x³ − 6x² + 11x − 6
- गुणांक, सबसे बड़ी घात पहले
- 1, -6, 11, -6
- मूल
- 1, 2, 3
- वास्तविक मूल (बहुलता सहित)
- 3
- सबसे बड़ा वास्तविक मूल
- 3
- सबसे छोटा वास्तविक मूल
- 1
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: (x − 1)(x − 2)(x − 3) को हाथ से खोला गया
बहुपद के मूल ज्ञात करें
छठी घात तक के बहुपद, जैसे त्रिघात या चतुर्घात समीकरण, के सभी वास्तविक और सम्मिश्र मूल 30-अंकीय परिशुद्धता से पाएँ; दोहराए मूल सटीक पहचाने जाते हैं।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
मूल
1, 2, 3
मूल: 1, 2, 3
- वास्तविक मूल (बहुलता सहित)
- 3
- सबसे बड़ा वास्तविक मूल
- 3
- सबसे छोटा वास्तविक मूल
- 1
- घात
- 3
इस घात-3 बहुपद के 3 वास्तविक और 0 अवास्तविक सम्मिश्र मूल हैं (बहुलता सहित)।
p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6; xₖ तालिका का kवाँ मूल है।
सम्मिश्र तल: zₖ तालिका का kवाँ मूल है; टूटा वृत्त: इकाई वृत्त
मूल
| # | वास्तविक भाग | काल्पनिक भाग | बहुलता | |p(मूल)| |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 0 |
गणना कैसे होती है S
बहुपद
डुरांड–कर्नर पुनरावृत्ति
कोशी सीमा से मापित 0.4 + 0.9i की घातों से शुरुआत की; 12 चक्रों के बाद न्यूटन विधि से सुधार किया। हर सुधार 10⁻³⁰ की सापेक्ष सहनसीमा में था।
सटीक परिमेय मूल
हर भिन्न को p(x) में रखकर ठीक 0 मिलने से पुष्टि हुई।
विएटा के सूत्रों से जाँच
बहुपद के मूल ज्ञात करें के बारे में
घात n वाले बहुपद के सम्मिश्र संख्याओं में ठीक n मूल होते हैं, यदि उनकी बहुलता भी गिनी जाए; यही बीजगणित की मूल प्रमेय है। कैलकुलेटर पहले यून की वर्गमुक्त कलनविधि से दोहराए गुणनखंडों को सटीक रूप से अलग करता है, फिर डुरांड–कर्नर (वायरस्ट्रास) पुनरावृत्ति से बाकी मूल एक साथ निकालता है। इसमें n अनुमानों को सुधारते हुए मूल के सापेक्ष 10⁻³⁰ से छोटी त्रुटि का लक्ष्य रखा जाता है। परिमेय मूलों की पुष्टि सटीक प्रतिस्थापन से होती है।
अभियांत्रिकी, भौतिकी और बीजगणित के घन तथा चतुर्घात समीकरण सामान्य इनपुट हैं। पहले से दिए 1, −6, 11, −6 का अर्थ x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) है, इसलिए मूल 1, 2 और 3 हैं। उनका योग 6 और गुणनफल 6 है, जैसा विएटा के सूत्र बताते हैं।
गुणांक सबसे बड़ी घात से नीचे के क्रम में लिखें और गायब घातों के लिए शून्य रखें: x³ − 2 के लिए 1, 0, 0, −2। 1 से 6 तक की घात स्वीकार की जाती है।
गुणांक लिखकर बहुपद के मूल खोजें
सबसे बड़ी घात का गुणांक पहले लिखें और छूटी घात के लिए 0 रखें। x³−6x²+11x−6 के लिए 1, -6, 11, -6 दें। मूल 1, 2, 3 हैं, इसलिए बहुपद (x−1)(x−2)(x−3) है। x⁴−1 के लिए 1, 0, 0, 0, -1 चाहिए; इसके मूल 1, −1, i और −i हैं।
मूल r का अर्थ p(r)=0 है। दोहराव की संख्या उसकी बहुलता है: (x−2)³ में केवल अलग मान 2 है, लेकिन बहुलता 3 है। गुणांक a सहित विघटन a∏(x−r)ᵐ होता है। आगे का गुणांक छोड़ने से मूल तो वही रह सकते हैं, मूल बहुपद नहीं।
जाँचे हुए बहुपद
| बहुपद | गुणांक, सबसे बड़ी घात पहले | मूल |
|---|---|---|
| 2x − 3 | 2, -3 | 3/2 |
| x² + 1 | 1, 0, 1 | ±i |
| x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, -6, 11, -6 | 1, 2, 3 |
| (x − 1)³(x + 2) | 1, -1, -3, 5, -2 | −2, 1 (×3) |
| x⁴ − 1 | 1, 0, 0, 0, -1 | −1, 1, ±i |
सटीक मूल और संख्यात्मक अनुमान
उपकरण घात 1–6 के लिए 2–7 गुणांक लेता है। परिमेय गुणांकों में सटीक दोहरे घटक अलग करने के बाद संख्यात्मक मूल खोजे जाते हैं; पहचाने गए परिमेय मूल मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से जाँचे जाते हैं। बाकी दशमलव या सम्मिश्र मान अनुमान हैं।
