வர்க்கமூலக் கணிப்பான்: 1,000 தசம இடங்கள் வரை மூலம், சுருக்கிய மூலக்குறி வடிவம் (√72 = 6√2), முழுவர்க்கச் சோதனை, கனமூலம் அல்லது n-ஆம் மூலம்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 9
72-இன் வர்க்கமூலம் சுமார் 8.48528137. துல்லியமான மூலக்குறி வடிவம் 6√2. 72 என்பது 64, 81 இடையில் இருப்பதால் அதன் மூலம் 8, 9 இடையில் உள்ளது.
8.4852813742 3857029281 0132345258
30 தசம இடங்களுக்குப் பின் வெட்டப்பட்டது; அடுத்த இலக்கம் 1.
| பகா எண் | அடுக்கு | தலா 2 கொண்ட குழுக்கள் (வெளியே வரும்) | உள்ளே மீதமுள்ளவை |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 0 |
ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அடுக்கும் தலா 2 கொண்ட முழுக் குழுக்களாகவும் மீதியாகவும் பிரிக்கப்படுகிறது.
2-இல் எந்தப் பகா எண்ணும் 2 முறை வருவதில்லை; ஆகவே மூலக்குறி முழுவதும் சுருக்கப்பட்டுள்ளது.
துல்லியமான முழு எண் கணக்கால் பெறப்பட்டது; இலக்கப் பலகையில் 30 தசம இடங்கள் காட்டப்படுகின்றன.
72 என்பது அடுக்கு 2 கொண்ட அடுத்தடுத்த முழு எண் அடுக்குகளுக்கு இடையில் உள்ளது. ஆகவே அதன் வர்க்கமூலம், 8, 9 இடையில் உள்ள ஒரு விகிதமுறா எண்.
x-இன் வர்க்கமூலம் என்பது தன்னால் தன்னைப் பெருக்கினால் x தரும் எதிர்மமற்ற எண்; n-ஆம் மூலத்தை n சமக் காரணிகளாகப் பெருக்கினால் x கிடைக்கும். நீண்ட தசமப் பலகைக்கான இலக்குகள் துல்லியமான முழு எண் கணக்கால் பெறப்படுகின்றன. மூலக்குறியைச் சுருக்க, பகாக் காரணி அடுக்குகளாகப் பிரித்து, n சமக் காரணிகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு முழுக் குழுவையும் வெளியே எடுத்து மீதியை உள்ளே வைக்கிறோம். பெரிய காரணிகளை முழுமையாகப் பிரிக்க முடியாவிட்டால் எச்சரிக்கை காட்டப்படும்.
72 = 2³ × 3²-இல் ஒரு ஜோடி 2-களும் ஒரு ஜோடி 3-களும் வெளியே வந்து 2 × 3 = 6 ஆகின்றன; ஒரு 2 உள்ளே இருக்கும். எனவே √72 = 6√2 ≈ 8.485281. 8² = 64 மற்றும் 9² = 81 என்பதால் 72 முழுவர்க்கம் அல்ல. பின்னங்களும் தசமங்களும் ஏற்கப்படும்: √0.72 = √(18/25) = 3√2/5.
நீண்ட தசமப் பலகையில் இலக்குகள் வெட்டப்படுகின்றன; முழுமைப்படுத்தப்படுவதில்லை. 1,000 தசம இடங்கள் வரை கேட்கலாம். எதிர்ம எண்ணின் இரட்டைப்படை மூலம் மெய்யெண் அல்ல; ஒற்றைப்படை மூலம் மெய்யெண்: ∛(−54) = −3∛2.
√ என்பது முதன்மையான எதிர்மமற்ற வர்க்கமூலத்தைக் குறிக்கும். √144 = 12; ஏனெனில் 12 × 12 = 144. ஆனால் x² = 144 என்ற சமன்பாட்டின் விடைகள் ±12. மூலக்குறியின் மதிப்பையும் சமன்பாட்டின் இரண்டு விடைகளையும் வேறுபடுத்திப் படிக்கவும்.
72 = 2³ × 3². சமக் காரணிகளை ஜோடியாக்கினால் ஒரு 2, ஒரு 3 வெளியே வருவதால் √72 = 6√2. இதை (6√2)² = 36 × 2 = 72 எனச் சரிபார்க்கலாம். மூலக்குறிக்குள் முழுவர்க்கக் காரணி இல்லாதபோதுதான் வடிவம் முழுவதும் சுருக்கப்பட்டது. OpenStax மூலக்குறி விதிகள் இந்த முறையை விளக்குகின்றன.
