CalcOpenly
தமிழ்

ஒருவழி ANOVA கணிப்பான்

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்களுக்கான ஒருவழி ANOVA கணிப்பான்: F புள்ளியளவு, p மதிப்பு, வர்க்கக் கூட்டுத்தொகைகள், சராசரி வர்க்கங்கள், η² மற்றும் முழு ANOVA அட்டவணை.

செயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 4

ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் ஒரு வரி; மதிப்புகளை இடைவெளி அல்லது காற்புள்ளியால் பிரிக்கவும். குழு அளவுகள் வேறுபடலாம்.
முயற்சிக்கவும்
p மதிப்பு
p மதிப்பு: 0.003248
அதிகபட்ச தசம இடங்கள்: 6; அருகிலுள்ள மதிப்பு; சம தூரத்தில் பூச்சியத்திலிருந்து விலகி
முடிவு
H₀ ஐ நிராகரி
F புள்ளியளவு
9.591107
குழுக்களிடை விடுதலைப் பாகைகள்
2
குழுக்களுக்குள் விடுதலைப் பாகைகள்
12
குழுக்களிடை வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை
27.897333
குழுக்களுக்குள் வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை
17.452
குழுக்களிடைச் சராசரி வர்க்கம்
13.948667
குழுக்களுக்குள் சராசரி வர்க்கம்
1.454333
η² (விளக்கப்படும் மாறுபாட்டின் பங்கு)
0.6152
முக்கிய F
3.8853

α = 0.05 இல் H₀ ஐ நிராகரி. எல்லாக் குழுக்களின் முழுத்தொகுதிச் சராசரிகளும் சமமாக இருந்தன எனில், குறைந்தது இவ்வளவு மிகையான முடிவின் நிகழ்தகவு 0.0032. p மதிப்பு என்பது H₀ உண்மை என்பதன் நிகழ்தகவு அல்ல; மேலும் மிகைப்புள்ள முடிவு விளைவின் அளவையோ முக்கியத்துவத்தையோ தெரிவிக்காது. மொத்த மாறுதலில் 61.5% குழுச் சேர்க்கையால் விளக்கப்படுகிறது (η²). ANOVA எந்தக் குழுக்கள் வேறுபடுகின்றன எனக் கூறாது; Tukey HSD போன்ற பிந்தைய ஒப்பீடு செய்யவும்.

F(2, 12) இன் கீழுள்ள p மதிப்புப் பரப்பு

00.250.50.7510246810Fஅடர்த்திF = 9.591முக்கிய மதிப்பு 3.885

குழுச் சராசரிகள்

குழு 1 (n = 5)5.34குழு 2 (n = 5)7.72குழு 3 (n = 5)8.56
ANOVA அட்டவணை வரிசைகள்: 3
மூலம்SSdfMSFp மதிப்பு
குழுக்களிடையே27.8973213.94879.59110.0032
குழுக்களுக்குள்17.452121.4543——
மொத்தம்45.349314———
கணக்கிடும் முறை S

  1. கருதுகோள்கள்

    H0:μ1=⋯=μ3,H1:∃ i,j:μi≠μjH_0: \mu_1 = \dots = \mu_{3},\quad H_1: \exists\,i,j:\mu_i\ne\mu_j

    H₁: குறைந்தது ஒரு முழுத்தொகுதிச் சராசரி வேறுபடுகிறது.

  2. குழுச் சராசரிகளும் பொது சராசரியும்

    xˉi=(5.34, 7.72, 8.56),xˉ=7.206667,N=15\bar x_i = (5.34,\ 7.72,\ 8.56),\quad \bar x = 7.206667,\quad N = 15

  3. குழுக்களிடை வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை

    SSB=∑ni(xˉi−xˉ)2=27.897333SS_B = \sum n_i(\bar x_i - \bar x)^2 = 27.897333

  4. குழுக்களுக்குள் வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை

    SSW=∑i∑j(xij−xˉi)2=17.452SS_W = \sum_i \sum_j (x_{ij} - \bar x_i)^2 = 17.452

  5. சராசரி வர்க்கங்களும் F உம்

    F=27.897333/217.452/12=13.9486671.454333=9.591107F = \frac{27.897333/2}{17.452/12} = \frac{13.948667}{1.454333} = 9.591107

  6. p மதிப்பு

    p=P(F2, 12≥9.591107)=0.0032482226p = P(F_{2,\,12} \ge 9.591107) = 0.0032482226

    α = 0.05 இல் முக்கிய F என்பது 3.8853.

