कक्षीय वेग और गुरुत्वाकर्षण कैलकुलेटर

कक्षीय वेग कैसे निकालें

यह कैलकुलेटर न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम से चार चीज़ें निकालता है: वृत्तीय कक्षा की चाल और आवर्तकाल, पलायन वेग, पृष्ठीय गुरुत्व (और वहाँ आपका भार), और दो द्रव्यमानों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल। वृत्तीय कक्षा की चाल, यानी कक्षीय वेग (orbital velocity), v = √(GM/r) है, जहाँ r ग्रह के केंद्र से मापी जाती है। डिफ़ॉल्ट में पृथ्वी से 400 km ऊपर, अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन जैसी ऊँचाई पर, r = 6,371 + 400 = 6,771 km और GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² है, इसलिए v = 7,672.62 m/s, लगभग 7.67 km/s, और एक चक्कर 92.41 मिनट का होता है।

त्रिज्या, ऊँचाई और कक्षीय चाल

सूत्र लगाने से पहले ऊँचाई में पिंड की त्रिज्या जोड़ें: r = R + h। केवल 400 km की ऊँचाई रखने पर 31,567 m/s आता है, जो वास्तविक कक्षीय चाल के चार गुने से भी अधिक है।

उपग्रह का अपना द्रव्यमान कट जाता है, इसलिए एक ही ऊँचाई पर अंतरिक्ष स्टेशन और ढीला बोल्ट एक ही चाल से चलते हैं।

नीची कक्षाएँ तेज़ होती हैं। पृथ्वी की माध्य सतह को छूती कक्षा के लिए 7,909.81 m/s और प्रति चक्कर 84.35 मिनट चाहिए, जबकि भूस्थिर त्रिज्या पर केवल 3,074.67 m/s।

कक्षीय आवर्तकाल और केप्लर का तीसरा नियम

वृत्तीय कक्षा का आवर्तकाल T = 2π√(r³/GM) है। 400 km वाली कक्षा के लिए T = 5,544.8 s, यानी 92.41 मिनट। इससे दिखता है कि T² ∝ r³, जो केप्लर का तीसरा नियम है।

त्रिज्या के लिए हल करने पर r = (GMT²/4π²)^(1/3)। एक नाक्षत्र दिवस (sidereal day), 23.9344696 घंटे, से r = 42,164.2 km मिलता है, जो भूस्थिर (geostationary) त्रिज्या है। वहाँ भूमध्यरेखीय कक्षा में उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ-साथ चलता है और ज़मीन से एक ही जगह टिका दिखता है।

पृथ्वी की 6,371 km की माध्य त्रिज्या घटाने पर 35,793.2 km की ऊँचाई बचती है। आम तौर पर बताया जाने वाला 35,786 km का आँकड़ा इसकी जगह 6,378 km की भूमध्यरेखीय त्रिज्या घटाता है।

OpenStax का उपग्रह कक्षाओं वाला अध्याय दोनों सूत्र उस भीतरी बल से व्युत्पन्न करता है जो वृत्तीय पथ के लिए चाहिए।

पलायन वेग कैसे निकालें

पलायन वेग (escape velocity) v_esc = √(2GM/r) है, उसी त्रिज्या पर वृत्तीय कक्षा की चाल का √2 ≈ 1.414 गुना। पृथ्वी की सतह से यह 11,186 m/s है; 400 km ऊपर से 10,851 m/s।

यह वह चाल है जिस पर बिना आगे के धक्के और बिना वायु-प्रतिरोध के चलती वस्तु कभी वापस नहीं गिरती। असली प्रक्षेपण को इससे अधिक चाहिए, क्योंकि वायु-प्रतिरोध, गुरुत्व हानि और दिशा बदलना ज़रूरत बढ़ाते हैं।

पृष्ठीय गुरुत्व और दूसरे ग्रहों पर भार

पृष्ठीय गुरुत्व g = GM/R² है, और भार द्रव्यमान गुणा g। NASA की ग्रह फ़ैक्ट शीटों के द्रव्यमानों और माध्य त्रिज्याओं के साथ:

