RC और RL परिपथ का समय स्थिरांक और किसी भी प्रतिशत तक आवेशन या निरावेशन का समय; श्रेणी RLC परिपथ की अनुनादी आवृत्ति, प्रतिबाधा, कला, Q गुणांक और बैंड-चौड़ाई।
τ = 1 s: एक τ के बाद संधारित्र वोल्टेज का मान 5 V के 63.2% तक बढ़ जाता है, और 90% तक पहुँचने में 2.303 s लगता है। 5τ के बाद मान अंतिम मान से 1% के भीतर होता है।
पाँच समय स्थिरांकों में संधारित्र का वोल्टेज
गणना कैसे होती है S
समय स्थिरांक
τ=RC=(10,000)(0.0001)=1s
अंतिम मान की ओर वृद्धि
x(t)=X∞(1−e−t/τ),X∞=5V
90% तक पहुँचने का समय
t=−τln(1−0.9)=2.30259s
पूरा आवेशित होने पर संचित ऊर्जा
E=21CV2=0.00125J
RC समय स्थिरांक और RLC परिपथ कैलकुलेटर के बारे में
RC परिपथ समय स्थिरांक τ = RC से और RL परिपथ τ = L/R से प्रतिक्रिया करता है: एक τ के बाद संधारित्र का वोल्टेज या प्रेरक की धारा अपने अंतिम मान तक के रास्ते का 63.2% तय कर लेती है, और किसी भिन्न p तक पहुँचने में t = −τ ln(1 − p) लगता है। श्रेणी RLC परिपथ के लिए कैलकुलेटर अनुनादी आवृत्ति f₀ = 1/(2π√(LC)), प्रतिघातों 2πfL और 1/(2πfC) से आपकी सिग्नल आवृत्ति पर प्रतिबाधा और कला, तथा Q = (1/R)√(L/C) निकालता है।
पहले से भरे मान, 5 V सप्लाई पर 10 kΩ और 100 µF, τ = 1 s देते हैं और 90% तक पहुँचने में 2.30 s लगते हैं। RC समय स्थिरांक टाइमर की देरी, स्विच डिबाउंस की अवधि और फ़िल्टर की कट-ऑफ़ आवृत्ति 1/(2πRC) तय करते हैं। श्रेणीक्रम में 10 Ω, 10 mH और 1 µF से f₀ = 1,591.55 Hz और Q = 10 मिलते हैं।
पुर्ज़े आदर्श माने गए हैं और इनपुट एक सोपान (स्टेप) है: संधारित्र में कोई क्षरण नहीं और प्रेरक की लपेट में R के अलावा कोई प्रतिरोध नहीं। 5τ के बाद प्रतिक्रिया अपने अंतिम मान से 0.67% (e⁻⁵) के भीतर होती है, जिसे सामान्यतः "पूरा आवेशित" माना जाता है।
RC समय स्थिरांक कैसे निकालें
यह कैलकुलेटर RC और RL परिपथ का समय स्थिरांक τ, किसी भी प्रतिशत तक आवेशन या निरावेशन का समय, और श्रेणी RLC परिपथ की अनुनादी आवृत्ति, प्रतिबाधा, कला, Q गुणांक तथा बैंड-चौड़ाई निकालता है। पहले से भरे मान, 5 V सप्लाई पर 10 kΩ और 100 µF, से τ = 1 s आता है, और संधारित्र को 90% तक आवेशित होने में 2.303 s लगते हैं।
प्रतिरोध को धारिता से गुणा करें: τ = R × C, सेकंड में, जब R ओम में और C फ़ैराड में हो। 10 kΩ और 100 µF के लिए τ = 10,000 × 0.0001 = 1 s। उस प्रतिरोधक से आवेशित होता संधारित्र एक τ के बाद सप्लाई के 63.2% तक पहुँचता है और पाँच समय स्थिरांकों (5 s) के बाद पूरा आवेशित माना जाता है।
हर समय स्थिरांक के बाद आवेशन और निरावेशन
