும்: மூலக்குறி வடிவில் அல்லது சிக்கலெண்களாகத் துல்லியமான மூலங்கள், பிரித்தறிமம், உச்சி, சமச்சீர் அச்சு மற்றும் வரைபடம்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7
பிரித்தறி நேர்மமானது (12); ஆகவே பரவளைவு x-அச்சை இருமுறை கடக்கிறது: x = 2 ± √3. x = 2-இல் −3 என்ற குறைந்தபட்சத்துடன் மேல்நோக்கித் திறக்கிறது.
a ≠ 0 கொண்ட ax² + bx + c = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. பிரித்தறி Δ = b² − 4ac அவற்றின் வகையைத் தீர்மானிக்கிறது: Δ > 0 எனில் இரண்டு மெய்மூலங்கள்; Δ = 0 எனில் ஒரு இரட்டை மூலம்; Δ < 0 எனில் இணைச் சிக்கலெண் மூலங்கள். y = ax² + bx + c என்ற பரவளைவின் உச்சி, x = −b/2a என்ற சமச்சீர் அச்சில் உள்ளது.
எறிபொருளின் உயரம், ஓர் அறியாத பக்கமுள்ள பரப்பளவு, வரவு-செலவு சமநிலை போன்ற கணக்குகளில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் தோன்றலாம். முன்னிருப்பான x² − 4x + 1 = 0-க்கு Δ = 12; ஆகவே மூலங்கள் x = 2 ± √3, சுமார் 0.2679 மற்றும் 3.7321. உச்சி (2, −3).
பொருத்தமான உள்ளீடுகளுக்கு மூலங்கள் துல்லியமான பின்னம், சுருக்கிய மூலக்குறி அல்லது சிக்கலெண் வடிவிலும், 10 தசம இடங்கள் வரையிலான எண் விடைகளாகவும் காட்டப்படும். தசமக் கணக்கில் Numerical Recipes-இன் கழித்தல் துல்லிய இழப்பைத் தவிர்க்கும் வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது; பெரிய மூலத்துடன் இருக்கும் சிறிய மூலத்தின் துல்லியத்தை இது பாதுகாக்க உதவும். a = 0 எனில் சமன்பாடு நேரியல்; இருபடி அல்ல. பெரிய அல்லது விகிதமுறா குணகங்களுக்கு அணுகுமதிப்பே காட்டப்படலாம்.
முதலில் எல்லா உறுப்புகளையும் ஒரே பக்கத்துக்குக் கொண்டு வந்து ax² + bx + c = 0 என எழுதுங்கள். x² = 3x + 4 என்பது x² − 3x − 4 = 0; உள்ளீடுகள் a = 1, b = −3, c = −4. இல்லாத உறுப்புக்கு பூச்சியம் இடுங்கள். தமிழ் இலக்கங்களில் ௧, −௩, −௪ என்பவையும் ஏற்கப்படும்.
இருபடி வாய்பாடு x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). முழுத் தொகுதியான −b ± √Δ-யையும் 2a-ஆல் வகுக்க வேண்டும். 2x² + 3x − 5 = 0-க்கு Δ = 49; x = (−3 ± 7)/4. எனவே மூலங்கள் −5/2, 1. ஒவ்வொன்றையும் பதிலிட்டால் இடப்பக்கம் பூச்சியம் வர வேண்டும்.
பிரித்தறி Δ = b² − 4ac நேர்மமானால் இரண்டு வெவ்வேறு மெய்மூலங்கள்; பூச்சியமானால் ஒரு இரட்டை மூலம்; எதிர்மமானால் இணைச் சிக்கலெண் மூலங்கள். மெய்க் குணகங்களுக்கான இந்த வேறுபாடு பரவளைவு x-அச்சை இருமுறை கடக்குமா, தொடுமா, சந்திக்காமலிருக்குமா என்பதைச் சொல்கிறது.