ஒருவழி ANOVA கணிப்பான் பற்றி

ஒருவழி மாறுபாட்டுப் பகுப்பாய்வு (ANOVA) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சார்பற்ற குழுக்களின் சராசரிகள் சமமா எனச் சோதிக்கும். மொத்த மாறுதலை குழுக்களிடையே, குழுக்களுக்குள் உள்ள வர்க்கக் கூட்டுத்தொகைகளாகப் பிரித்து, அவற்றின் விடுதலைப் பாகைகளான k − 1, N − k ஆல் வகுத்துச் சராசரி வர்க்கங்களைப் பெறும். அவற்றின் விகிதமே F புள்ளியளவு. F பரவலில் அதற்கு அப்பாலுள்ள பரப்பே p மதிப்பு.

மூன்று உரங்களின் விளைச்சல், கற்பித்தல் முறைகளின் தேர்வு மதிப்பெண்கள், தயாரிப்பு பதிப்புகளின் பதில் நேரங்கள் ஆகியவற்றை ஒப்பிடப் பயன்படும். இயல்புநிலை NIST e-Handbook எடுத்துக்காட்டில் தலா ஐந்து கொண்ட மூன்று குழுக்கள்; 2, 12 விடுதலைப் பாகைகளில் F = 9.59, p = 0.0032. எனவே α = 0.05 இல் மூன்று சராசரிகளும் சமமல்ல.

பதிவுகள் சார்பற்றவை, ஒவ்வொரு குழுவும் தோராய இயல்நிலை, குழு மாறுபாடுகள் ஒத்தவை என்பவை கருதுகோள்கள். மிகைப்புள்ள F குறைந்தது ஒரு சராசரி வேறுபடுகிறது எனக் கூறும்; எது என்று கூறாது.

ஒவ்வொரு சார்பற்ற குழுவையும் தனி வரியில் உள்ளிடவும்

ஒரே அளவீட்டின் பல குழுக்களை ஒப்பிட ஒருவழி ANOVA பயன்படுத்தலாம். ஒவ்வொரு வரியிலும் ஒரு குழுவின் எண்கள் இருக்க வேண்டும்; அளவுகள் வேறுபடலாம். தனிப்பட்ட குழு பெயர்களை எண் பட்டியலில் சேர்க்க வேண்டாம். குறைந்தது இரண்டு குழுக்களும் உட்குழு மாறுபாட்டை மதிப்பிடப் போதுமான பதிவுகளும் தேவை. ஒரே நபரின் மீண்டும் அளந்த மதிப்புகளுக்கு இச்சார்பற்ற குழு முறை நேரடியாகப் பொருந்தாது.

பூச்சியக் கருதுகோள் எல்லா முழுத்தொகுதிச் சராசரிகளும் சமம் என்பதே. மாற்று குறைந்தது ஒன்று வேறுபடுகிறது; எல்லா இணைகளும் வேறுபடுகின்றன என்பதல்ல. α ஐ முன்கூட்டியே நிர்ணயித்து ஆய்வின் அளவீட்டு அலகுகளையும் மாதிரி எடுப்பு முறையையும் பதிவு செய்யவும்.

ANOVA அட்டவணையைப் படிக்கவும்

மொத்த மாறுதல் குழுக்களிடையும் குழுக்களுக்குள்ளும் பிரிக்கப்படும். k குழுக்கள், N பதிவுகளுக்கு விடுதலைப் பாகைகள் k−1, N−k. வர்க்கக் கூட்டுத்தொகைகளை இவற்றால் வகுத்தால் சராசரி வர்க்கங்கள்; அவற்றின் விகிதம் F=MS இடை / MS உள். p என்பது F குறிப்புப் பரவலின் மேல் வால்.

வழக்கு / உள்ளீடுகள்Fp மதிப்பு
இயல்புநிலை மூன்று குழுக்கள்9.5911070.003248
சமமற்ற அளவுக் குழுக்கள்13.50.001953
சமச் சராசரிகள்01
இரு குழுக்கள்13.50.021312

மிகைப்பும் விளைவு அளவும் தனித்தவை

சிறிய p குழுச் சராசரிகள் அனைத்தும் சமம் என்பதற்கு எதிரான ஆதாரம். வேறுபாடு பயனுள்ளதா என்பதற்கு அதன் அளவும் சூழலும் தேவை. η² என்பது குழுக்களிடை வர்க்கக் கூட்டுத்தொகையின் மொத்தத்திற்கான பங்கு. அது மாதிரியின் விளைவு அளவு; சிறிய மாதிரியில் முழுத்தொகுதி விளைவை மிகைப்படுத்தலாம். எல்லாத் துறைகளுக்கும் ஒரே விளைவு எல்லையைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.