शून्य से आवेशन में संधारित्र का वोल्टेज V(t) = Vs(1 − e^(−t/τ)) के अनुसार बढ़ता है। किसी आरंभिक वोल्टेज V₀ से निरावेशन में यह V(t) = V₀ e^(−t/τ) के अनुसार घटता है। हर समय स्थिरांक बचे हुए अंतर का 63.2% पूरा कर देता है:
1τ: 63.2% आवेशित, या निरावेशन में 36.8% बचा
2τ: 86.5% आवेशित, 13.5% बचा
3τ: 95.0% आवेशित, 5.0% बचा
4τ: 98.2% आवेशित, 1.8% बचा
5τ: 99.3% आवेशित, 0.7% बचा
आदर्श वक्र कभी 100% तक नहीं पहुँचता, इसलिए व्यवहार में 5τ को पूरा आवेशित या पूरा निरावेशित माना जाता है। OpenStax (अंग्रेज़ी में) दोनों वक्र व्युत्पन्न करता है।
किसी प्रतिशत तक पहुँचने में कितना समय लगता है
वक्र को समय के लिए हल करें, स्तर p को भिन्न के रूप में लिखकर:
अंतिम मान के p तक आवेशन: t = −τ ln(1 − p)
आरंभिक मान का p बचने तक निरावेशन: t = −τ ln(p)
90% तक आवेशन में τ ln 10 = 2.303τ लगता है, ठीक उतना ही जितना 10% बचने तक निरावेशन में। 99% तक पहुँचने में τ ln 100 = 4.605τ लगता है, और आधा रास्ता τ ln 2 = 0.693τ पर आता है।
5 V सप्लाई पर 10 kΩ, 100 µF का परिपथ 2.303 s बाद 4.5 V (90%) और 4.605 s बाद 4.95 V (99%) पर पहुँचता है। एक सेकंड पर वोल्टेज 5 × (1 − e^(−1)) = 3.16 V होता है; कैलकुलेटर के "इस समय पर मान" में 1 s डालकर यही मिलता है।
RL परिपथ: τ = L/R
RL परिपथ में वोल्टेज नहीं, धारा उसी वक्र पर I = V/R की ओर बढ़ती है, और τ = L/R होता है।
5 V पर 100 Ω और 10 mH के लिए τ = 0.01 ÷ 100 = 100 µs। धारा 50 mA की ओर बढ़ती है, 50 µs बाद 19.67 mA होती है और लगभग 460 µs बाद 99% तक पहुँचती है।
दोनों परिपथों में प्रतिरोध उलटी दिशा में असर डालता है। बड़ा R RC परिपथ को धीमा करता है, क्योंकि τ = RC बढ़ता है, पर RL परिपथ को तेज़, क्योंकि τ = L/R घटता है। कुंडली की लपेट का प्रतिरोध भी R में गिना जाता है (RL परिपथों पर OpenStax, अंग्रेज़ी में)।
RC और RL समय स्थिरांकों की तुलना
पहली पंक्ति 10 kΩ, 100 µF का परिपथ है, जो 90% तक आवेशित होता है। दूसरी में वही जोड़ी 10% बचने तक निरावेशित होती है। तीसरी 10 Ω और 10 mH की है, जिसमें धारा अपने अंतिम मान के 90% तक बढ़ती है।
स्थिति
समय स्थिरांक
लक्ष्य तक समय
डिफ़ॉल्ट
1 s
2.30259 s
RC क्षय
1 s
2.30259 s
RL वृद्धि
1 ms
2.30259 ms
तीनों में 2.30259τ लगता है, क्योंकि 90% तक आवेशन और 10% तक क्षय दोनों परिवर्तन का नौ-दसवाँ हिस्सा तय करते हैं।
पूरा आवेशित होने पर संचित ऊर्जा
आवेशित संधारित्र में E = ½CV² ऊर्जा होती है, और अपनी अंतिम धारा ले जा रहे प्रेरक में E = ½LI², जहाँ I = V/R। 5 V पर 100 µF में ½ × 0.0001 × 25 = 1.25 mJ संचित होती है। 50 mA पर 10 mH की कुंडली में ½ × 0.01 × 0.05² = 12.5 µJ।
