न्यूनतम-वर्ग रैखिक प्रतिगमन: R², मानक त्रुटियाँ, p-मान और पूर्वानुमान, साथ में बहुपद और चरघातांकी अनुरूपण।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 5
x की हर अतिरिक्त इकाई के साथ y में अनुरूपित बदलाव 3.1091 है। अनुरूपण y में देखे गए बदलाव का 99.33% समझाता है। x = 7.5 पर अनुरूपित मान 72.2091 है।
| पद | गुणांक | मानक त्रुटि | t | p-मान |
|---|---|---|---|---|
| अंतःखंड | 48.8909 | 0.6439 | 75.9325 | 1.008 × 10⁻¹² |
| x | 3.1091 | 0.0906 | 34.3146 | 5.686 × 10⁻¹⁰ |
न्यूनतम वर्ग वह रेखा या वक्र चुनता है जो बिंदुओं की ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों का योग न्यूनतम करे। सीधी रेखा की ढाल b₁ = Sxy/Sxx और अंतःखंड b₀ = ȳ − b₁x̄ है। घात 2 से 4 के बहुपद के लिए सामान्य समीकरण हल होते हैं; चरघातांकी मॉडल ln y पर सीधी रेखा बैठाता है। जहाँ शेष स्वतंत्रता अंश और मानक त्रुटियाँ अनुमति दें, गुणांकों के t-सांख्यक और p-मान दिए जाते हैं। R² रैखिक/बहुपद मॉडल में y और चरघातांकी मॉडल में ln y के बदलाव को दर्शाता है।
डिफ़ॉल्ट 10 विद्यार्थियों के साप्ताहिक पढ़ाई घंटों और परीक्षा अंकों को जोड़ता है। अनुरूपित रेखा y = 48.89 + 3.109x है; हर अतिरिक्त घंटे से लगभग 3.1 अधिक अंक संबद्ध हैं। R² = 0.9933 है और 7.5 घंटे पर रेखा 72.2 अंक बताती है।
मानक त्रुटियों के लिए स्वतंत्र त्रुटियाँ, स्थिर प्रसरण और सही मॉडल माना जाता है। छोटे नमूने में सटीक t-अनुमान के लिए अनुरूपित पैमाने पर सामान्य त्रुटियाँ भी चाहिए। अवशेषों में वक्र या कीप जैसा पैटर्न मॉडल की कमी का संकेत है। x के देखे गए दायरे से बाहर का पूर्वानुमान बहिर्वेशन के रूप में दिखाया जाता है।
x और y की सूचियाँ उसी जोड़ी-क्रम में दें। रैखिक मॉडल y = b₀+b₁x में ढाल b₁ = Sxy/Sxx, अवरोध b₀ = ȳ−b₁x̄ है। Sxy दोनों माध्यों से विचलनों के गुणनफलों और Sxx, x के वर्ग विचलनों का योग है। न्यूनतम वर्ग विधि ऊर्ध्व अवशेषों के वर्गों का योग न्यूनतम करती है।
प्रारंभिक अध्ययन-घंटे 2 से 11 और अंक 55, 58, 62, 64, 68, 71, 72, 78, 80, 83 हैं। x̄ = 6.5, ȳ = 69.1, Sxx = 82.5, Sxy = 256.5 से ढाल 3.109091, अवरोध 48.890909 मिलता है। x = 7.5 पर अनुमान 72.209091 है।
यहाँ ढाल लगभग 3.1 अंक प्रति अध्ययन-घंटा है। यह दिए गए विद्यार्थियों का संबंध है, अतिरिक्त घंटे का कारणात्मक असर सिद्ध नहीं करता। अवरोध x = 0 पर मॉडल का मान है, जबकि डेटा में न्यूनतम x = 2 है। इसलिए 48.89 को बिना पढ़ाई के वास्तविक औसत अंक मान लेना उचित नहीं है।
दोहराए गए x मान स्वीकार हो सकते हैं, लेकिन रैखिक मॉडल के लिए कम-से-कम दो अलग x चाहिए। x की सूची को y से अलग छाँटने पर मूल जोड़ियाँ टूट जाएँगी और दूसरा मॉडल बनेगा। संख्याओं को रिक्त स्थान या कॉमा के बाद रिक्त स्थान से अलग करें; 1,234 हजार-विभाजक वाला एक मान भी पढ़ा जा सकता है।
| उदाहरण | अवरोध | ढाल | अनुमान |
|---|---|---|---|
| प्रारंभिक मान | 48.890909 | 3.109091 | 72.209091 |
| सटीक सीधी रेखा | 1.000000 | 2.000000 | 9.000000 |
| ऋणात्मक ढाल | 11.800000 | -1.800000 | 11.800000 |
| दोहराए गए x | 0.500000 | 2.000000 | 4.500000 |
R² = 1−SSE/SST नमूने में y के बदलाव का वह हिस्सा है जिसे मॉडल दर्शाता है। प्रारंभिक उदाहरण में SSE ≈ 5.418, SST = 802.9 और R² ≈ 0.99325 है। अवरोध वाली साधारण रैखिक रेखा में यही Pearson r का वर्ग है। R² की ऊँची संख्या कारण या नए डेटा पर अच्छी भविष्यवाणी का प्रमाण नहीं।
समायोजित R² प्राचलों की संख्या का दंड जोड़ता है। अनावश्यक x² पद जोड़ने पर सामान्य R² न घटे, फिर भी समायोजित R² घट सकता है। अवशेष चित्र में वक्रता या फैलता हुआ पंखा मॉडल के आकार या समान त्रुटि-प्रसरण पर सवाल उठाता है।