| உள்ளீடு | சுருக்கிய வடிவம் | வர்க்கமூலம், 12 பொருளுள்ள இலக்கங்களுக்கு |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | √2 | 1.41421356237 |
| 3 | √3 | 1.73205080757 |
| 4 | 2 | 2 |
| 9 | 3 | 3 |
| 16 | 4 | 4 |
| 25 | 5 | 5 |
| 52 | 2√13 | 7.21110255093 |
| 72 | 6√2 | 8.48528137424 |
| 144 | 12 | 12 |
| 0.25 | 1/2 | 0.5 |
| 18/25 | 3√2/5 | 0.848528137424 |
| 9/4 | 3/2 | 1.5 |
| 4/7 | 2√7/7 | 0.755928946018 |
| 243/867 | 9/17 | 0.529411764706 |
தசம உள்ளீடு இங்கு துல்லியமான பின்னமாகக் கருதப்படும்: 0.72 = 18/25. அதன் மூலம் √18/√25 = 3√2/5. பகுதி முழுவர்க்கமாக இல்லாவிட்டால் மூலக்குறியைப் பகுதியிலிருந்து அகற்றலாம்: √(4/7) = 2/√7 = 2√7/7. பகுதியையும் தொகுதியையும் ஒரே காரணியால் பெருக்குவதால் மதிப்பு மாறாது.
√(ab) = √a × √b என்பது எதிர்மமற்ற a, b-க்கான விதி. ஆனால் கூட்டலுக்கு அதைப் பயன்படுத்த முடியாது: √(9 + 16) = 5; √9 + √16 = 7. மேலும் √((−5)²) = 5; முதன்மையான மூலம் எதிர்மமாகாது.
மூலத்தின் வரிசை n-ஐ 2 முதல் 100 வரை தேர்ந்தெடுக்கலாம். n சமக் காரணிகள் கொண்ட முழுக் குழுவிலிருந்து ஒரு காரணியை வெளியே எடுக்கவும். 54 = 2 × 3³ என்பதால் ∛54 = 3∛2. ∛(−54) = −3∛2; ஒற்றைப்படை வரிசையில் எதிர்ம எண்ணுக்கும் மெய்மூலம் உண்டு. இரட்டைப்படை வரிசையில் எதிர்ம எண்ணுக்கு இங்கு பிழை வரும்; கலப்பு எண் கணிப்பான் வர்க்கமூலத்தை i-உடன் கையாள உதவும்.
முழு அடுக்குச் சோதனை துல்லியமான விகிதத்தைப் பார்க்கிறது. √(9/4) = 3/2 என்பது துல்லியமான விகிதமுறு மூலம்; விடை முழு எண் இல்லாவிட்டாலும் தொகுதியும் பகுதியும் முழுவர்க்கங்கள். √0 = 0; பூச்சியத்துக்கு தனியான எதிர்ம மூலம் இல்லை. பின்ன அடுக்குகளைப் பயன்படுத்த அடுக்கு மற்றும் மூலம் கணிப்பானுக்குச் செல்லுங்கள்.
முதன்மை எண் விடை 12 பொருளுள்ள இலக்கங்களுக்குக் காட்டப்படும். நீண்ட இலக்கப் பலகை வேறு: அங்கு கேட்ட தசம இடங்களுக்குப் பின் இலக்குகள் வெட்டப்படும். √3 = 1.7320508… என்பதால் நான்கு இடங்களுக்கு வெட்டினால் 1.7320; முழுமைப்படுத்தினால் 1.7321. எதிர்ம கனமூலத்தின் பலகையும் தனிமதிப்பின் இலக்குகளை வெட்டிக் குறியைச் சேர்க்கிறது; கீழ்நோக்கிய முழுமைப்படுத்தல் அல்ல.
அதிகபட்சம் 1,000 இடங்கள் கேட்கலாம்; n × தசம இடங்கள் 20,000-ஐத் தாண்டினால் கிடைக்கும் இடங்கள் குறைக்கப்பட்டு எச்சரிக்கை வரும். உதாரணமாக 100-ஆம் மூலத்துக்கு அதிகபட்சம் 200 இடங்கள். மேலும் இலக்கங்கள் கிடைப்பதால் விகிதமுறா மூலம் துல்லியமான முடிவுறும் எண்ணாக மாறாது. தொடர்ந்து இயற்கணிதம் செய்ய 6√2 போன்ற மூலக்குறி வடிவத்தை வைத்துக்கொள்ளுங்கள்.
72, 0.72, 18/25, தமிழ் இலக்கங்களில் ௧௮/௨௫ ஆகியவற்றை உள்ளிடலாம். மூல எண்ணின் சுருக்கிய தொகுதி, பகுதியின் இலக்க எண்ணிக்கைக்கான கூட்டு வரம்பு 200. கணிப்பான் துல்லியமான உள்ளீட்டையே கோரும்; π போன்ற துல்லிய விகிதமல்லாத மதிப்புகள் ஏற்கப்படாது.
