10 स्वतंत्रता अंश वाला t, P(T ≤ 2.1)
- वितरण
- Student t
- स्वतंत्रता की कोटियाँ
- 10
- ज्ञात करें
- P(X ≤ x)
- मान x
- 2.1
- परिणाम
- 0.968961
- पूरक 1 − P
- 0.031039
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
t, काई-वर्ग और F वितरण कैलकुलेटर
t, काई-वर्ग, F, घातांकीय और समान वितरणों के पूँछ-क्षेत्रफल, p-मान, घनत्व और क्रांतिक मान निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 9
परिणाम
परिणाम: 0.968961
- पूरक 1 − P
- 0.031039
- माध्य
- 0
- प्रसरण
- 1.25
Student t (ν = 10) वितरण का 96.8961% भाग 2.1 या उससे नीचे है।
P(X ≤ 2.1)
गणना कैसे होती है S
वितरण
Student t (ν = 10)
संचयी वितरण फलन (CDF)
बाईं ओर का क्षेत्रफल
t, काई-वर्ग और F वितरण कैलकुलेटर के बारे में
हर उत्तर सतत वितरण के घनत्व वक्र से मिलता है: संचयी प्रायिकता F(x) = P(X ≤ x), ऊपरी पुच्छ का क्षेत्रफल, दो मानों के बीच का क्षेत्रफल, घनत्व या प्रतिलोम मोड में दिए गए बाएँ क्षेत्रफल का x। Student t, χ² और F के क्षेत्रफल नियमितीकृत अपूर्ण बीटा और गामा फलनों से 50-अंकीय दशमलव अंकगणित का उपयोग करके मिलते हैं। चरघातांकी और एकसमान वितरणों के सीधे सूत्र हैं।
ये सामान्य सांख्यिकीय परीक्षणों के संदर्भ वितरण हैं: औसत के लिए t, गिनतियों और प्रसरण के लिए χ², तथा ANOVA और प्रतिगमन के लिए F। डिफ़ॉल्ट में 10 स्वतंत्रता अंश वाला t-वितरण है; 2.1 के नीचे लगभग 96.90% क्षेत्रफल है, इसलिए 2.1 के t-सांख्यक का दाएँ-पक्षीय p-मान लगभग 0.031 है।
छपी तालिकाएँ तीन या चार अंकों तक पूर्णांकित मान और चुने हुए स्वतंत्रता अंश देती हैं। यहाँ स्वीकार्य सीमा के धनात्मक मान भर सकते हैं, जिनमें Welch के t-परीक्षण के भिन्नात्मक स्वतंत्रता अंश भी शामिल हैं।
सतत वितरण का क्षेत्र या क्रांतिक मान निकालें
Student t, काई-वर्ग, F, चरघातांकी या एकसमान वितरण चुनें। फिर बाएँ पुच्छ, दाएँ पुच्छ, दो सीमाओं के बीच क्षेत्र, घनत्व या उलटी खोज का सवाल चुनें। क्षेत्र प्रायिकता है; घनत्व वक्र की ऊँचाई है। किसी एक बिंदु का सतत प्रायिकता-मान शून्य होने के कारण P(X < x) और P(X ≤ x) बराबर हैं।
प्रारंभिक t वितरण में स्वतंत्रता की डिग्री 10 और x = 2.1 पर बाएँ का क्षेत्र 0.968961 है। दाएँ का क्षेत्र लगभग 0.031039 है। दो-तरफा t परीक्षण के लिए दोनों चरम पुच्छों का योग लगभग 0.062077 होगा, केवल दाएँ का क्षेत्र नहीं।
उलटी खोज में क्षेत्र भरें, सांख्यिकी नहीं
क्रांतिक मान वाली विधि में बाएँ का क्षेत्र p दें। दो-तरफा α = 0.05 के t परीक्षण में p = 0.975 है। 10 स्वतंत्रता डिग्री पर परिणाम 2.228139 आता है। एक-तरफा ऊपरी परीक्षण में p = 0.95 से लगभग 1.812 मिलता है।
Pearson काई-वर्ग और सामान्य ANOVA के F परीक्षण ऊपरी पुच्छ इस्तेमाल करते हैं। उनके α = 0.05 वाले ऊपरी क्रांतिक मान के लिए p = 0.95 दें। काई-वर्ग की 10 डिग्री पर 18.307038, F में d₁ = 5 और d₂ = 20 पर 2.710890 है। उलटी खोज का उत्तर X का मान है, प्रायिकता नहीं।
| वितरण और प्राचल | सवाल | परिणाम |
|---|---|---|
| t, स्वतंत्रता की डिग्री 10 | P(X ≤ 2.1) | 0.968961 |
| t, स्वतंत्रता की डिग्री 10 | बाएँ पुच्छ का क्षेत्र 0.975 | 2.228139 |