बहुपद डिग्री 2 से 4 तक उसी एक x की घातें जोड़ती है; यह अलग-अलग स्वतंत्र चर वाला बहु-प्रतिगमन नहीं है। डिग्री d के लिए कम-से-कम d+1 अलग x मान चाहिए। ठीक उतने बिंदुओं से पूरी तरह गुजर जाना अच्छी भविष्यवाणी का प्रमाण नहीं, और अवशेष स्वतंत्रता शून्य हो सकती है।
चरघातांकी y = a·e^(bx), ln(y) पर रैखिक समंजन करता है, इसलिए y धनात्मक चाहिए। उसका R² ln(y) के पैमाने पर है। उसे मूल y पर रैखिक मॉडल के R² से सीधे क्रमबद्ध करना सही तुलना नहीं।
देखे गए x के दायरे में निकला अनुमान भी किसी व्यक्ति का निश्चित परिणाम नहीं है। प्रारंभिक रेखा x = 20 पर लगभग 111.1 अंक देती है, जो सौ-अंक वाली परीक्षा में असंभव है; यह बाहरी विस्तार की सीमा दिखाता है। ढाल की t-जाँच स्वतंत्र, समान-प्रसरण त्रुटियाँ और सही मॉडल मानती है; छोटे नमूने के सटीक t निष्कर्ष के लिए सामान्य त्रुटियाँ भी जरूरी हैं।
ढाल, अवरोध और अंतिम अनुमान को अलग पढ़ें। केवल संबंध की मात्रा या रैंक आधारित संबंध के लिए सहसंबंध कैलकुलेटर चुनें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: बनाए गए बिंदु (1,3), (2,5), (3,7) ठीक y = 1 + 2x पर हैं; x = 4 पर y = 9।
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: बनाए गए डेटा में y = 1 + x + x² + x³ + x⁴ ठीक है, इसलिए हर गुणांक 1 और R² = 1; 1 + 11 + 121 + 1331 + 14641 = 16105
पहले औसत x̄ और ȳ, फिर ढाल b₁ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² और अंतःखंड b₀ = ȳ − b₁x̄ निकालें। डिफ़ॉल्ट पढ़ाई-घंटे डेटा में Sxy = 256.5 और Sxx = 82.5 हैं, इसलिए b₁ = 3.109 और b₀ = 48.89। यह न्यूनतम-वर्ग रेखा ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों का योग न्यूनतम करती है; NIST/SEMATECH e-Handbook §4.1.4.1 में यही विधि है।
R², y के देखे गए बदलाव का वह हिस्सा है जो मॉडल समझाता है: R² = 1 − SSE/SST। डिफ़ॉल्ट R² = 0.9933 में पढ़ाई-घंटे मॉडल परीक्षा अंकों के लगभग 99.3% बदलाव से मेल खाता है। अंतःखंड वाली सीधी रेखा में R², सहसंबंध r का वर्ग है। बड़ा R² यह साबित नहीं करता कि x से y होता है, मॉडल का आकार सही है या डेटा से बाहर के पूर्वानुमान सही रहेंगे।
समायोजित R² हर अतिरिक्त गुणांक की लागत जोड़ता है: 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k), जहाँ k में अंतःखंड सहित सभी गुणांक गिने जाते हैं। समान डेटा पर न्यूनतम-वर्ग मॉडल में पद जोड़ने से R² नहीं घटता; इसलिए चतुर्घाती कम-से-कम द्विघाती जितना अनुरूप होता है। नया पद पर्याप्त सुधार न करे तो समायोजित R² घटता है। डिफ़ॉल्ट n = 10, k = 2 में R² = 0.99325 से समायोजित मान 0.99241 मिलता है।
यह वास्तविक ढाल 0 होने की शून्य परिकल्पना जाँचता है: t = b₁/SE(b₁), स्वतंत्रता अंश n − 2। डिफ़ॉल्ट में t = 3.109/0.0906 = 34.3 और स्वतंत्रता अंश 8 हैं, जिससे p = 5.7 × 10⁻¹⁰ मिलता है। मॉडल की मान्यताओं और शून्य ढाल के अंतर्गत इतना या अधिक चरम मानकीकृत सांख्यक बहुत असंभावित होगा। p-मान प्रभाव के आकार या व्यावहारिक महत्व को नहीं बताता।
जब x की हर इकाई पर y लगभग स्थिर प्रतिशत से बढ़े या घटे, जिससे x के अनुसार ln y लगभग सीधी रेखा बने। उदाहरण में x = 0 से 5 तक y = 3.0 से 22.1 बढ़ता है; अनुरूपण y = 2.98·e^(0.4007x), यानी प्रति इकाई लगभग 49.3% वृद्धि देता है। अनुरूपण ln y पर होता है, जैसा Excel LOGEST में, इसलिए R² मूल y का नहीं, ln y का है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 5 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।