• पृथ्वी: g = 9.820 m/s²; 70 kg के व्यक्ति का भार 687.4 N; पलायन वेग 11,186 m/s
• चंद्रमा: g = 1.624 m/s²; 70 kg का भार 113.7 N; पलायन वेग 2,376 m/s
• मंगल: g = 3.728 m/s²; 70 kg का भार 261.0 N; पलायन वेग 5,027 m/s
• बृहस्पति, अपनी माध्य त्रिज्या पर (उसकी ठोस सतह नहीं है): g = 25.92 m/s²; 70 kg का भार 1,814 N; पलायन वेग 60,202 m/s

द्रव्यमान हर जगह 70 kg ही रहता है; केवल भार बदलता है। चंद्रमा पर पृथ्वी पर अंशांकित तराज़ू वही 70 kg का व्यक्ति 11.6 kg दिखाएगा, क्योंकि ऐसा तराज़ू बल मापता है और उसे पृथ्वी के मानक गुरुत्व 9.80665 m/s² से किलोग्राम में बदलता है। मॉडल हर पिंड को न घूमने वाला गोला मानता है, इसलिए पृथ्वी का मान 9.820 m/s² आता है, मानक गुरुत्व 9.80665 m/s² से थोड़ा अधिक।

दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम F = Gm₁m₂/r² है, जहाँ r केंद्र से केंद्र तक मापी जाती है। 1 m दूर रखे 1 kg के दो द्रव्यमान 6.674 × 10⁻¹¹ N से एक-दूसरे को खींचते हैं। 384,400 km दूर पृथ्वी और चंद्रमा एक-दूसरे को 1.98 × 10²⁰ N से खींचते हैं। दोनों बल बराबर और विपरीत हैं, द्रव्यमान कितने भी अलग हों।

G = 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², CODATA 2022 का मान है। यह लगभग 100,000 में 2 भाग तक ज्ञात है, इसलिए किसी भी परिणाम के अंतिम एक-दो सार्थक अंक अनिश्चित हैं, और कैलकुलेटर यह चेतावनी हर परिणाम के साथ दिखाता है।

कक्षा, पलायन और भार के परिणाम

डिफ़ॉल्ट पृथ्वी की 400 km वाली कक्षा है। "नाक्षत्र आवर्तकाल" 23.9344696 घंटे के आवर्तकाल के लिए ऊँचाई निकालता है, "सतह से पलायन" पृथ्वी की सतह से पलायन वेग है, और "चंद्रमा पर भार" चंद्रमा पर 70 kg का द्रव्यमान है।

आम ग़लतियाँ

• भूस्थिर कक्षा के लिए 24 घंटे लेना। नाक्षत्र दिवस 23 h 56 min 4 s का है; 24 घंटे का आवर्तकाल कक्षा को 77 km ऊँचा रख देता है।
• माध्य और भूमध्यरेखीय त्रिज्या मिलाना। पृथ्वी पर इनमें 7 km का अंतर है, जो सीधे ऊँचाइयों में दिखता है।
• किलोग्राम को भार कहना। भार न्यूटन में मापा जाने वाला बल है; 70 kg का द्रव्यमान चंद्रमा पर भी 70 kg ही है।
• r में केवल ऊँचाई रखना। कक्षीय सूत्रों में r हमेशा केंद्र से है, सतह से नहीं।

पिंडों के आँकड़े और इकाइयाँ

• पृथ्वी, चंद्रमा, मंगल, बृहस्पति और सूर्य के लिए NASA फ़ैक्ट शीट के द्रव्यमान और आयतनी माध्य त्रिज्याएँ ली गई हैं; कस्टम पिंड कोई भी द्रव्यमान और त्रिज्या लेता है।
• ऊँचाई पिंड की माध्य त्रिज्या से ऊपर मापी जाती है।
• कक्षीय आवर्तकाल घंटे, मिनट, दिन या सेकंड में दिया जा सकता है।
• परिणाम km, m/s और N में, या मील, mph और lbf में दिखाए जा सकते हैं।

किसी भी वृत्तीय पथ के पीछे के भीतरी त्वरण के लिए वृत्तीय गति कैलकुलेटर इस्तेमाल करें। ज़मीन के पास की छोटी उड़ानें, जहाँ g स्थिर है, प्रक्षेप्य गति कैलकुलेटर में आती हैं।