| काई-वर्ग, स्वतंत्रता की डिग्री 10 | बाएँ पुच्छ का क्षेत्र 0.95 | 18.307038 |
| F, d₁ = 5, d₂ = 20 | बाएँ पुच्छ का क्षेत्र 0.95 | 2.710890 |
| चरघातांकी, दर 0.5 | P(X ≤ 2) | 0.632121 |
| एकसमान, 0 से 10 | P(2 ≤ X ≤ 5) | 0.300000 |
स्वतंत्रता की डिग्री और वितरण का आकार
एक नमूने या युग्मित t परीक्षण में df = n−1 है। संयुक्त प्रसरण वाले दो नमूनों में n₁+n₂−2, जबकि वेल्च में भिन्नात्मक df भी हो सकता है। इस फॉर्म में उसे अनावश्यक रूप से पूर्णांक न करें। F में अंश और हर की डिग्री का क्रम महत्वपूर्ण है; उन्हें बदलने पर अलग वितरण मिलता है।
t में सामान्य वितरण से भारी पुच्छ होते हैं। कम df पर उसके माध्य या प्रसरण का अस्तित्व भी सीमित है: df = 1 पर माध्य नहीं, df ≤ 2 पर सीमित प्रसरण नहीं। काई-वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता; उसका माध्य df और प्रसरण 2df है। F का माध्य d₂ > 2 पर और सीमित प्रसरण d₂ > 4 पर उपलब्ध है। अनुपलब्ध सांख्यिकी को शून्य न समझें।
प्रतीक्षा-समय और एकसमान वितरण
चरघातांकी में P(X ≤ x) = 1−e^(−λx) है। दर 0.5 प्रति मिनट और x = 2 मिनट पर 0.632121 मिलता है; औसत प्रतीक्षा 1/λ = 2 मिनट है। दर और समय एक ही इकाई के आधार पर हों।
एकसमान वितरण [0,10] में 2 से 5 तक का क्षेत्र (5−2)/(10−0) = 0.3 है। ऊपरी सीमा निचली से बड़ी होनी चाहिए। घनत्व एक से अधिक हो सकता है, लेकिन पूरे संभावित क्षेत्र का समाकल एक होता है। घनत्व को सीधे प्रतिशत में बदलना गलत होगा।
सीमा और परीक्षण की व्याख्या
उलटी खोज में p शून्य और एक के बीच चाहिए; अत्यंत छोटे पुच्छों पर संख्यात्मक सीमा भी लागू होती है। t के लिए दो-तरफा p-मूल्य 2P(T ≥ |t|) है। सही पुच्छ वैकल्पिक परिकल्पना से तय करें, परिणाम देखकर बाद में न बदलें। डेटा से सांख्यिकी बनाने के लिए t परीक्षण, गिनती की तालिका के लिए काई-वर्ग परीक्षण, समूह माध्यों के लिए ANOVA उपयोग करें।
हल किए गए उदाहरण
t का क्रांतिक मान, 10 स्वतंत्रता अंश, 0.975
- वितरण
- Student t
- स्वतंत्रता की कोटियाँ
- 10
- ज्ञात करें
- बाएँ पुच्छ क्षेत्रफल के लिए x (क्रांतिक मान)
- बाएँ पुच्छ का क्षेत्रफल p
- 0.975
- परिणाम
- 2.228139
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: t-तालिका (NIST e-Handbook §1.3.6.7.2): 2.228; A&S के बंद रूप पर द्विभाजन से 2.2281388520
χ² का क्रांतिक मान, 10 स्वतंत्रता अंश, 0.95
- वितरण
- काई-वर्ग χ²
- स्वतंत्रता की कोटियाँ
- 10
- ज्ञात करें
- बाएँ पुच्छ क्षेत्रफल के लिए x (क्रांतिक मान)
- बाएँ पुच्छ का क्षेत्रफल p
- 0.95
- परिणाम
- 18.307038
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: χ² तालिका (NIST e-Handbook §1.3.6.7.4): 18.307; A&S 26.4.5 के बंद रूप पर द्विभाजन से 18.3070380533
F का क्रांतिक मान (5, 20), 0.95
- वितरण
- F
- अंश के स्वतंत्रता अंश d₁
- 5
- हर के स्वतंत्रता अंश d₂
- 20
- ज्ञात करें
- बाएँ पुच्छ क्षेत्रफल के लिए x (क्रांतिक मान)
- बाएँ पुच्छ का क्षेत्रफल p
- 0.95
- परिणाम
- 2.71089
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: F-तालिका (NIST e-Handbook §1.3.6.7.3): 2.71; A&S 26.6.5 के बंद रूप पर द्विभाजन से 2.7108898372
सवाल
t का क्रांतिक मान कैसे निकालें?
