युग्मित डेटा के लिए Pearson r या Spearman क्रम-सहसंबंध: r², t-सांख्यक और द्विपक्षीय p-मान सहित।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 4
r = 0.9816। मजबूती: मजबूत धनात्मक; संबंध: रैखिक। r² = 0.9636: अंतःखंड वाली न्यूनतम-वर्ग रेखा y के देखे गए बदलाव का 96.36% समझाती है। 10 स्वतंत्र युग्मों के लिए, शून्य मॉडल की मान्यताओं के अंतर्गत Pearson t-परीक्षण से p = 4.86 × 10⁻⁷ मिलता है। केवल सहसंबंध से कारण स्थापित नहीं होता।
युग्मों को स्वतंत्र और लगभग द्विचर सामान्य मानता है।
Pearson r बताता है कि युग्मित मान सीधी रेखा का कितना अनुसरण करते हैं: r = Sxy/√(Sxx·Syy)। दोनों औसतों से विचलनों के गुणनफलों के योग को वर्गों के दोनों योगों के गुणनफल के वर्गमूल से भाग देते हैं। यह पूर्ण घटती रेखा के −1 से, 0 होकर, पूर्ण बढ़ती रेखा के +1 तक जाता है। Spearman ρ, रैंकों पर निकाला गया Pearson r है; यह लगातार बढ़ती या घटती प्रवृत्ति मापता है और बाह्य मानों से कम प्रभावित होता है। p-मान के लिए n − 2 स्वतंत्रता अंश के साथ t = r√((n − 2)/(1 − r²)) उपयोग होता है। Pearson का यह संदर्भ परीक्षण शून्य सहसंबंध वाली द्विचर सामान्य समष्टि से स्वतंत्र युग्म मानता है। Spearman के लिए यह सन्निकटन है, सटीक क्रमचय परीक्षण नहीं।
डिफ़ॉल्ट में 10 विद्यार्थियों के पढ़ाई के घंटे और परीक्षा अंक युग्मित हैं: r = 0.9816, r² = 0.9636 और p = 4.9 × 10⁻⁷; एक मजबूत धनात्मक संबंध।
शून्य के करीब Pearson सहसंबंध का अर्थ सभी प्रकार के संबंधों का अभाव नहीं है। x = −3 से 3 तक y = x² में r ठीक 0 है, फिर भी स्पष्ट वक्र संबंध है।
हर x के सामने वाला y उसी स्थान पर भरें। Pearson के लिए r = Sxy/√(SxxSyy) है। यह सीधी रेखा के आसपास संबंध मापता है, −1 से +1 तक। चिह्न दिशा बताता है और परिमाण रैखिक जुड़ाव। यह ढाल नहीं है, इसलिए अलग माप-इकाइयों वाले संबंधों की तुलना में भी उपयोग हो सकता है।
प्रारंभिक x = 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8 और y = 52, 55, 61, 58, 66, 70, 68, 75, 79, 84 हैं। माध्य 4.3 और 66.8, Sxx = 48.1, Syy = 993.6, Sxy = 214.6 से r = 0.981638 मिलता है।
साधारण अवरोध वाली न्यूनतम-वर्ग रेखा में r² नमूने के y-विचरण का समझाया गया हिस्सा है। यहाँ r² लगभग 0.9636 है। r = 0.7 का अर्थ 70% समझाया गया विचरण नहीं; r² = 0.49, अर्थात 49%, होगा। मजबूत या कमजोर के शब्द संदर्भ और विषय पर निर्भर हैं।
शून्य Pearson का अर्थ हर प्रकार का संबंध न होना नहीं। x = −3 से 3 और y = x² में r शून्य है, जबकि हर y पूरी तरह x से तय है। वक्र के दोनों ओर की प्रवृत्तियाँ रैखिक गणना में रद्द हो जाती हैं।
Spearman पहले दोनों सूचियों को रैंक में बदलता है और उन रैंकों पर Pearson निकालता है। इसलिए लगातार बढ़ता या घटता वक्र भी पकड़ा जा सकता है। बराबर मानों को उनके रैंक-स्थानों का औसत मिलता है; 1, 2, 2, 3 की रैंक 1, 2.5, 2.5, 4 है।
x = 1 से 5 और y = x³ में Spearman ठीक 1 है। बराबर रैंकों वाले जाँचे हुए उदाहरण में गुणांक लगभग 0.575768 और t-आधारित सन्निकट p 0.135297 है। क्रम बनाए रखना महत्वपूर्ण है; केवल एक सूची छाँटने से जोड़ियाँ बदल जाती हैं।
| उदाहरण | गुणांक | दो-तरफा p-मूल्य |
|---|---|---|
| प्रारंभिक मान | 0.981638 | 4.864640E-7 |
| ऋणात्मक संबंध | -0.891042 | 0.017161 |
| बराबर रैंकों सहित स्पीयरमैन | 0.575768 | 0.135297 |
| शून्य सहसंबंध | 0.000000 | 1.000000 |
| घन फलन का स्पीयरमैन | 1.000000 | 0.000000 |