| a | b | c | பிரித்தறி Δ | மூலங்கள் |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −4 | 1 | 12 | 2 ± √3 |
| 2 | 3 | −5 | 49 | −5/2, 1 |
| 1 | −6 | 9 | 0 | 3 (இரட்டை) |
| 1 | 2 | 5 | −16 | −1 ± 2i |
| −1 | 2 | 1 | 8 | 1 ± √2 |
| 0.5 | −1.5 | 1 | 0.25 | 1, 2 |
| 1 | 3 | −40 | 169 | −8, 5 |
| 2 | −8 | 3 | 40 | (4 ± √10)/2 |
முழு எண் அல்லது விகிதமுறு குணகங்களில், நேர்மப் பிரித்தறி விகிதமுறு எண்ணின் வர்க்கமாக இருந்தால் மூலங்கள் விகிதமுறு எண்கள். இல்லையெனில் துல்லியமான மூலக்குறி வடிவம் பயன்படும். Δ < 0 எனில் i² = −1 பயன்படுத்தப்படும்: x² + 2x + 5-க்கு x = −1 ± 2i. வரைபடத்தில் இவை x-அச்சுச் சந்திப்புகளாகத் தோன்றாது.
a ≠ 0 என்பதால் சமன்பாட்டை a-ஆல் வகுக்கலாம். மாறிலியை மறுபக்கத்துக்கு மாற்றி இரு பக்கங்களிலும் (b/2a)² சேர்த்தால் (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²). இரு குறிகளையும் வைத்துச் வர்க்கமூலம் எடுத்து x-ஐத் தனிமைப்படுத்தினால் இருபடி வாய்பாடு கிடைக்கும். a எதிர்மமாக இருந்தாலும் ± குறி இரண்டு தீர்வுகளையும் உள்ளடக்குகிறது. OpenStax இருபடிச் சமன்பாடுகள் பாடம் வாய்பாடு, காரணிப்படுத்தல், முழுவர்க்கமாக்கல் ஆகிய முறைகளை விளக்குகிறது.
x² − 6x + 9 = (x − 3)² என்பதால் x = 3 இருமுறை வருகிறது. 2x² + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1) என்பதில் ஒவ்வொரு காரணியையும் பூச்சியமாக்கலாம். காரணிப்படுத்துதல் உடனே தெரியாதபோது வாய்பாடு பயன்படும்.
உச்சியின் ஆயத்தொலைவுகள் h = −b/(2a), k = c − b²/(4a). y = 2x² − 8x + 3-க்கு h = 2, k = −5; அதே கோவை y = 2(x − 2)² − 5. a நேர்மமாக இருப்பதால் −5 குறைந்தபட்சம்; சமச்சீர் அச்சு x = 2. a எதிர்மமானால் உச்சியில் அதிகபட்சம் இருக்கும்.
ஒரு தோட்டத்தின் நீளம் அகலத்தைவிட 3 m அதிகம்; பரப்பளவு 40 m² எனில் w(w + 3) = 40. மூலங்கள் −8, 5. இரண்டும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தாலும் அகலத்துக்கு நேர்மமான 5 m-ஐ மட்டுமே தேர்ந்தெடுக்கலாம்; நீளம் 8 m. கருவி கணித மூலங்களைக் காட்டுகிறது; பயன்பாட்டுக்கான கட்டுப்பாட்டை நீங்கள் பொருத்த வேண்டும்.
x² + 100000000x + 1-இல் ஒரு மூலம் சுமார் −100000000, மற்றொன்று சுமார் −0.00000001. நேரடியாக −b + √Δ கணக்கிடும்போது ஏறத்தாழ சமமான எண்களைக் கழிப்பதால் துல்லியம் இழக்கலாம். Goldberg-இன் மிதவைப்புள்ளிக் கட்டுரை இந்தச் சிக்கலையும் மாற்றிய வாய்பாட்டையும் விளக்குகிறது. இந்தத் தீர்வி துல்லிய இழப்பைக் குறைக்கும் மறுஅமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது; காட்சிக்காக முழுமைப்படுத்துவதும் அளவீட்டு உள்ளீட்டின் பிழையும் தனித்தவை.