Student t चुनें, स्वतंत्रता अंश भरें और बाएँ पुच्छ क्षेत्रफल से x निकालने वाला विकल्प चुनें। द्विपक्षीय परीक्षण के लिए 1 − α/2 और दाएँ-पक्षीय परीक्षण के लिए 1 − α भरें। 10 स्वतंत्रता अंश और द्विपक्षीय α = 0.05 पर p = 0.975 से 2.228 मिलता है; यह NIST/SEMATECH e-Handbook की t-तालिका (§1.3.6.7.2) से मेल खाता है। स्वतंत्रता अंश बढ़ने पर मान सामान्य वितरण के 1.960 की ओर घटता है; 30 पर यह 2.042 है।
t-सांख्यक से p-मान कैसे निकालें?
सांख्यक के आगे का पुच्छ क्षेत्रफल लें: दाएँ-पक्षीय परीक्षण के लिए P(T ≥ t), बाएँ-पक्षीय के लिए P(T ≤ t), और द्विपक्षीय के लिए |t| के आगे के क्षेत्रफल का दोगुना। 10 स्वतंत्रता अंश पर t = 2.1 से P(T ≥ 2.1) = 0.0310 मिलता है; द्विपक्षीय p-मान 0.0621 है, जो 0.05 से अधिक है। यह शून्य परिकल्पना सही होने पर कम-से-कम इतने चरम सांख्यक की संभावना है, शून्य परिकल्पना के सही होने की संभावना नहीं।
एक स्वतंत्रता अंश पर काई-वर्ग का क्रांतिक मान क्या है?
ऊपरी पुच्छ के लिए α = 0.05 पर 3.841, α = 0.01 पर 6.635 और α = 0.10 पर 2.706। 10 स्वतंत्रता अंश पर 5% मान 18.307 है, जो NIST/SEMATECH की χ² तालिका (§1.3.6.7.4) से मेल खाता है। निकालने के लिए काई-वर्ग चुनें, बाएँ क्षेत्रफल से x निकालें और 1 − α, जैसे 0.95, भरें।
F-वितरण में दो स्वतंत्रता अंश क्यों होते हैं?
F-सांख्यक दो प्रसरण अनुमानों का अनुपात है। अंश के स्वतंत्रता अंश d₁ और हर के d₂ होते हैं। k समूहों और N प्रेक्षणों वाले एक-मार्गी ANOVA में d₁ = k − 1 और d₂ = N − k। क्रम महत्वपूर्ण है: (5, 20) के लिए 5% क्रांतिक मान 2.711 है, जबकि (20, 5) के लिए 4.558 है।
t-वितरण सामान्य वितरण से कैसे अलग है?
t-वितरण के पुच्छ अधिक भारी होते हैं, क्योंकि मानक विचलन का अनुमान नमूने से लगाने की अनिश्चितता शामिल होती है। 5 स्वतंत्रता अंश पर ±2 से बाहर लगभग 10.2% क्षेत्रफल है; मानक सामान्य वितरण में लगभग 4.6%। स्वतंत्रता अंश बढ़ने पर अंतर घटता है: द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 10 पर 2.228, 30 पर 2.042 और सामान्य वितरण में 1.960 है।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6 Gallery of distributions and §1.3.6.7 critical value tables
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chapter 26 (t, χ², F probability integrals)
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 9 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।