தசம இலக்கங்களின் கணக்கீடும் மூலக்குறிச் சுருக்கமும் தனித்த செயல்கள். சுருக்குவதற்கு உருவாகும் எண் 60 இலக்கங்களைத் தாண்டினால் அந்த வடிவம் கணக்கிடப்படாது. பெரிய காரணியை நேர வரம்பிற்குள் பிரிக்க முடியாதபோது சுருக்கம் முடியாமல் இருக்கலாம்; எச்சரிக்கையைப் படிக்கவும். இதனால் நீண்ட பலகையின் முழு எண் முறையில் பெற்ற இலக்குகள் மாறுவதில்லை. பகா காரணி பிரிப்புக் கணிப்பான் காரணிகளைத் தனியாக ஆராய உதவும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: OpenStax Elementary Algebra 2e §9.2: √72 = 6√2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: calculator.net மூலம் எடுத்துக்காட்டு: √27 = 5.196 என 3 இடங்களுக்கு முழுமைப்படுத்தலாம்; OpenStax §9.2: √27 = 3√3
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: முந்தைய Omni Calculator எடுத்துக்காட்டுக் குறிப்பில் √52 = 2√13 ≈ 7.22 என உள்ளது
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 54 = 2 × 3³
எண்ணைப் பகாக் காரணிகளாகப் பிரித்து, சமக் காரணிகளை ஜோடியாக்கி, ஒவ்வொரு ஜோடியிலிருந்தும் ஒன்றை வெளியே எடுக்கவும். 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3-இல் ஒரு ஜோடி 2-களும் ஒரு ஜோடி 3-களும் உள்ளன; ஆகவே 2 × 3 = 6 வெளியே வரும், ஒரு 2 உள்ளே இருக்கும்: √72 = 6√2. அதேபோல் மிகப்பெரிய முழுவர்க்கக் காரணியைப் பிரிக்கலாம்: 72 = 36 × 2; √36 = 6. மூலக்குறிக்குள் முழுவர்க்கக் காரணி எதுவும் இல்லாவிட்டால் வடிவம் சுருக்கப்பட்டது (OpenStax Elementary Algebra 2e, §9.2).
பூச்சியமல்லாத முழு எண்ணின் பகாக் காரணி அடுக்குகள் அனைத்தும் இரட்டைப்படையாக இருந்தால் அது முழுவர்க்கம்; அதன் வர்க்கமூலம் முழு எண்ணாகும். 144 = 2⁴ × 3² என்பது 12². ஆனால் 72 = 2³ × 3²-இல் 2-இன் அடுக்கு ஒற்றைப்படை என்பதால் அது முழுவர்க்கம் அல்ல. முழுவர்க்கங்களின் இறுதி இலக்கம் 0, 1, 4, 5, 6 அல்லது 9 மட்டுமே; 72 போல 2, 3, 7, 8-இல் முடியும் எண்களை உடனே விலக்கலாம். பூச்சியமும் முழுவர்க்கமே.
√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694 என 50 தசம இடங்களுக்குப் பின் வெட்டலாம். √2 ஒரு விகிதமுறா எண்; அதை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக எழுத முடியாததால் இலக்குகள் முடிவதுமில்லை, சுழற்சியாகத் திரும்புவதுமில்லை. ISO 216 காகித வடிவங்களின் விகிதம் இதை அடிப்படையாகக் கொண்டது; முழு மில்லிமீட்டர் அளவுகளைக் கொண்ட A4-இன் 297/210 விகிதம் சுமார் 1.414, துல்லியமாக அந்த விகிதம் அல்ல.
x-இன் n-ஆம் மூலம் என்பது n முறை காரணியாகப் பயன்படுத்தினால் x தரும் எண். சுருக்குவதற்கு n சமப் பகாக் காரணிகள் கொண்ட ஒவ்வொரு முழுக் குழுவையும் வெளியே எடுக்கவும்: 54 = 2 × 3³ என்பதால் ∛54 = 3∛2 ≈ 3.779763. தசம மதிப்புக்கு x-ஐ 1/n அடுக்கிற்கு உயர்த்தலாம்; calculator.net எடுத்துக்காட்டில் 15-இன் 8-ஆம் மூலம் மூன்று இடங்களுக்கு முழுமைப்படுத்தினால் 1.403.
இரண்டு எதிர்ம எண்களின் பெருக்கல் நேர்மமாகும். அந்த மூலமான 8.485…-ஐ வர்க்கப்படுத்தினாலும் (−8.485…)² எடுத்தாலும் 72 கிடைக்கும்; புள்ளிகள் முழு முடிவிலா மதிப்பைக் குறிக்கின்றன. √ என்பது முதன்மையான எதிர்மமற்ற மூலத்தைக் குறிக்கும்: √72 = 6√2. மற்ற மூலம் −6√2; இரண்டையும் ±6√2 என எழுதலாம். x² = 72-க்கு இரண்டு விடைகள் உள்ளன. ஒற்றைப்படை மூலத்துக்கு ஒரே மெய்மதிப்பு: ∛(−8) = −2.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 9 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.