பொருத்தமான சிறிய விகிதமுறு குணகங்களுக்கு துல்லிய மூலக்குறி வடிவம் கிடைக்கும். நீண்ட குணகங்கள் அல்லது π போன்ற கோவைகளுக்கு அணுகுமதிப்பு காட்டப்படலாம்; துல்லிய வடிவத்தை எல்லா உள்ளீடுகளுக்கும் எதிர்பார்க்க வேண்டாம். மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை −b/a, பெருக்கல் c/a என்பவை பயனுள்ள கூடுதல் சரிபார்ப்புகள்.
a = 0 எனில் இக்கருவி பிழை காட்டும். b பூச்சியமல்லாவிட்டால் நேரியல் தீர்வு −c/b; a, b இரண்டும் பூச்சியமாக இருந்தால் c = 0-க்கு எல்லா x-உம் தீர்வு, இல்லையெனில் தீர்வு இல்லை. பல நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு தொகுப்புத் தீர்வியையும், உயர்படிகளுக்கு பல்லுறுப்பு மூலக் கணிப்பானையும் பயன்படுத்தலாம்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: Δ = 9 + 40 = 49, (−3 ± 7)/4
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சுயாதீன கணக்கீடு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (x − 3)²-ஐக் கையால் விரித்தல்
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a என்பது ax² + bx + c = 0-இன் இரண்டு தீர்வுகளையும் தருகிறது. 2x² + 3x − 5 = 0-இல் a = 2, b = 3, c = −5; எனவே x = (−3 ± √49)/4 = (−3 ± 7)/4. தீர்வுகள் x = 1 மற்றும் x = −5/2. முழுவர்க்கமாக்கலிலிருந்து இந்த வாய்பாடு பெறப்படுகிறது; a ≠ 0 கொண்ட எல்லா இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும்.
பிரித்தறி b² − 4ac மெய்மூலங்களின் வகையைச் சொல்கிறது. நேர்மமானால் இரண்டு வெவ்வேறு மெய்மூலங்கள் (x² − 4x + 1-க்கு Δ = 12); பூச்சியமானால் பரவளைவு x-அச்சைத் தொடும் ஒரு இரட்டை மூலம் (x² − 6x + 9-க்கு Δ = 0, மூலம் 3); எதிர்மமானால் இரண்டு சிக்கலெண் மூலங்கள் (x² + 2x + 5-க்கு Δ = −16). முழு எண் குணகங்களுக்கு 49 போன்ற முழுவர்க்கப் பிரித்தறி விகிதமுறு மூலங்களைத் தரும்.
உச்சியின் x-ஆயத்தொலைவு −b/2a; அதை மீண்டும் பதிலிட்டால் y-ஆயத்தொலைவு c − b²/4a கிடைக்கும். y = x² − 4x + 1-க்கு உச்சியில் x = 4/2 = 2, y = 1 − 16/4 = −3. a > 0 எனில் பரவளைவு மேல்நோக்கித் திறக்கும்; உச்சி அதன் குறைந்தபட்சம். a < 0 எனில் கீழ்நோக்கித் திறக்கும்; உச்சி அதன் அதிகபட்சம்.
b² − 4ac எதிர்மமாக இருந்தால் வாய்பாட்டிலுள்ள வர்க்கமூலம் கற்பனை எண்ணாகும். மூலங்கள் p ± qi வடிவில் வரும்; இதில் i = √−1. x² + 2x + 5 = 0-க்கு Δ = 4 − 20 = −16; √−16 = 4i. ஆகவே x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. பரவளைவு x-அச்சைக் கடக்காது; மெய்ப்பகுதியான −1 அதன் உச்சியின் x-ஆயத்தொலைவாகும்.
மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருந்தால் முடியும். x² − 6x + 9 = (x − 3)² என்பதால் x = 3 இருமுறை வரும். 2x² + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1) என்பதால் மூலங்கள் −5/2 மற்றும் 1. x² − 4x + 1-இன் பிரித்தறி 12 முழுவர்க்கம் அல்ல; முழு எண் காரணிகளாகப் பிரிக்க முடியாது. வாய்பாடு 2 ± √3 தருகிறது.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.