சார்பற்ற பதிவுகள், தோராய இயல்நிலை உட்குழுப் பிழைகள், ஒத்த மாறுபாடுகள் ஆகியவை இம்முறையின் கருதுகோள்கள். மிக வேறுபட்ட பரவல்களில் வேறு முறை தேவைப்படலாம். எல்லா மதிப்புகளும் சமமானாலோ ஒவ்வொரு குழுவிற்குள்ளும் பரவலே இல்லாவிட்டாலோ வழக்கமான F விளக்கம் பொருந்தாது; கருவியின் பிழைச் செய்தியைப் புறக்கணிக்க வேண்டாம்.

எந்தக் குழுக்கள் வேறுபடுகின்றன என அறிய பொருத்தமான பிந்தைய பல ஒப்பீட்டுச் சோதனை தேவை. இக்கருவி அத்தகைய எல்லா இணைச் சோதனைகளையும் தானாகச் செய்வதில்லை. திருத்தமற்ற பல t சோதனைகள் குடும்பப் பிழையை உயர்த்தலாம். முதலில் விவரணப் புள்ளியியல், இரு குழுக்களுக்கு t சோதனை, குறிப்புப் பரப்பிற்கு F பரவல் பயன்படுத்தலாம்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

NIST e-Handbook எடுத்துக்காட்டு; தலா 5 கொண்ட 3 குழுக்கள் (இயல்புநிலை)

குழுக்கள்
6.9 5.4 5.8 4.6 4.0 8.3 6.8 7.8 9.2 6.5 8.0 10.5 8.1 6.9 9.3
மிகைப்பு நிலை α
0.05
குழுக்களிடை வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை
27.897
குழுக்களுக்குள் வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை
17.452
F புள்ளியளவு
9.59
குழுக்களிடை விடுதலைப் பாகைகள்
2
குழுக்களுக்குள் விடுதலைப் பாகைகள்
12
p மதிப்பு
0.003248

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: NIST/SEMATECH §7.4.3.3 ANOVA அட்டவணை (SS 27.897 / 17.452, F = 9.59); A&S 26.6.4 படி p = (12/(12 + 2F))⁶.

சமமற்ற குழு அளவுகள்

குழுக்கள்
23 25 21 22 28 30 27 26 29 24 26 25
மிகைப்பு நிலை α
0.05
F புள்ளியளவு
13.5
குழுக்களிடை விடுதலைப் பாகைகள்
2
குழுக்களுக்குள் விடுதலைப் பாகைகள்
9
p மதிப்பு
0.001953
η² (விளக்கப்படும் மாறுபாட்டின் பங்கு)
0.75

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்களில் SSB 62.25, SSW 20.75; d₁ = 2 உடன் A&S 26.6.4: p = (9/(9 + 2F))^4.5 = 4^−4.5 = 1/512.

இரு குழுக்கள் இணைத்த t சோதனைக்குச் சமம்

குழுக்கள்
12 15 11 14 13 16 17 14 18 16 19 15
மிகைப்பு நிலை α
0.05
F புள்ளியளவு
7.714286
குழுக்களுக்குள் விடுதலைப் பாகைகள்
10
p மதிப்பு
0.019536

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: இரு குழுக்களுக்கு F = t²; துல்லியப் பின்னங்களில் இணைத்த t; ν = 10 உடன் A&S 26.7.4 இலிருந்து இருபுற p.

எல்லை நிலை: ஒரே குழுச் சராசரிகள்

குழுக்கள்
1 2 3 2 1 3 3 2 1
மிகைப்பு நிலை α
0.05
F புள்ளியளவு
0
p மதிப்பு
1
முடிவு
H₀ ஐ நிராகரிக்கப் போதிய ஆதாரம் இல்லை

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: ஒவ்வொரு குழுச் சராசரியும் 2; எனவே குழுக்களிடை SS = 0, F = 0.

கேள்விகள்

ANOVA இல் p மதிப்பின் பொருள் என்ன?

எல்லாக் குழுச் சராசரிகளும் சமம் எனில் கண்டதைவிடக் குறையாத F புள்ளியளவின் வாய்ப்பு. இயல்புநிலை p = 0.0032: சமச் சராசரிகள் இருந்தால் 1,000 மாதிரிகளில் சுமார் 3 இல் F ≥ 9.59 வரும். இது பூச்சியக் கருதுகோள் உண்மையின் வாய்ப்பு அல்ல. சிறிய p வேறுபாடுகளின் அளவைச் சொல்லாது; அதை η² அளக்கும்.