श्रेणी RLC परिपथ: अनुनादी आवृत्ति, प्रतिबाधा और कला
ज्यावक्रीय (साइन) तरंग से चलाया गया श्रेणी RLC परिपथ f₀ = 1/(2π√(LC)) पर अनुनाद करता है। वहाँ प्रेरकीय प्रतिघात XL = 2πfL धारितीय प्रतिघात XC = 1/(2πfC) के बराबर होता है, दोनों एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, और प्रतिबाधा घटकर केवल R रह जाती है।
किसी और आवृत्ति पर प्रतिबाधा |Z| = √(R² + (XL − XC)²) और कला φ = arctan((XL − XC)/R) है। 10 Ω, 10 mH और 1 µF के लिए हल:
अनुनाद से नीचे परिपथ धारितीय है: कला ऋणात्मक है और धारा वोल्टेज से आगे रहती है। 2 kHz पर यही पुर्ज़े प्रेरकीय हैं, |Z| = 47.16 Ω और φ = +77.76°, इसलिए वोल्टेज धारा से आगे रहता है। f₀ पर धारा अधिकतम, 5 ÷ 10 = 0.5 A, होती है।
Q गुणांक, बैंड-चौड़ाई और अवमंदन
गुणता गुणांक Q = (1/R)√(L/C) है, और −3 dB बैंड-चौड़ाई f₀/Q। उदाहरण में Q = (1/10) × √(0.01/0.000001) = 10, इसलिए शिखर 159.15 Hz चौड़ा है। R f₀ को नहीं खिसकाता; वह शिखर की तीक्ष्णता तय करता है।
यही पुर्ज़े तय करते हैं कि परिपथ अचानक लगाए गए वोल्टेज (स्टेप) पर कैसी प्रतिक्रिया देगा। α = R/(2L) की तुलना ω₀ = 1/√(LC) से करें:
अल्प-अवमंदित (α < ω₀, Q > 0.5): प्रतिक्रिया लक्ष्य से आगे निकलती है और दोलन करती है।
क्रांतिक अवमंदित (α = ω₀, Q = 0.5): बिना आगे निकले सबसे तेज़ स्थिर होना। 10 mH और 1 µF के लिए इसके लिए R = 2√(L/C) = 200 Ω चाहिए।
अति-अवमंदित (α > ω₀, Q < 0.5): बिना आगे निकले, पर धीमे स्थिर होना।
HyperPhysics और OpenStax (दोनों अंग्रेज़ी में) श्रेणी अनुनाद को विस्तार से समझाते हैं।
RC फ़िल्टर की कट-ऑफ़ आवृत्ति
यही τ प्रथम कोटि के RC लो-पास या हाई-पास फ़िल्टर की −3 dB कट-ऑफ़ आवृत्ति तय करता है: fc = 1/(2πRC)। 10 kΩ और 100 nF से τ = 1 ms और कट-ऑफ़ 159.15 Hz मिलती है।
उत्तर बिगाड़ने वाली गलतियाँ
उपसर्ग की चूक। 100 nF, 100 µF का हज़ारवाँ हिस्सा है: 10 kΩ और 100 nF से τ = 1 ms आता है, 1 s नहीं।
τ को पूरा आवेशन मान लेना। एक τ के बाद संधारित्र केवल 63.2% आवेशित होता है; 5τ का समय रखें।
प्रतिरोध का कोई हिस्सा छोड़ देना। R आवेशन के रास्ते का कुल प्रतिरोध है, जिसमें स्रोत का आउटपुट प्रतिरोध भी शामिल है।
शिखर और RMS मान मिलाना। धारा उसी परिपाटी में आती है जिसमें आप स्रोत का वोल्टेज डालते हैं।
असली पुर्ज़ों से सटीक समय की अपेक्षा करना। संधारित्र की सहनसीमा और क्षरण असली देरी को बदलते हैं, इसलिए जो समय मायने रखता हो उसे मापें।