दिखाया गया अवशेष |p(r)| बताता है कि निकाले मान पर बहुपद शून्य के कितना निकट है। यह मूल के स्थान की प्रमाणित त्रुटि-सीमा नहीं है: पूरे बहुपद को किसी संख्या से गुणा करने पर अवशेष का पैमाना बदलता है। बहुत पास या बार-बार आने वाले मूल संवेदनशील हो सकते हैं। पुनरावृत्ति सीमा की चेतावनी मिलने पर सभी अंक विश्वसनीय न मानें।
चित्र में व्यवहार जाँचने के लिए ग्राफ कैलकुलेटर, और सम्मिश्र मूल के साथ आगे संक्रिया करने के लिए सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर देखें।
हल किए गए उदाहरण
x³ − 2 (एक वास्तविक, दो सम्मिश्र)
- गुणांक, सबसे बड़ी घात पहले
- 1, 0, 0, -2
- मूल
- 1.25992105, −0.6299605249 ± 1.091123636i
- वास्तविक मूल (बहुलता सहित)
- 1
- सबसे बड़ा वास्तविक मूल
- 1.2599210499
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
x⁴ − 1
- गुणांक, सबसे बड़ी घात पहले
- 1, 0, 0, 0, -1
- मूल
- −1, 1, ±i
- वास्तविक मूल (बहुलता सहित)
- 2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: इकाई के चौथे मूल: ±1, ±i
दोहराया मूल (x − 1)³(x + 2)
- गुणांक, सबसे बड़ी घात पहले
- 1, -1, -3, 5, -2
- मूल
- −2, 1 (×3)
- वास्तविक मूल (बहुलता सहित)
- 4
- सबसे छोटा वास्तविक मूल
- -2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: (x − 1)³(x + 2) = x⁴ − x³ − 3x² + 5x − 2
सवाल
बहुपद के कितने मूल होते हैं?
सम्मिश्र मूलों और बहुलता को शामिल करने पर मूलों की संख्या बहुपद की घात के बराबर होती है; यही बीजगणित की मूल प्रमेय है। x⁴ − 1 के चार मूल −1, 1, i और −i हैं। वास्तविक मूल कम हो सकते हैं: x³ − 2 का एक वास्तविक मूल ∛2 ≈ 1.259921 और दो सम्मिश्र मूल हैं। बहुलता 3 वाला मूल, जैसे (x − 1)³(x + 2) में x = 1, तीन बार गिना जाता है।
घन समीकरण कैसे हल करें?
पहले परिमेय मूल खोजें। परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के किसी परिमेय मूल p/q में p अचर पद को और q अग्र गुणांक को विभाजित करता है। x³ − 6x² + 11x − 6 में 6 के भाजक आज़माने पर x = 1 मिलता है; (x − 1) से भाग देने पर x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) बचता है। परिमेय मूल न मिलने पर कार्दानो का सूत्र या संख्यात्मक विधि चाहिए।
क्या पंचघात के मूलों का कोई सूत्र है?
घात 5 या उससे अधिक के लिए करणियों का उपयोग करने वाला कोई सामान्य सूत्र नहीं है। एबेल ने 1824 में एबेल–रुफ़िनी प्रमेय से यह सिद्ध किया; गाल्वा सिद्धांत बताता है कि कौन-से समीकरण इस तरह हल हो सकते हैं। x⁵ − x − 1 ऐसा सामान्य उदाहरण है जिसके मूल करणियों में नहीं लिख सकते। संख्यात्मक विधियाँ फिर भी उन्हें निकालती हैं: इसका एकमात्र वास्तविक मूल लगभग 1.167304 है।
विएटा के सूत्र क्या हैं?
ये मूलों को गुणांकों से जोड़ते हैं। aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ के मूलों का योग −aₙ₋₁/aₙ और गुणनफल (−1)ⁿa₀/aₙ है। x³ − 6x² + 11x − 6 के मूल 1, 2 और 3 का योग 6 और गुणनफल 6 है, जो −(−6)/1 और (−1)³ × (−6)/1 से मेल खाते हैं। कैलकुलेटर निकाले गए मूलों की जाँच के लिए दोनों का उपयोग करता है।
सम्मिश्र मूल संयुग्मी जोड़ियों में क्यों आते हैं?
जब सभी गुणांक वास्तविक हों, तो p(z) = 0 का संयुग्म लेने पर p(z̄) = 0 मिलता है, इसलिए मूल का संयुग्मी भी मूल होता है। इसीलिए x³ − 2 में वास्तविक मूल के साथ −0.629961 ± 1.091124i की जोड़ी है। इससे यह भी निकलता है कि वास्तविक गुणांकों वाले विषम घात के बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।