F புள்ளியளவை எவ்வாறு விளக்குவது?

F என்பது குழுக்களிடைச் சராசரி வர்க்கம் வகுத்தல் குழுக்களுக்குள் சராசரி வர்க்கம். சம முழுத்தொகுதிச் சராசரிகள் 1 அருகிலுள்ள F மதிப்புகளைத் தரும்; பெரிய மதிப்புகள் வேறுபாடுகளுக்கான ஆதாரம். தேவையான அளவு விடுதலைப் பாகைகளைச் சார்ந்தது: 2, 12 க்கு 5% முக்கிய மதிப்பு 3.885. எனவே α = 0.05 இல் F = 9.59 மிகைப்புள்ளது; F = 3 அவ்வாறல்ல.

ஒருவழி ANOVA இன் கருதுகோள்கள் என்ன?

சார்பற்ற பதிவுகள், ஒவ்வொரு குழுவிலும் தோராய இயல்நிலைப் பரவல், சம முழுத்தொகுதி மாறுபாடுகள். குழு அளவுகள் ஒத்திருந்தால் F சோதனை மிதமான இயல்நிலையின்மையைத் தாங்கும். மிகப் பெரிய குழுத் திட்டவிலக்கம் மிகச் சிறியதன் இருமடங்கிற்குக் குறைவு எனில் சம மாறுபாட்டைக் கருதலாம் என்பது Moore–McCabe வழிகாட்டல். இல்லாவிட்டால் Welch ANOVA; தெளிவாக இயல்நிலையற்ற தரவிற்கு Kruskal–Wallis சோதனை பயன்படுத்தலாம்.

ANOVA க்குப் பின் எந்தக் குழுக்கள் வேறுபடுகின்றன எனக் கண்டறிவது எப்படி?

பிந்தைய ஒப்பீட்டுச் சோதனை செய்யவும். Tukey HSD எல்லா இணைகளையும் ஒப்பிட்டு குடும்ப அளவிலான பிழை விகிதத்தை α இல் வைத்திருக்கும். Bonferroni இல் m இணைகள் ஒவ்வொன்றும் α/m இல் சோதிக்கப்படும்; மூன்று குழுக்களுக்கு 0.05/3 ≈ 0.0167. ஒவ்வோர் இணைக்கும் தனித்த t சோதனையை 0.05 இல் செய்தால் குறைந்தது ஒரு தவறான நேர்மத்தின் வாய்ப்பு 5% ஐவிட அதிகமாகும்; மூன்று ஒப்பீடுகளுக்கு 1 − 0.95³ ≈ 14% ஐ நோக்கிச் செல்லும்.

ஏற்ற eta வர்க்க மதிப்பு என்ன?

η² என்பது குழுக்களிடை வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை வகுத்தல் மொத்த வர்க்கக் கூட்டுத்தொகை; குழுச் சேர்க்கையால் விளக்கப்படும் மாறுதலின் பங்கு. Cohen (1988) சிறிய, நடுத்தர, பெரிய விளைவுகளுக்கு 0.01, 0.06, 0.14 முன்மொழிந்தார். இயல்புநிலையில் 27.897/45.349 = 0.615; மிகப் பெரிய விளைவு. சிறிய மாதிரிகளில் η² முழுத்தொகுதி விளைவை மிகைப்படுத்தும்; ω² அந்தச் சாய்வைத் திருத்தும்.

இந்தக் கணிப்பான் பற்றி

F=SSB/(k−1)SSW/(N−k),SSB=∑ini(xˉi−xˉ)2,SSW=∑i∑j(xij−xˉi)2F = \frac{SS_B/(k-1)}{SS_W/(N-k)},\quad SS_B = \sum_i n_i(\bar x_i - \bar x)^2,\quad SS_W = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \bar x_i)^2

ஆதாரங்கள்

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §7.4.3 Are the means equal? (one-way ANOVA and worked example)
  2. Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §26.6 (F distribution)

ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது

இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 4 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.

இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்

கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.

உயரம்
உட்பொதிப்பின் முன்னோட்டத்தைப் பார்

நன்றிக் குறிப்பை அப்படியே வைத்திருங்கள். இது ஒன்றே நிபந்தனை, இதுவே இந்தக் கணிப்பான்களை இலவசமாக வைத்திருக்கிறது.

தொடர்புடைய கணிப்பான்கள்