जाँचने लायक इनपुट
प्रतिरोध में Ω चुनकर 4.7k जैसे संक्षिप्त रूप चलते हैं; kΩ चुनकर 4.7k लिखने का अर्थ 4.7 MΩ है।
लक्ष्य प्रतिशत आवेशन में अंतिम मान का हिस्सा है, और निरावेशन में आरंभिक मान का बचा हुआ हिस्सा। आवेशन में 100% चुनने पर कैलकुलेटर त्रुटि दिखाता है, क्योंकि अंतिम मान तक कभी पहुँचा नहीं जाता।
समय t डालने पर स्विच करने के उतने समय बाद का संधारित्र वोल्टेज (RC) या प्रेरक धारा (RL) मिलती है।
τ = R × C, सेकंड में, जब R ओम में और C फ़ैराड में हो। यह वह समय है जिसमें आवेशित होता संधारित्र सप्लाई वोल्टेज के 63.2% (1 − e⁻¹) तक पहुँचता है, या निरावेशित होता संधारित्र 36.8% तक गिरता है। 10 kΩ और 100 µF से τ = 1 s मिलता है; 1 kΩ और 1 µF से 1 ms।
संधारित्र को पूरा आवेशित होने में कितना समय लगता है?
लगभग पाँच समय स्थिरांक। 5τ के बाद वोल्टेज सप्लाई का 99.33% (1 − e⁻⁵) होता है, जिसे इंजीनियर पूरा आवेशित मानते हैं; सिद्धांत में वह वहाँ कभी पूरी तरह नहीं पहुँचता। 90% तक पहुँचने में τ ln 10 ≈ 2.303τ और 99% तक τ ln 100 ≈ 4.605τ लगता है, इसलिए 10 kΩ, 100 µF का परिपथ 4.6 s में 99% तक पहुँचता है।
RLC परिपथ की अनुनादी आवृत्ति कैसे निकालें?
f₀ = 1/(2π√(LC)), जहाँ L हेनरी में और C फ़ैराड में है; श्रेणी परिपथ में R इसे नहीं खिसकाता। 10 mH और 1 µF 1,591.55 Hz पर अनुनाद करते हैं, और 100 µH तथा 100 pF 1.59 MHz पर। f₀ पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात बराबर होकर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, इसलिए प्रतिबाधा घटकर केवल R रह जाती है और धारा अधिकतम होती है।
श्रेणी RLC परिपथ का Q गुणांक क्या है?
Q = (1/R)√(L/C), यानी अनुनाद पर किसी भी प्रतिघात और प्रतिरोध का अनुपात। यही −3 dB बैंड-चौड़ाई Δf = f₀/Q तय करता है: 10 Ω, 10 mH और 1 µF से Q = 10 और 1,592 Hz के आसपास 159 Hz का बैंड मिलता है। Q = 0.5 से ऊपर परिपथ दोलन करता है (अल्प-अवमंदित); ठीक 0.5 पर क्रांतिक अवमंदन होता है, जो यहाँ R = 2√(L/C) = 200 Ω पर आता है।
RL परिपथ का समय स्थिरांक क्या है?
τ = L/R। स्विच बंद होने के बाद धारा को अपने अंतिम मान V/R के 63.2% तक बढ़ने में, या स्रोत हटने पर कुंडली के R से होकर निरावेशित होते समय 36.8% तक गिरने में, इतना समय लगता है। 10 mH और 100 Ω से τ = 100 µs मिलता है, इसलिए 5 V पर धारा लगभग 460 µs में 50 mA के 99% तक पहुँचती है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।
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