शून्य सहसंबंध की t गणना t = r√((n−2)/(1−r²)), df = n−2 है। प्रारंभिक Pearson p लगभग 4.864640 × 10⁻⁷ है। बहुत बड़ा n छोटे संबंध को भी सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण बना सकता है; p प्रभाव की मात्रा नहीं है।
Spearman के लिए यहाँ वही t तरीका सन्निकटन है। SciPy का संदर्भ छोटे नमूनों में permutation परीक्षण पर विचार करने को कहता है। रैंक गुणांक ±1 पर प्रदर्शित p = 0 इस सन्निकटन की सीमा है; सीमित नमूने का सटीक permutation p सचमुच शून्य नहीं होता।
Pearson एक बाहरी मान से बहुत बदल सकता है। प्रारंभिक अंतिम अंक 84 की जगह 30 करने पर r लगभग 0.051 तक गिरता है। चित्र में वक्र, समूह और बाहरी मान देखे बिना एक गुणांक पर निर्भर न हों। रैंक विधि भी हर तरह के संबंध या दूषित डेटा का समाधान नहीं है।
कम-से-कम तीन जोड़ियाँ चाहिए। कोई सूची स्थिर हो तो सहसंबंध अपरिभाषित है, शून्य नहीं। Pearson की छोटी-नमूना t व्याख्या उपयुक्त सामान्यता और स्वतंत्र जोड़ों का मॉडल मानती है। सहसंबंध कारण नहीं बताता: तीसरा चर, उलटी दिशा या संयोग भी संबंध बना सकते हैं। रेखा और अनुमान के लिए प्रतिगमन कैलकुलेटर, अलग सूचियों का फैलाव देखने के लिए वर्णनात्मक सांख्यिकी उपयोग करें।
जाँच का स्रोत: पूर्णांक स्वतंत्रता अंश वाले Student t CDF के बंद रूप से p (Abramowitz & Stegun 26.7.4)
जाँच का स्रोत: A&S 26.7.4 के बंद रूप से p = 2·(1 − F_t(|t|; 4))
जाँच का स्रोत: भिन्नों से रैंकों का Pearson r (Sxy = 95/4, Sxx = 41, Syy = 83/2), A&S 26.7.4 t CDF से p
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: y = 2x + 1 ठीक होने से r = 1; निरंतर शून्य मॉडल में t-परीक्षण का सीमांत p-मान 0 है
काफी मजबूत धनात्मक रैखिक संबंध: x बढ़ने पर y भी बढ़ने की प्रवृत्ति रखता है। r² = 0.49 बताता है कि अंतःखंड वाली न्यूनतम-वर्ग रेखा y के देखे गए बदलाव का 49% समझाती है। Cohen (1988) के 0.1, 0.3 और 0.5 छोटे, मध्यम और बड़े प्रभाव के प्रचलित संकेत हैं; यहाँ मजबूती के वर्ग इन्हीं सीमाओं पर आधारित हैं। ये व्यवहार-विज्ञान के मोटे संकेत हैं; क्या मजबूत माना जाए, यह क्षेत्र पर निर्भर है।
Pearson r मूल मानों से रैखिक संबंध मापता है। Spearman ρ उनके रैंकों पर वही सूत्र लगाता है, इसलिए एकदिश प्रवृत्ति मापता है। x = 1 से 10 और y = x³ पर Spearman ठीक 1, जबकि Pearson लगभग 0.928 देता है। Spearman बाह्य मानों से कम प्रभावित होता है और रेटिंग जैसे क्रमिक डेटा में उपयोगी है; मूल मानों की न्यूनतम-वर्ग रेखा से Pearson r मेल खाता है।
नहीं। सहसंबंध बताता है कि दो चर साथ बदलते हैं, कारण नहीं। कोई तीसरा चर दोनों को प्रभावित कर सकता है, जैसे गर्मी से आइसक्रीम बिक्री और डूबने की घटनाएँ दोनों बढ़ना। कारण की दिशा उलटी भी हो सकती है या संबंध संयोग हो सकता है: α = 0.05 पर 20 असंबद्ध जोड़ियों की जाँच में औसतन लगभग एक सार्थक लग सकती है। कारण स्थापित करने के लिए यादृच्छिक प्रयोग या सावधानी से बनाया गया कारणात्मक अध्ययन चाहिए।
r को t = r√((n − 2)/(1 − r²)) में बदलकर n − 2 स्वतंत्रता अंश वाले t-वितरण से तुलना करें। Pearson के संदर्भ परीक्षण में स्वतंत्र, द्विचर सामान्य युग्मों की मान्यता है; Spearman के लिए यह सन्निकटन है। डिफ़ॉल्ट में r = 0.9816 और n = 10 से t = 14.56, स्वतंत्रता अंश 8 और p = 4.9 × 10⁻⁷ मिलता है। सार्थकता n पर बहुत निर्भर है: 1,000 युग्मों में r = 0.07 भी p = 0.027 देता है, जबकि समझाया गया बदलाव 0.5% से कम है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 4 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।